《专题05 四边形的综合问题（解析版） -备战2021年中考数学复习重难点与压轴题型专项训练》由会员分享，可在线阅读，更多相关《专题05 四边形的综合问题（解析版） -备战2021年中考数学复习重难点与压轴题型专项训练（45页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、备战2021年中考复习重难点与压轴题型专项训练专题05 四边形的综合问题【专题训练】一、解答题1（2020广西贵港市中考真题）已知：在矩形ABCD中，AB=6，P是BC边上的一个动点，将矩形ABCD折叠，使点A与点P重合，点D落在点G处，折痕为EF（1）如图1，当点P与点C重合时，则线段EB=_，EF=_；（2）如图2，当点P与点B，C均不重合时，取EF的中点O，连接并延长PO与GF的延长线交于点M，连接PF，ME，MA求证：四边形MEPF是平行四边形：当时，求四边形MEPF的面积【答案】解：（1）EB= 2 ，EF= 4 ；过点F作FHAB，折叠后点A、P、C重合AECE，FEAFEC，CD
2、ABCFEFEA，CFEFEC，CFCEAE，设AECECFx，BEABAE6x，在RtBCE中，由勾股定理可得，即解得： x4，即AECECF4BE2、DF2，DAFHA90四边形DAHF是矩形，FH、EHABBEAH6222在RtEFH中，由勾股定理可得: 4 （2）证明：如图2，在矩形中，由折叠（轴对称）性质，得：，点是的中点，又，四边形是平行四边形：如图2，连接与交于点，则且，又由知：，则，又，在，而，又在中，若设，则，由勾股定理得：，则，而且，又四边形是平行四边形，四边形的面积为 【点睛】本题主要考查矩形与翻折的问题，涉及到勾股定理、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定及其性质、
3、翻折的性质、正切的有关知识，解题的关键是熟练掌握所学知识并且学会作辅助线2（2020山东青岛市中考真题）已知：如图，在四边形和中，点在上，延长交于点，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点从点出发，沿方向匀速运动，速度为，过点作于点，交于点设运动时间为解答下列问题： （1）当为何值时，点在线段的垂直平分线上？（2）连接，作于点，当四边形为矩形时，求的值；（3）连接，设四边形的面积为，求与的函数关系式；（4）点在运动过程中，是否存在某一时刻，使点在的平分线上？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）当=时，点在线段的垂直平分线上，理由为：由题意，CE=2，CMBF，即：，解得：
4、CM=，要使点在线段的垂直平分线上， 只需QM=CM=，t=；（2）如图，AC=10，EF=10，sinPAH=，cosPAH=，sinEFB=，在RtAPH中，AP=2t，PH=APsinPAH=，在RtECM中，CE=2,CM=,由勾股定理得：EM=，在RtQNF中，QF=10-t-=，QN=QFsinEFB=()=，四边形为矩形，PH=QN，=，解得：t=3；（3）如图，过Q作QNAF于N，由（2）中知QN=，AH=APcosPAH=，BH=GC=8-，GM=GC+CM=，HF=HB+BF=，=，S与t的函数关系式为：；（4）存在，t=证明：如图，延长AC交EF于T，AB=BF,BC=B
5、F, ，ABCEBF，BAC=BEF，EFB+BEF=90，BAC+EFB=90，ATE=90即PTEF，要使点在的平分线上，只需PH=PT，在RtECM中，CE=2,sinBEF=，CT=CEsinBEF =，PT=10+-2t=，又PH=，=，解得：t=【点睛】本题属于四边形的综合题，考查了解直角三角形、锐角三角函数、垂直平分线、角平分线、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、多边形的面积等知识、解答的关键是认真审题，分析相关知识，利用参数构建方程解决问题，是中考常考题型3（2020辽宁鞍山市中考真题）在矩形中，点E是射线上一动点，连接，过点B作于点G，交直线于点F（1）当矩形是正方形时，以
6、点F为直角顶点在正方形的外部作等腰直角三角形，连接如图1，若点E在线段上，则线段与之间的数量关系是_，位置关系是_；如图2，若点E在线段的延长线上，中的结论还成立吗？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；（2）如图3，若点E在线段上，以和为邻边作，M是中点，连接，求的最小值【答案】解：（1）四边形ABCD为正方形，AB=BC，ABC=BCD=90，即BAE+AEB=90，AEBF，CBF+AEB=90，CBF=BAE，又AB=BC，ABE=BCF=90，ABEBCF（AAS），BE=CF，AE=BF，FCH为等腰直角三角形，FC=FH=BE，FHFC，而CDBC，FHBC，四边形BEH
