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1、2010 年高考数学年高考数学试题试题分分类汇编类汇编圆锥圆锥曲曲线线 （2010 上海文数）上海文数）2323（本题满分（本题满分 1818 分）本题共有分）本题共有 3 3 个小题，第个小题，第 1 1 小题满分小题满分 4 4 分，第分，第 2 2 小小 题满分题满分 6 6 分，第分，第 3 3 小题满分小题满分 8 8 分分. . 已知椭圆的方程为 22 22 1(0) xy ab ab ，(0, )Ab、(0,)Bb和( ,0)Q a为的三个顶 点. （1）若点M满足 1 () 2 AMAQAB ，求点M的坐标； （2）设直线 11 :lyk xp交椭圆于C、D两点，交直线 22
2、:lyk x于点E.若 2 12 2 b kk a ，证明：E为CD的中点； （3）设点P在椭圆内且不在x轴上，如何构作过PQ中点F的直线l，使得l与椭圆 的两个交点 1 P、 2 P满足 12 PPPPPQ 12 PPPPPQ ？令10a ，5b ，点P的 坐标是（-8，-1） ，若椭圆上的点 1 P、 2 P满足 12 PPPPPQ ，求点 1 P、 2 P的坐标. 解析：(1) ( ,) 22 ab M； (2) 由方程组 1 22 22 1 yk xp xy ab ，消 y 得方程 22222222 11 ()2()0a kbxa k pxapb， 因为直线 11 :lyk xp交椭圆
3、于C、D两点， 所以0，即 2222 1 0a kbp， 设 C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD 中点坐标为(x0,y0)， 则 2 121 0 222 1 2 010 222 1 2 xxa k p x a kb b p yk xp a kb ， 由方程组 1 2 yk xp yk x ，消 y 得方程(k2k1)xp， 又因为 2 2 2 1 b k a k ，所以 2 1 0 222 211 2 20 222 1 a k pp xx kka kb b p yk xy a kb ， 故 E 为 CD 的中点； (3) 因为点 P 在椭圆 内且不在 x 轴上，所以点 F 在椭圆 内，可
4、以求得直线 OF 的斜率 k2，由 12 PPPPPQ 知 F 为 P1P2的中点，根据(2)可得直线 l 的斜率 2 1 2 2 b k a k ，从而得直 线 l 的方程 1 (1,) 2 F，直线 OF 的斜率 2 1 2 k ，直线 l 的斜率 2 1 2 2 1 2 b k a k ， 解方程组 22 1 1 2 1 10025 yx xy ，消 y：x22x480，解得 P1(6,4)、P2(8,3) （2010 湖南文数）湖南文数）19.（本小题满分 13 分） 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川山上相距 8Km 的 A、B 两点各建一个考察 基地，视冰川面为平面形，以过
5、 A、B 两点的直线为 x 轴，线段 AB 的垂直平分线为 y 轴建 立平面直角坐标系（图 4） 。考察范围到 A、B 两点的距离之和不超过 10Km 的区域。 （I）求考察区域边界曲线的方程： （II）如图 4 所示，设线段 12 PP 是冰川的部分边界线（不考虑其他边界） ，当冰川融 化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动 0.2km，以 后每年移动的距离为前一年的 2 倍。问：经过多长时间，点 A 恰好在冰川边界 线上？ （2010 浙江理数）浙江理数）(21) （本题满分 15 分）已知 m1，直线 2 :0 2 m l xmy，椭圆 2 2 2 :1 x Cy m
6、 ， 1,2 F F分别为椭圆C的左、右焦点. （）当直线l过右焦点 2 F时，求直线l的方程； （）设直线l与椭圆C交于,A B两点， 12 AFFV， 12 BFFV的重心分别为,G H.若原点O在以线段GH为直径的圆 内，求实数m的取值范围. 解析：本题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时 考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。 （）解：因为直线: l 2 0 2 m xmy经过 2 2( 1,0)Fm ，所以 2 2 1 2 m m , 得 2 2m ， 又因为1m ，所以2m ， 故直线l的方程为 2 2 20 2 xy。 （）解：设 1122 (
7、 ,), (,)A x yB xy。 由 2 2 2 2 2 1 m xmy x y m ，消去x得 2 2 210 4 m ymy 则由 2 22 8(1)80 4 m mm ，知 2 8m ， 且有 2 1212 1 , 282 mm yyy y A。 由于 12 (,0),( ,0),FcF c， 故O为 12 FF的中点， 由2,2AGGO BHHO ， 可知 1121 (,), (,), 3333 xyxy Gh 22 2 1212 ()() 99 xxyy GH 设M是GH的中点，则 1212 (,) 66 xxyy M ， 由题意可知2,MOGH 即 22 22 12121212
8、 ()() 4()() 6699 xxyyxxyy 即 1212 0 x xy y 而 22 12121212 ()() 22 mm x xy ymymyy y 2 2 1 (1 () 82 m m） 所以 2 1 0 82 m 即 2 4m 又因为1m 且0 所以12m。 所以m的取值范围是(1,2)。 （20102010 全国卷全国卷 2 2 理数）理数） （21） （本小题满分 12 分） 己知斜率为 1 的直线l与双曲线C： 22 22 100 xy ab ab ，相交于B、D两点，且 BD的中点为1,3M （）求C的离心率； （）设C的右顶点为A，右焦点为F，17DF BF A，证明
