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1、专题05 新定义问题一、单选题1定义：表示不超过实数的最大整数例如：，根据你学习函数的经验，下列关于函数的判断中，正确的是（ ）A函数的定义域是一切整数B函数的图像是经过原点的一条直线C点在函数图像上D函数的函数值随的增大而增大2一个含有多个字母的整式，如果把其中任何两个字母互换位置，所得的结果与原式相同，那么称此整式是对称整式例如，是对称整式，不是对称整式所含字母相同的两个对称整式求和，若结果中仍含有多个字母，则该和仍为对称整式；一个多项式是对称整式，那么该多项式中各项的次数必相同单项式不可能是对称整式若某对称整式只含字母，且其中有一项为，则该多项式的项数至少为3以上结论中错误的个数是（ ）
2、A4B3C2D13已知 表示取三个数中最小的那个数，例如：当x=9时， 当 时，则x的值为（ ）ABCD4已知正整数n小于100，并且满足等式，其中表示不超过x的最大整数，则这样的正整数n有（ ）A6个B10个C16个D20个5设表示大于x的最小整数，如，则下列结论中正确的有（ ）；的最小值是0；的最大值是0；存在实数x，使成立A1个B2个C3个D4个二、解答题6定义一种新运算“”：ab = 2a-b，比如1(-3) =21-（-3）=5（1）求(2)3的值：（2）若3x = (x + 1)5，求x的值；（3）若x1 = 1y，求代数式4x + 2y + 1的值7阅读材料：对于任意有理数a，b
3、，规定一种新的运算：aba（ab）1，例如，252（25）113（1）计算3（2）；（2）若（1）x5，求x的值8在平面直角坐标系中，给出如下定义：若点在图形上，点在图形上，如果两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形的“近距离”，记为特别地，当图形与图形有公共点时，已知A（4，0），B（0，4），C（4，0），D（0，4），（1）d（点A，点C）_，d（点A，线段BD）_；（2）O半径为r， 当r 1时，求 O与正方形ABCD的“近距离”d（O，正方形ABCD）； 若d（O，正方形ABCD）1，则r _（3）M 为x轴上一点，M的半径为1，M与正方形ABCD的“近距离”d（M，正方形AB
4、CD）1，请直接写出圆心M的横坐标 m的取值范围9一个两位正整数n，如果n满足各数位上的数字互不相同且均不为0，那么称n为“启航数”，将n的两个数位上的数字对调得到一个新数把放在n的后面组成第一个四位数，把n放在的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除以11所得的商记为，例如：时，（1）计算 ；若m为“启航数”， 是一个完全平方数，求的值；（2）、为“启航数”，其中（1ba9，1x、y5，且为整数）规定：，若能被7整除，且，求的最大值10已知一个正整数，把其个位数字去掉，再将余下的数加上个位数字的4倍，如果和是13的倍数，则称原数为“超越数”如果数字和太大不能直接观察出
5、来，就重复上述过程如：1131：113+41117，117139，所以1131是“超越数”；又如：3292：329+42337，33+4761，因为61不能被13整除，所以3292不是“超越数”（1）请判断42356是否为“超越数” （填“是”或“否”），若+4c13k（k为整数），化简除以13的商（用含字母k的代数式表示）（2）一个四位正整数N，规定F（N）|a+d2bc|，例如：F（4953）|4+3259|32，若该四位正整数既能被13整除，个位数字是5，且ac，其中1a4求出所有满足条件的四位正整数N中F（N）的最小值11若在一个两位正整数N的个位数字与十位数字之间添上数字2，组成一个
6、新的三位数，我们称这个三位数为N的“诚勤数”，如34的“诚勤数”为324；若将一个两位正整数M加2后得到一个新数，我们称这个新数为M的“立达数”，如34的“立达数”为36（1）求证：对任意一个两位正整数A，其“诚勤数”与“立达数”之差能被6整除；（2）若一个两位正整数B的“立达数”的各位数字之和是B的各位数字之和的一半，求B的值12若将自然数中能被3整除的数，在数轴上的对应点称为“3倍点”，取任意的一个“3倍点”P，到点P距离为1的点所对应的数分别记为a，b定义：若数Ka2b2ab，则称数K为“尼尔数”例如：若P所表示的数为3，则a2，b4，那么K22422412；若P所表示的数为12，则a1
7、1，b13，那么K1321121311147，所以12，147是“尼尔数”（1）请直接判断6和39是不是“尼尔数”，并且证明所有“尼尔数”一定被9除余3；（2）已知两个“尼尔数”的差是189，求这两个“尼尔数”13任意一个正整数n，都可以表示为：nabc（abc，a，b，c均为正整数），在n的所有表示结果中，如果|2b（a+c）|最小，我们就称abc是n的“阶梯三分法”，并规定：F（n），例如：6116123，因为|21（1+6）|5，|22（1+3）|0，50，所以123是6的阶梯三分法，即F（6）2（1）如果一个正整数p是另一个正整数q的立方，那么称正整数p是立方数，求证：对于任意一个立方