7、F为平行四边形，BFEH且BF=EH，AE=EH，AEEH，故答案为：相等；垂直；成立，理由是：当点E在线段BC的延长线上时，同理可得：ABEBCF（AAS），BE=CF，AE=BF，FCH为等腰直角三角形，FC=FH=BE，FHFC，而CDBC，FHBC，四边形BEHF为平行四边形，BFEH且BF=EH，AE=EH，AEEH；（2）EGF=BCD=90，C、E、G、F四点共圆，四边形BCHF是平行四边形，M为BH中点，M也是EF中点，M是四边形BCHF外接圆圆心，则GM的最小值为圆M半径的最小值，AB=3，BC=2，设BE=x，则CE=2-x，同（1）可得：CBF=BAE，又ABE=BCF=
8、90，ABEBCF，即，CF=，EF=，设y=，当x=时，y取最小值，EF的最小值为，故GM的最小值为【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，二次函数的最值，圆的性质，难度较大，找出图形中的全等以及相似三角形是解题的关键4（2020内蒙古赤峰市中考真题）如图，矩形ABCD中，点P为对角线AC所在直线上的一个动点，连接 PD，过点P作PEPD，交直线AB于点E，过点P作MNAB，交直线CD于点M，交直线AB于点N.，AD =4.（1）如图1，当点P在线段AC上时，PDM和EPN的数关系为:PDM_ EPN；的值是 ；（2）如图2，当点P在CA延长线上时
9、，（1）中的结论是否成立?若成立，请证明；若不成立，说明理由；（3）如图3，以线段PD ，PE为邻边作矩形PEFD.设PM的长为x，矩形PEFD的面积为y.请直接写出y与x之间的函数关系式及y的最小值.【答案】（1）PEPD， DPE=90，DPM+EPN=90，MNAB，PMD=PNE=90，PDM+DPM=90，PDM=EPN；故答案为：=；CD=，AD =4，ADC=90，tanACD=,ACD=30，设MP=x，则NP=4-x，MC=MP=x，DM=-x=（4-x），PDM=EPN，PMD=PNE=90，PDMEPN，=，故答案为：；（2）成立，设NP=a，则MP=4+a，ACD=30
10、，MC=（4+a），MD=(4+a)-4=a，由（1）同理得PDM=EPN，PMD=PNE=90，PDMEPN，=，（3）PM=x，PN=4-x，EN=，矩形PEFD的面积为y=，0，当x=3时，y有最小值为.【点睛】此题考查矩形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定及性质，勾股定理，利用面积公式得到函数关系式及最小值，解答此题中运用类比思想.5（2020湖南益阳市中考真题）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题：（1）如图1，正方形中，是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的
11、对应点在的延长线上，则四边形为“直等补”四边形，为什么？（2）如图2，已知四边形是“直等补”四边形，点到直线的距离为求的长若、分别是、边上的动点，求周长的最小值【答案】（1）如图1由旋转的性质得：F=BEC，ABF=CBE，BF=BEBEC+BED=180，CBE+ABE=90，F+BED=180，ABF+ABE=90即FBE=90，故满足“直等补”四边形的定义，四边形为“直等补”四边形；（2）四边形是“直等补”四边形，AB=BC，A+BCD=180，ABC=D=90，如图2，将ABE绕点B顺时针旋转90得到CBF，则F=AEB=90，BCF+BCD=180，BF=BED、C、F共线，四边形E
12、BFD是正方形，BE=FD，设BE=x，则CF=x-1，在RtBFC中，BC=5，由勾股定理得：，即，解得：x=4或x=3(舍去)，BE=4（3）如图3，延长CD到P，使DP=CD=1，延长CB到T，使TB=BC=5,则NP=NC，MT=MC,MNC的周长=MC+MN+NC=MT+MN+NPPT当T、M、N、P共线时，MNC的周长取得最小值PT，过P作PHBC，交BC延长线于H，F=PHC=90,BCF=PCH,BCFPCH,即，解得：,在RtPHT中，TH=,周长的最小值为【点睛】本题是一道四边形的综合题，涉及旋转的性质、正方形的判定与性质、勾股定理、解一元二次方程、相似三角形的判定与性质、
13、垂直平分线性质、动点的最值问题等知识，解答的关键是认真审题，分析图形，寻找相关信息的联系点，借用类比等解题方法确定解题思路，进而进行推理、探究、发现和计算6（2020吉林中考真题）能够完全重合的平行四边形纸片和按图方式摆放，其中，点，分别在边，上，与相交于点（探究）求证：四边形是菱形（操作一）固定图中的平行四边形纸片，将平行四边形纸片绕着点顺时针旋转一定的角度，使点与点重合，如图，则这两张平行四边形纸片未重叠部分图形的周长和为_（操作二）四边形纸片绕着点继续顺时针旋转一定的角度，使点与点重合，连接，如图若，则四边形的面积为_【答案】探究：四边形和都是平行四边形，即四边形是平行四边形又平行四边形是菱形；操作一：如图，设AE与DF相交于点H，AB与FG相交于点M四边形和是两个完全重合的平行四边形，在和中，和的周长相等同理可得：、的周长
