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1、第五节 函数的极限数列可看作自变量为正整数n的函数: , 数列的极限为，即：当自变量取正整数且无限增大时，对应的函数值无限接近数. 若将数列极限概念中自变量和函数值的特殊性撇开，可以由此引出函数极限的一般概念：在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的数，则就称为在该变化过程中函数的极限. 显然，极限是与自变量的变化过程紧密相关，自变量的变化过程不同，函数的极限就有不同的表现形式. 本节分下列两种情况来讨论： 1、自变量趋于无穷大时函数的极限； 2、自变量趋于有限值时函数的极限.分布图示 自变量趋向无穷大时函数的极限 例1 例2例3 自变量趋向有限值时函数的极限 例4 例5
2、 例6 例7 左右极限 例8 例9 例10 例11 函数极限的性质 子序列收敛性 函数极限与数列极限的关系 内容小结 课堂练习 习题 1- 5内容要点 一、自变量趋于无穷大时函数的极限 二、自变量趋于有限值时函数的极限 三、左右极限的概念 四、函数极限的性质：唯一性 有界性 保号性 五、子序列的收敛性例题选讲自变量趋于无穷大时函数的极限例1 (E01) 用极限定义证明 证 因为于是可取则当时,恒有故证毕.例2 (E02) 用极限定义证明 证 对于任意给定的要使只要即就可以了.因此，对于任意给定的取则当时，恒成立.所以注: 同理可证：当时，而当时，例3 证明 证 由，现在，令于是，若取则当时，就
3、有即证毕.自变量趋于有限值时函数的极限例4 (E03) 设，问等于多少时，有：当时，?解 欲使，即 从而 , 即当时，有：当时，（如图）.例5(E04) (1) 证明 (为常数）.证 任给任取当时，恒成立，例5 (2) 证明证 任给取当时，成立，例6 (E05) 证明 .证 函数在点处没有定义,任给要使只要取则当时,就有例7 证明: 当时, .证 任给要使只要且取则当时,就有左右极限的概念例8 验证不存在.证 左右极限存在但不相等. 不存在.例9 (E06) 设 求 .解 因为即有所以不存在.例10 设 求 解 是函数的分段点，如下图.两个单侧极限为 左右极限存在且相等，故例11 (E07) 设 求解 在处没有定义，而 ， 故不存在. 课堂练习1. 设函数, 试问函数在处的左、右极限是否存在? 当时, 的极限是否存在?2. 若且问: 能否保证有的结论? 试举例说明.
