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1、黄骅中学2020-2021年度高中二年级第一学期第三次月考数学试卷共150分.考试时间120分钟.一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法运算，采用分母实数化的方法求解出的结果.【详解】因为，故选：C.【点睛】本题考查复数的除法运算，难度较易.复数进行除法运算时，要注意将分母实数化即乘以分母的共轭复数.2. 若函数yf(x)在xa处的导数为A，则为()A. AB. 2AC. D. 0【答案】B【解析】【详解】其改变量对应故选3. 一只蚂蚁在三边长分别为3、4
2、、5的三角形的边上爬行，某时间该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为 （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意做出三角形的图形，然后利用几何概型的长度型解答即可【详解】根据题意，如图在中， 的周长为，由图分析可得，距离三角形的三个顶点的距离均超过的部分为线段，所以某时间该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率为 故选D【点睛】本题考查几何概型的长度型，属于一般题4. 已知双曲线 的一个焦点为，椭圆的焦距为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由题意可得 ，代入可得椭圆的方程，由焦距可得关于的方程，解之可得【详解】由题意可得，且 ，解
3、得，故椭圆的方程可化为，故其焦距或，解得 ，或 （此时方程不表示椭圆，舍去），故故选C【点睛】本题考查双曲线的简单性质，涉及双曲线的焦距和椭圆的焦距，属中档题5. 点在平面上以速度作匀速直线运动，若4秒后点的坐标为，则点的初始坐标为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，列出方程组，即可求解.【详解】设点的初始坐标为，因为点在平面上以速度作匀速直线运动，若4秒后点的坐标为，可得，解得，即点的初始坐标为.故选：B.6. 对任意实数a，b，c，给出下列命题：“”是“”的充要条件“是无理数”是“a是无理数”的充要条件；“”是“”的充分不必要条件“”是“”的必要不充分条件，其
4、中真命题的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】依次判断每个选项：得到或，不正确；根据无理数定义知正确；若，不满足，所以不正确；根据必要不充分条件定义知正确，得到答案.【详解】则，即，故或，所以是的充分不必要条件，所以不正确；是无理数，5是有理数，所以a是无理数；a是无理数，则是无理数，故“是无理数”是“a是无理数”的充要条件，所以正确；若，则得，不是充分条件，所以不正确；推不出，若，则，故“”是“”的必要不充分条件，所以正确；故选：B.【点睛】本题考查了充分必要条件的判断，意在考查学生的推断能力，掌握充分必要条件的定义是解题的关键.7. 为了推进课堂改革，提高
5、课堂效率，银川一中引进了平板教学，开始推进“智慧课堂”改革.学校教务处为了了解我校高二年级同学平板使用情况，从高二年级923名同学中抽取50名同学进行调查先用简单随机抽样从923人中剔除23人，剩下的900人再按系统抽样方法抽取50人，则在这923人中，每个人被抽取的可能性 ( )A. 都相等，且为B. 不全相等C. 都相等，且为D. 都不相等【答案】C【解析】【分析】系统抽样方法是一个等可能的抽样，故每个个体被抽到的概率都是相等的，结合概率的定义，即可判断每个个体被抽取的概率【详解】因为在系统抽样中，若所给的总体个数不能被样本容量整除，则要先剔除几个个体，然后再分组，在剔除过程中，每个个体被
6、剔除的概率相等，所以每个个体被抽到包括两个过程；一是被剔除，二是被选中，这两个过程是相互独立的，所以每人入选的概率故选C【点睛】本题考查系统抽样的方法，解题的关键是理解系统抽样是一个等可能抽样，即每个个体被抽到的概率相等，由此算出每人被抽取的概率8. 定义在上的函数，是其导数，且满足，则不等式 （其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】构造函数，研究的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【详解】令，则，可知函数在上单调递增，故当时，即，即不等式的解集为故选A【点睛】本题考查利用导数研究不等式问题，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单
7、调性是解题的关键.利用导数研究不等式恒成立问题或不等式的解集问题，往往要根据已知和所求合理构造函数，再求导进行求解，如本题中的关键是利用“”和“”的联系构造函数.二、多选题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分)9. 已知是椭圆上一点，为其左右焦点，且的面积为，则下列说法正确的是（ ）A. 点纵坐标为B. C. 的周长为D. 的内切圆半径为【答案】CD【解析】【分析】设，利用以及椭圆方程可求出点坐标，即可判断A；求出，利用韦达定理可判断B；根据椭圆定义可判断C；根据内切圆半径和面积的关系，可判断D.【详