8、数m，总有F（m）2；（2）t是一个两位正整数，t10x+y（1x9，0y9，且xy，x+y10，x和y均为整数），t的23倍加上各个数位上的数字之和，结果能被13整除，我们就称这个数t为“满意数”，求所有“满意数”中F（t）的最小值14对数运算是高中常用的一种重要运算，它的定义为：如果axN（a0，且a1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作：xlogaN，例如：329，则log392，其中a10的对数叫做常用对数，此时log10N可记为lgN当a0，且a1，M0，N0时，loga（MN）logaMlogaN（1）解方程：logx42；（2）求值：log48；（3）计算：（lg2）2lg21
9、g51g5201815我们把任意形如：的五位自然数（其中，）称之为对称数，例如：在自然数12321中，所以12321就是一个对称数并规定：能被自然数n整除的最大的对称数记为，能被自然数n整除的最小的对称数记为（1）写出1个对称数_；（2）求和的值16对于平面直角坐标系中第一象限内的点和图形，给出如下定义：过点作轴和轴的垂线，垂足分别为，若图形中的任意一点满足且，则称四边形是图形的一个覆盖，点为这个覆盖的一个特征点例：已知，则点为线段的一个覆盖的特征点（1）已知点，在，中，是的覆盖特征点的为_；若在一次函数的图象上存在的覆盖的特征点，求的取值范围（2）以点为圆心，半径为作圆，在抛物线上存在的覆盖
10、的特征点，直接写出的取值范围_17如果实数a，b满足的形式，那么a和b就是“智慧数”，用表示如：由于，所以是“智慧数”（1）下列是“智慧数”的是 （填序号）； 和， 和， 和（2）如果是“智慧数”，那么“”的值为 ；（3）如果是“智慧数”，y与x之间的关系式为 ；当x0时，y的取值范围是 ；在的条件下，y随x的增大而 （填“增大”，“减小”或“不变”）18对于正整数，定义一种新算（1）计算的值为_；（2）写出的所有可能的值_；（3）若，其中，都是正整数），请你写出使成立的一组，的值_（4）若，都是正整数，则下列说法正确的是（选出所有正确选项）ABCD19探索新知：如图1，射线在的内部，图中共有
11、3个角：和，若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线是的“巧分线”（1）一个角的平分线_这个角的“巧分线”（填“是”或“不是”）；（2）如图2，若，且射线是的“巧分线”，则_；（用含的代数式表示）；深入研究：如图2，若，且射线绕点P从位置开始，以每秒的速度逆时针旋转，当与成时停止旋转，旋转的时间为t秒若射线同时绕点P以每秒的速度逆时针旋转，并与同时停止，请求出当射线是的“巧分线”时的值20数轴上两点A，B，其中A表示的数为-2，B表示的数为2，若数轴上存在一点C，使得AC+2BC=，则称C为点A， B的“和点”(其中AC， BC分别表示点C到点A， B的距离)(1)若点E在数轴上(不
12、与A， B重合)，若BE=AE，且点E为点A，B的“和点”，则的值可能为_(2)若点D在是点A，B的“和5点”，则点D表示的数可能为_21若一个三位数满足个位数字与百位数字的和等于十位数字，则称这个三位数为“友善数”；若两个“友善数”所含数字相同，只是数字所在的数位不同，则称这两个“友善数”互为“友善数”如：三位数132，百位数字是1，十位数字是3，个位数字是2恰好1+23，所以132是“友善数”，容易判断231与132是互为“友善数”根据以上阅读材料，解答下列问题：（1）直接写出最小的“友善数”和最大的“友善数”；（2）已知一个“友善数”（百位数字为a，十位数字为b，个位数字为c，且c0），
13、请用含b的代数表示与它的“友善数”的和22对x，y定义一种新运算T，规定T(x，y)= (mx +ny)(x+2y) (其中m，n均为非零常数)，如T(1，2)=5m+10n(1)若T(-1，1)=0且T(0，2)=8，则m=_(2)当u2v2 时，若T(u，v)=T(v，u)对任意有理数u，v都恒成立，则= _ 23已知xm与xn分别是关于x的方程ax+b0（a0）与cx+d0（c0）的解（1）若关于x的方程ax+b0（a0）的解与方程6x-74x-5的解相同，求m的值；（2）当n1时，求代数式3c2+cd+2c-2（cdc2-d）的值；（3）若|m-n|，则称关于x的方程ax+b0（a0）与cx+d0（c0）为“差半点方程”试判断关于x的方程4042x920202020t+x，与4040x+4820212020tx，是否为“差半点方程”，并说明理由24阅读下列材料，完成相应的任务：任务：（1）下列四个代数式中，是对称式的是（填序号即可）；a+b+c；a2+b2；a2b；（2）写出一个只含有字母x，y的单项式，使该单项式是对称式，且次数为6次；（3）请从下面A，B两题中任选一题作答我选择题
