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1、3.2.2 利用空间向量证明平行、 垂直关系,自 学 导 引 (学生用书P80) 会用空间向量证明线与线、线与面、面与面之间的平行,垂直关系,掌握用向量解决立体几何问题的方法步骤,课 前 热 身(学生用书P80,1.空间中的平行关系主要有_、_、_,空间中的垂直关系主要有_、_、_. 2.证明两条直线平行,只要证明这两条直线的方向向量是_即可,线线平行,线面平行,面面平行,线线垂直,线面垂直,面面垂直,共线向量,3.证明线面平行的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量_. (2)证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量_. (3)利用共面向量的定理,即证明直线的方向向量与平面内两
2、个不共线的向量是_,垂直,共线,共面向量,4.证明面面平行的方法 (1)转化为_、_处理; (2)证明这两个平面的法向量是_. 5.证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量_. 6.证明线面垂直的方法 (1)证明直线的方向向量与平面的法向量是_; (2)证明直线与平面内的_,线线平行,线面平行,共线向量,互相垂直,共线向量,两条不共线向量互相垂直,7.证明面面垂直的方法 (1)转化为_、_; (2)证明两个平面的法向量_,线线垂直,线面垂直,互相垂直,名 师 讲 解(学生用书P80,1.利用空间向量证明线与面平行:只要在平面内找到一条直线的方向向量为b,已知直线的方向向量为a,问题转化为证
3、明a=b即可. 2.利用空间向量证明两条异面直线垂直:在两条异面直线上各取一个向量a、b,只要证明ab,即ab=0即可,3.证明线面垂直:直线l,平面,要让l,只要在l上取一个非零向量p,在内取两个不共线的向量a、b,问题转化为证明pa且pb,也就是ap=0且bp=0. 4.证明面面平行、面面垂直,最终都要转化为证明线线平行、线线垂直,典 例 剖 析(学生用书P80,题型一 证明线面平行 例1:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是C1C、B1C1的中点,求证:MN平面A1BD,分析:分析1,如下图,易知MNDA1 因此得方法1,变式训练1:ABCD-A1B1C1D1是正四棱柱,侧
4、棱长为3,底面边长为2,E是棱BC的中点,求证:BD1平面C1DE,证明:以D为坐标原点,以DA,DC,DD1为坐标轴建系如右图, 则B(2,2,0),D1(0,0,3), E(1,2,0),C1(0,2,3,题型二 证明线面垂直 例2:如下图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是BB1、D1B1的中点. 求证:EF平面B1AC,分析:转化为线线垂直或利用直线的方向向量与平面的法向量平行,证明:方法1:设A1B1的中点为G, 连结EG,FG,A1B. 则FGA1D1,EGA1B. A1D1平面A1B.FG平面A1B. AB1平面A1B,FGAB1, A1BAB1,EGAB1.
5、EFAB1. 同理EFB1C.又AB1B1C=B1, EF平面B1AC,方法3:设正方体的棱长为2,建立如下图所示的空间直角坐标系,规律技巧:(1)方法1是传统的几何法证明,利用线面垂直的性质及判定,需添加辅助线. 方法2选基底,将相关向量用基底表示出来,然后利用向量的计算来证明. 方法3建立空间直角坐标系,利用向量,且将向量的运算转化为实数(坐标)的运算,以达到证明的目的. (2)几何的综合推理有时技巧性较强,而向量代数运算属程序化操作,规律性较强,但有时运算量大,两种处理方法各有优点,不能偏废,分析:由判定定理,只要证明CD垂直于面PAC中的两条相交直线即可,或者用向量法证明CD的方向向量
6、与平面PAC的法向量平行,证明:方法1:如下图,分别以AB、AD、AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系, 则C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,1,题型三 证明面与面垂直 例3:三棱柱ABC-A1B1C1是各条棱长均为a的正三棱柱,D是侧棱CC1的中点. 求证:平面AB1D平面ABB1A1. 分析:转化为线线垂直、线面垂直或者利用法向量垂直,证明:方法1:取AB的中点E. 三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱, CEAB且AA1CE,得 CE面ABB1A1,另取AB1中点M,得MDCE. MD面ABB1A1. 又MD面AB1D, 面AB1D面ABB1A1,方法3:建系如下图
7、,正三棱柱底面边长为a,高为a,取AB1的中点M,则相关点的坐标如下,规律技巧:证明面面垂直有传统方法和向量法两种途径,传统方法考查逻辑思维能力较多,常需作辅助线解决,思维量大,向量法思维量小,但有时运算量较大,特别是建系时一定要根据题目所给空间体建立合适的坐标系,建系不当,会人为增加计算的难度,变式训练3:如图所示,在六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABCD是边长为2的正方形,四边形A1B1C1D1是边长为1的正方形,DD1平面A1B1C1D1,DD1平面ABCD,DD1=2. (1)求证:A1C1与AC共面,B1D1与BD共面; (2)求证:平面A1ACC1平面B1BDD1,证明
8、:以D为原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz,如图所示,则有D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(1,0,2),B1(1,1,2),C1(0,1,2),D1(0,0,2,技 能 演 练(学生用书P82,基础强化 1.在空间直角坐标系中,平面xOz的一个法向量是( ) A.(1,0,0) B.(0,1,0) C.(0,0,1) D.(0,1,1) 答案:B,2.平面的一个法向量为(1,2,0),平面的一个法向量为(2,-1,0),则平面与平面的关系是( ) A.平行 B.相交但不垂直 C.相交且垂直 D.无法
9、判定,答案:C,3.在空间四边形ABCD中,E、F分别是AB、BC的中点,则AC与平面DEF的位置关系是( ) A.平行 B.相交 C.在平面内 D.不能确定,答案:A,解析:如图所示,易知EFAC, 又AC平面DEF,EF平面DEF, AC平面DEF,4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,若E为A1C1的中点,则直线CE垂直于( ) A.AC B.BD C.A1D D.A1A,答案:B,解析:如图,B1D1CC1,B1D1A1C1, 又CC1A1C1=C1, B1D1平面AA1C1C,而CE平面AA1C1C, B1D1CE,又B1D1BD, CEBD,5.平面ABC中,A(0,1,1),
10、B(1,2,1),C(-1,0,-1),若a=(-1,y,z),且a为平面ABC的法向量,则y2等于( ) A.2 B.0 C.1 D.无意义,答案:C,6.若直线l的方向向量a=(-2,3,1),平面的一个法向量n=(4,0,8),则直线l与平面的位置关系是_. 解析:a5n=(-2)4+30+81=0, an,l或l. 答案:l或l,能力提升 7.在正方体AC1中,O、M分别是DB1、D1C1的中点. 证明:OMBC1,证明:如图,以D为原点,分别以DA、DC、DD1为x、y、z轴建立空间直角坐标系D-xyz,8.在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中,E、F分别是AB、BC上的动
11、点,且AE=BF,求证:A1FC1E,证明:以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(a,0,a),C1(0,a,a). 设AE=BF=x, E(a,x,0),F(a-x,a,0,9.如右图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G分别是A1D1、D1D、D1C1的中点.求证:平面EFG平面AB1C,品味高考 10.(北京卷)如图在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4,点D是AB的中点,求证:AC1平面CDB1,证明:因直三棱柱ABC-A1B1C1底面三边长AC=3,BC=4,AB=5,所以AC2+BC2=AB2.所以ACBC,此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢你的支持，我们会努力做得更好