8、解】解：由已知，不妨设，则，故A错；，得，故B错；由椭圆定义，的周长，故C正确；设的内切圆半径为，故D正确；故选：CD.【点睛】本题考查椭圆的定义，针对焦点三角形的计算要熟练，考查学生计算能力，是中档题.10. 已知双曲线E：的左右焦点分别为，点P为其渐近线上一点，且满足：，则下列说法正确的是（ ）A. B. C. 的焦距为D. 的实轴长为【答案】BD【解析】【分析】由直线斜率和倾斜角关系可知，则A错误；由垂直关系可知，可知B正确；利用可构造方程求得，由此可得焦距知C错误；利用长度关系可得，根据渐近线斜率可知，结合双曲线关系可求得，由此可得实轴长，知D正确.【详解】对于A，A错误；对于B，即，
9、B正确；对于C，又，的焦距为，C错误；对于D，若为坐标原点，则，即，解得：，的实轴长为，D正确.故选：BD.【点睛】关键点点睛：本题解题关键是能够根据直线斜率和倾斜角关系、长度关系确定的内角的大小和双曲线渐近线的斜率.11. 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60，下列说法中正确的是（ ）A. B. C. 向量与的夹角是60D. 与AC所成角的余弦值为【答案】AB【解析】【分析】直接用空间向量的基本定理，向量的运算对每一个选项进行逐一判断.【详解】以顶点A为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60，可设棱长为1,则 而， 所以A
10、正确. =0,所以B正确.向量,显然 为等边三角形，则.所以向量与的夹角是 ,向量与的夹角是,则C不正确又， 则， 所以，所以D不正确.故选：AB【点睛】本题考查空间向量的运算，用向量求夹角等，属于中档题.12. 如图，正方体中，是线段上的两个动点，则下列结论正确的是（ ）A. ，始终在同一个平面内B. 平面C. D. 若正方体的棱长和线段的长均为定值，则三棱锥的体积为定值【答案】BCD【解析】【分析】A根据点与平面的关系作出判断；B根据线面平行的判定定理进行分析；C根据与平面的位置关系作出判断；D设出正方体棱长以及的长度，根据条件得到到平面的距离，从而可计算出三棱锥的体积并完成判断.【详解】
11、因为，同在平面上，而不在平面上，所以，不在同一个平面内，故A错误；因为，平面，平面，所以平面，故B正确；因为平面，而平面，所以，连接，交于点，则，而，平面，平面，所以平面.因为平面，所以，故C正确；不妨设正方体的棱长为，则.由于平面，则平面，所以.因为，为定值，所以三棱锥的体积为定值，故D正确.故选：BCD.【点睛】易错点睛：空间中线面平行的证明以及三棱锥体积计算的注意事项有：（1）证明线面平行时，注意说明哪一条直线在面内，哪一条直线不在面内；（2）求解三棱锥体积时，注意选择合适的点作为顶点，合适的三角形作为底面积，这样可以很大程度上简化计算.三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)1
12、3. 将曲线在点处的切线绕切点逆时针旋转后所得直线的方程为_【答案】【解析】【分析】由导数的几何意义得出切线的倾斜角，再得出旋转后直线的倾斜角，进而得出方程.【详解】，即切点为该切线的斜率为，即倾斜角为旋转后的直线的倾斜角为，故该直线为故答案为：14. 若，使得成立是假命题，则实数的取值范围是_【答案】【解析】【分析】将命题转化为，使得恒成立是真命题，令函数，对其求导，讨论导函数取正负的区间，得出所构造的函数的单调性，从而求出最值，利用不等式恒成立的思想，得出实数的取值范围.【详解】因为，使得成立是假命题，所以，使得恒成立是真命题，即，使得恒成立是真命题，令，则 ，当时，函数在上单调递减，当时
13、，函数在上单调递增，所以，则.故答案为：.【点睛】本题考查全称命题和特称命题的关系，运用参变分离的方法求参数的范围，属于中档题.15. 已知双曲线:（，）的左右焦点分别为，点在的左支上，交的右支于点，则的离心率为_【答案】【解析】【分析】设AB的中点为M，由，得到，进而得到，再由，得到，设，由双曲线的定义，联立求得进而得到， 由求解.【详解】如图所示：设AB的中点为M，所以，又，所以，所以，因为M为AB的中点，且所以，设，由双曲线的定义得，又，所以，所以，所以，因为，所以，即，解得.故答案为：【点睛】关键点点睛：本题关键是由，得到是正三角形，再利用双曲线的定义进而得解.16. 已知四棱锥的底面
14、是矩形，平面平面，则异面直线与所成的角为_；四棱锥体积的最大值为_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】先画出其异面直线所成角，利用三边关系满足勾股定理证明其是直角即可；建立四棱锥体积的表达式，求导即可求出最大值【详解】如图，取边中点为，连接，设，为以为斜边的等腰直角三角形，且，平面平面，平面 ，即，即，与所成角为，为棱锥高取令，所以在上单调递增，在上单调递减，四棱锥体积的最大值为故答案为：；【点睛】本题考查异面直线所成角，四棱锥的体积表示，难度较大，关键点在于能够通过所给条件表示出体积的表达式四、解答题(本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17. 已知命题：方程表示焦点在轴上的椭圆，命题：,不等式恒成立.（1）若“”是真命题，求实数的取值范围；（2）若“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】
