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1、 -学 号14051103学年论文论文题目：二重积分的计算与应用研究院（系）名 称：信息工程学院专 业 名 称：数学与应用数学专业学 生 姓 名：丁乾龙指 导 教 师：王君（讲师）学院2017年9月学 号14051103密 级公开二重积分的计算与应用研究Double Integral Calculation and Its Application学生：丁乾龙所在学院：信息工程学院所在专业：数学与应用数学指导教师：王君职 称：讲师所在单位：学院论文提交日期：2017年08月25日论文答辩日期：学位授予单位：目 录摘 要IVABSTRACTV前 言1第1章 绪论21.1 选题背景21.2选题意义2
2、1.3研究现状21.4研究思路3第2章 二重积分的基本计算方法42.1 二重积分的定义与性质42.2利用直角坐标系计算二重积分52.3利用变量替换法计算二重积分72.4利用极坐标系计算二重积分9第3章 特殊二重积分的计算技巧123.1 利用函数奇偶性与区域对称性计算123.2利用格林公式计算133.3利用轮换法计算143.4利用二重积分的几何意义计算14结 论16参考文献17 可修编摘 要二重积分在现实中有着广泛的应用，二重积分可用于求解空间立体体积和曲面面积。在物理力学中，二重积分也有着不可代替的作用。本文给出二重积分的概念及基本性质，在此基础上总结了二重积分的七种比较常见的计算方法与计算技
3、巧：利用直接坐标系计算、利用变量特换法计算、利用极坐标系计算、利用函数的奇偶性和区域对称性计算、利用格林公式计算、利用轮换法计算、利用二重积分的几何意义计算，还研究了一些二重积分在物理力学、计算空间立体体积、计算曲面面积、计算曲线积分和曲面积分等方面的应用问题。关键词：二重积分；计算方法；计算技巧ABSTRACTThe double integral is widely used in practice, the double integral can be used to solve the three-dimensional volume and surface area. In mech
4、anics, the double integral also has an irreplaceable role. This paper gives the concept and nature of the double integral, on the basis of summing up the seven mon calculation method of double integral and calculation skills:using direct coordinate system to calculate, using variable replacement met
5、hod to calculate, using the polar coordinate to calculate, using function and regional symmetry to calculate, using the parity of green formula to calculate, using the method of rotation to calculate, using the geometric meaning of double integral to calculate, also studies on some practical problem
6、s about the double integral such as physical mechanics, calculation of three-dimensional volume, surface area calculation, the calculation of curvilinear integral and surface integral.Key words: double integral；putational methods；putational skills；前言二重积分是数学分析中的重要容，它上承接着定积分，下引出三重积分和曲线积分、曲面积分.它在几何、物理、
7、经济学等多个科学都有极其广泛的应用.函数的二重积分是数学分析中的重要容，它涉及到多个科学领域，并起着至关重要的作用.然而在计算函数二重积分的过程中，由于计算和函数比较繁琐，因此按照二重积分的定义计算二重积分有很大的局限.计算机的广泛应用，特别是MATLAB等数学计算软件的迅猛普及为二重积分的发展和应用开辟了广阔的前景.然而计算函数二重积分往往比较复杂和繁琐，因此，研究二重积分的计算不仅很有必要，而且不断寻找简便的算法仍然是二重积计算方面的重要课题. 可修编 -第1章绪论1.1选题背景对于二重积分的应用主要体现在求曲线积分，曲面积分，曲面面积和物理学中的一些平面薄板的重心坐标，转动惯量以及对质点