9、：过A、B、D三点的圆 与x轴相切 【命题意图】本题主要考查双曲线的方程及性质，考查直线与圆的关系，既考查考生的基 础知识掌握情况，又可以考查综合推理的能力. 【参考答案】 【点评】高考中的解析几何问题一般为综合性较强的题目，命题者将好多考点以圆锥曲线 为背景来考查，如向量问题、三角形问题、函数问题等等，试题的难度相对比较稳定. （20102010 陕西文数）陕西文数）20.（本小题满分 13 分） （）求椭圆 C 的方程； ()设 n 为过原点的直线，l 是与 n 垂直相交与点 P，与椭圆相交 于 A,B 两点的直线 立？若存在，求出直线 l 的方程；并说出；若不存在，请说明理由。 （201
10、02010 辽宁文数）辽宁文数） （20） （本小题满分 12 分） 设 1 F， 2 F分别为椭圆 22 22 :1 xy C ab (0)ab的左、右焦点，过 2 F的直线l与椭 圆C 相交于A,B两点，直线l的倾斜角为60， 1 F到直线l的距离为2 3. （）求椭圆C的焦距； （）如果 22 2AFF B ,求椭圆C的方程. 解：（）设焦距为2c，由已知可得 1 F到直线 l 的距离32 3,2.cc故 所以椭圆C的焦距为 4. （）设 112212 ( ,), (,),0,0,A x yB xyyy由题意知直线l的方程为3(2).yx 联立 22224 22 22 3(2), (3)
11、4 330. 1 yx abyb yb xy ab 得 解得 22 12 2222 3(22 )3(22 ) ,. 33 baba yy abab 因为 2212 2,2.AFF Byy 所以 即 22 2222 3(22 )3(22 ) 2. 33 baba abab 得 22 3.4,5.aabb而所以 故椭圆C的方程为 22 1. 95 xy （2010 辽宁理数）辽宁理数）(20)（本小题满分 12 分） 设椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的左焦点为 F，过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A，B 两点，直线 l 的倾斜角为 60o,2AFFB . (I)求椭圆 C
12、 的离心率； (II)如果|AB|= 15 4 ，求椭圆 C 的方程. 解： 设 1122 ( ,), (,)A x yB xy，由题意知 1 y0， 2 y0. （）直线 l 的方程为 3()yxc，其中 22 cab. 联立 22 22 3(), 1 yxc xy ab 得 22224 (3)2 330abyb cyb 解得 22 12 2222 3(2 )3(2 ) , 33 b cab ca yy abab 因为2AFFB ，所以 12 2yy. 即 22 2222 3(2 )3(2 ) 2 33 b cab ca abab 得离心率 2 3 c e a . 6 分 （）因为 21 1
13、 1 3 AByy，所以 2 22 24 315 343 ab ab . 由 2 3 c a 得 5 3 ba.所以 515 44 a ，得 a=3，5b . 椭圆 C 的方程为 22 1 95 xy . 12 分 （2010 全国卷全国卷 2 文数）文数） （22） （本小题满分 12 分） 已知斜率为 1 的直线 1 与双曲线 C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 相交于 B、D 两点，且 BD 的 中点为 M（1.3） （） （）求 C 的离心率； （） （）设 C 的右顶点为 A，右焦点为 F，|DF|BF|=17 证明：过 A、B、D 三点的圆 与 x 轴相切。 【 【解
14、析解析】 】本本题题考考查查了了圆锥圆锥曲曲线线、直、直线线与与圆圆的知的知识识，考，考查查学生运用所学知学生运用所学知识识解决解决问题问题的能力。的能力。 （ （1）由直）由直线过线过点（点（1， ，3）及斜率可得直）及斜率可得直线线方程，直方程，直线线与双曲与双曲线线交于交于 BD 两点的中点两点的中点为为（ （1， ，3），可），可 利用直利用直线线与双曲与双曲线线消元后根据中点坐消元后根据中点坐标标公式找出公式找出 A,B 的关系式即求得离心率。的关系式即求得离心率。 （ （2）利用离心率将条件）利用离心率将条件|FA|FB|=17，用含，用含 A 的代数式表示，即可求得的代数式表示，
15、即可求得 A， ，则则 A 点坐点坐标标可得可得 （ （1， ，0），由于），由于 A 在在 X 轴轴上所以，只要上所以，只要证证明明 2AM=BD 即即证证得。得。 （20102010 江西理数）江西理数）21. （本小题满分 12 分） 设椭圆 22 1 22 :1(0) xy Cab ab ，抛物线 22 2: Cxbyb 。 （1）若 2 C经过 1 C的两个焦点，求 1 C的离心率； （2）设 A（0，b） ， 5 3 3 4 Q ，,又 M、N 为 1 C与 2 C不在 y 轴上的两个交点，若AMN 的垂心为 3 4 Bb 0，且QMN 的重心在 2 C上，求椭圆 1 C和抛物线
16、2 C的方程。 【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程。 （1）由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得： 22 cb，由 2 2222 2 12 2, 22 c abcce a 有。 (2)由题设可知 M、N 关于 y 轴对称，设 11111 (,),( ,)(0)Mx yN x yx,由AMN的垂心为 B，有 2 111 3 0()()0 4 BM ANxyb yb 。 由点 11 ( ,)N x y在抛物线上， 22 11 xbyb，解得： 11 () 4 b yyb 或舍去 故 1 555 ,(,),(,) 22424 bb xb MbNb，得QMN重心坐标( 3, ) 4 b . 由重心在抛物线上得： 2 2 3,=2 4 b bb所以， 11 (5,),( 5,) 22 MN，又因为 M、N 在椭圆上得： 2 16 3 a ，椭圆方程为 22 16 3 1 4 xy ，抛物线方程为 2 24xy。 （2010 安徽文数）安徽文数）17、 （本小题满分 12 分） 椭圆E经过点2,3A，对称轴为坐标轴， 焦点 12 ,F F在x轴上，离心率 1 2