8、的引力等问题，利用二重积分可以巧妙解决这些问题，因此二重积分的计算与应用在物理学当中，尤其是在数学分析里是一门不可缺少的重要知识。1.2选题意义二重积分的计算和应用研究在高等数学研究中具有重要意义，对于二重积分的研究不仅仅体现在理论上，与其相关的几何模型和物理模型也在被讨论研究.二重积分的研究虽然以前也有不少人研究过，但多数人只是理论上研究，在实际应用中的研究还比较少，比如在求物体的重心，以及引力等，甚至经济学中方面相关深入的研究比较狭窄4.在有些应用当中，我们会遇到一些二重积分基本运算问题，即在给定的被积函数和积分区域比较特殊时，计算二重积分，此时计算量就会很大.因此，不断寻找简便的算法便成
9、为二重积分运算方面的重要课题。1.3研究现状采用层进式教学法可以由浅入深的让学生轻松掌握这种积分的算法.是高等数学的重点，也是难点，计算较为繁琐，有的二重积分需要一定的技巧才能求出，二重积分的计算方法主要是在极坐标系和直角坐标系下将二重积分化为二次积分，进而要利用两次定积分计算此二重积分，但是某些二重积分化为二次积分后计算仍相当困难，这时，我们就要采用特殊的算法计算。文献1介绍了二重积分的发展及其相关应用；215主要介绍了二重积分的一些计算方法和相关性质定理；1626主要介绍了一些二重积分在力学方面的一些应用.兆顺探究了直角坐标系下二重积分的计算；毅探究了利用变量替换与极坐标系下二重积分的计算
10、；娟探究了利用函数的奇偶性和积分区域的对称性简化二重积分的计算；赫探究了利用格林公式来计算二重积分，本文在此基础上还探究了一下利用轮换法，格林公式，二重积分的几何意义来计算一些特殊的二重积分913.1.4选题意义通过查看图书与学校电子阅览室里的有关二重积分计算的资料，最终分析决定主要研究以下几个方面：（1）二重积分的基本计算方法；（2）二重积分的特殊计算方法； （3）二重积分的应用. 根据被积函数和积分区域的不同特征熟练采用不同的计算方法求二重积分.上述介绍的几种方法不一定全是最简单的，也不是独立存在的，有时还需要相互配合使用.总之，在二重积分计算过程中要充分运用被积函数和积分区域的特征寻求最
11、佳计算方法，这对于知识的在联系及推广思路，是大有裨益的，而能熟练选择出最简单的计算方法的能力需要在实践中逐步提高。本课题最终将达到的目标：根据被积函数和积分区域的特点选择简便的计算方法；利用二重积分的一些性质来解决实际问题。 -第2章 二重积分的基本计算方法2.1 二重积分的定义与性质设是定义在可求面积的有界闭区域上的函数，是一个确定的数，若对任给的正数，总存在某个正数，使对于的任何分割，当它的细度时，属于的所有积分和都有，（1）则称在上可积，数称为函数在上的二重积分，记作，其中称为二重积分的被积函数，称为积分变量，称为积分区域.当时，二重积分在几何上就表示以为曲顶，为底的曲顶柱体的体积.当时
12、，二重积分的值就等于积分区域的面积.由二重积分定义知道，若在区域上可积，则与定积分情况一样，对任何分割，只要当时，（1）式都成立.因此为方便计算起见，常选取一些特殊的分割方法，如选用平行于坐标轴的直线网来分割，则每一小网眼区域的面积. 此时通常把记作.二重积分具有一系列与定积分完全相类似的性质，现列举如下：性质1 若在区域上可积，为常数，则在上也可积，且.性质2若在上都可积，则在上也可积，且.性质3若在和上都可积，且与无公共点，则在上也可积，且.性质4若在上可积，且，则.性质5若在上可积，则函数在上也可积，且.性质6若在上可积，且，则这里是积分区域的面积.性质7(中值定理) 若在有界闭区域上连
13、续，则存在，使得 这里是积分区域的面积.中值定理的几何意义是以为底，为曲顶的曲顶柱体体积等于一个同底的平顶柱体的体积，这个平顶柱体的高等于在区域中某点的函数值.2.2利用直角坐标系计算二重积分定理1设在矩形区域上可积，且对每个，积分存在，则累次积分也存在，且.定理2 设在矩形区域上可积，且对每个，积分存在，则累次积分也存在，且.定理3 设有界闭区域是由两条交合曲线与，且，以及直线与所围成，若函数在上连续，则有.定理4 设有界闭区域是由两条交合曲线与，且以及直线与所围成，若函数在上连续，则有. 例1 计算二重积分，其中区域是由直线，和双曲线所围成.解 ：先对积分后对积分，将积分在轴上，在区间，对任意，对积分，在的积分顺序是到，然后在积分区间上对积分，即.同理，如果先对积分后对积分，也可得到相应结果.若给定的积分为二次积分，但它不能用初等函数形式表示出来或者积分的计算量较大，可考虑交换积分次序，其一般步骤为：（1）先根据给定的二次积分限，写出积分区域的不等式表达式，并依此作出区域的图形；(2)根据区域的图形，重新选择积分限，化为另一种类型的二重积分.特别地，若积分被积函数中出现，等函数时，也可利用分部积分法来计算6.例2设是由直线及围成的区域，试计算：的值.解 ：若用先对后对的积分，则.由于函数的原函数无法用初等函数形式表示，因此改用另一种顺序的累次积分，则
