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1、第5讲 空间向量及运用（教师版）一学习目标：1.理解直线的方向向量与平面的法向量2能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系3能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理(包括三垂线定理)4能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用.二重点难点：1.重点：（1）如何求直线的方向向量和平面的法向量，并通过它们研究线面关系，（2）会用向量法求各种空间角及空间距离2.难点：正确掌握空间角的类型及各自的范围，特别注意两平面法向量的夹角与二面角的关系三 知识梳理：（一）空间向量及其有关概念语言描述共线向量(平行向
2、量)表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合共面向量平行于同一平面的向量共线向量定理对空间任意两个向量a，b(b0)，ab存在R，使ab.共面向量定理若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxayb.空间向量基本定理来源:学.科.网(1)定理：如果三个向量a、b、c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组x，y，z使得px ay bz c(2)推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间一点P都存在唯一的三个有序实数x、y、z使xyz且xyz1.（二）、数量积及坐标运算1两个向量的数量积(1)ab|a|b|cosa，b；(2)abab0(a，
3、b为非零向量)；(3)|a|2a2，|a|.2向量的坐标运算a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)向量和ab(a1b1，a2b2，a3b3)向量差ab(a1b1，a2b2，a3b3)数量积aba1b1a2b2a3b3共线aba1b1，a2b2，a3b3(R)垂直aba1b1a2b2a3b30夹角公式cosa，b（三）、平面的法向量(1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量(2)在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是唯一的（四）用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为
4、v1和v2，则l1l2(或l1与l2重合)v1v2.(2)设直线l的方向向量为v，与平面共面的两个不共线向量v1和v2，则l或l存在两个实数x，y，使vxv1yv2.(3)设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则l或lvu.(4)设平面和的法向量分别为u1，u2，则u1 u2.（五） 用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1l2v1v2v1v20.(2)设直线l的方向向量为v，平面的法向量为u，则lvu.(3)设平面和的法向量分别为u1和u2，则u1u2u1u20.（六）利用向量求空间角与距离：1两条异面直线所成的角的求法设两条异面直线a，b的方向
5、向量为a，b，其夹角为，则cos |cos |(其中为异面直线a，b所成的角)2直线和平面所成角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，两向量e与n的夹角为，则有sin |cos |.3求二面角的大小(1)如图1，AB、CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，(2)如图2、3，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小n1，n2(或n1，n2)4点面距的求法：如图，设AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则B到平面的距离d .四典例剖析：题型一 向量法证明平行与垂直例1（2012年福建理高考题）如图，在长方体A
6、BCD-A1B1C1D1中AA1=AD=1，E为CD中点。（）求证：B1EA D1（）在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由。 解:(1)以点A为原点建立空间直角坐标系,设,则 ,故 (2)假设在棱上存在一点,使得平面,则 设平面的法向量为,则有,取,可得,要使平面,只要 ,又平面,存在点使平面,此时. 课堂练习1：（2012年高考（江苏）如图,在直三棱柱中,分别是棱上的点(点 不同于点),且为的中点.求证:(1)平面平面;(2)直线平面.证明:(1)是直三棱柱,平面. 又平面,. 又平面,平面. 又平面,平面平面. (2),为的中点,. 又平
7、面,且平面,. 又平面,平面. 由(1)知,平面,. 又平面平面,直线平面 课堂小结：证明线面平行和垂直问题，可以用几何法，也可以用向量法，用向量法的关键在于构造向量，再用共线向量定理或共面向量定理及两向量垂直的判定定理若能建立空间直角坐标系，其证法较为灵活方便二 向量法求异面直线所成角例2 如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB4，AD3，AA12.E、F分别是线段AB、BC上的点，且EBBF1.求直线EC1与FD1所成的角的余弦值解以A为原点，、分别为x轴、y轴、z轴的正向建立空间直角坐标系，则有D1(0,3,2)，E(3,0,0)，F(4,1,0)，C1(4,3,2)，于
8、是(1,3,2)，(4,2,2)，设EC1与FD1所成的角为，则：cos ，直线EC1与FD1所成的角的余弦值为.课堂练习2：正四面体A-BCD中，AE=3EB,DF=3FC,求异面直线AF,CE所成角。解：将此正四面体补形在棱长为4的正方体中，建立空间直角坐标系如图，则各点坐标分别为：A(4，0，0),B(4,4,4) ,C(0,4,0),D(0,0,4),E(4,3,3),F(0,3,1),=(-4，3，1), =(4,-1,3),=,异面直线AF,CE所成角的余弦值为。三 向量法求直线与平面所成角例3（2013年高考新课标1（理）如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=A
9、A1,BA A1=60.()证明ABA1C;()若平面ABC平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值.解：()取AB中点E,连结CE, AB=,=,是正三角形, AB, CA=CB, CEAB, =E,AB面, AB; ()由()知ECAB,AB, 又面ABC面,面ABC面=AB,EC面,EC, EA,EC,两两相互垂直,以E为坐标原点,的方向为轴正方向,|为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系, 有题设知A(1,0,0),(0,0),C(0,0,),B(-1,0,0),则=(1,0,),=(-1,0,),=(0,-,), 设=是平面的法向量, 则,即,
10、可取=(,1,-1), DABPCE=, 直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为 课堂练习3：（2012年高考（大纲文）如图,四棱锥中,底面为菱形,底面,是上的一点,.()证明:平面;()设二面角为90,求与平面所成角的大小.解:设,以为原点,为轴,为轴建立空间直角坐标系,则设. ()证明:由得, 所以,所以, .所以,所以平面; () 设平面的法向量为,又,由得,设平面的法向量为,又,由,得,由于二面角为,所以,解得. 所以,平面的法向量为,所以与平面所成角的正弦值为,所以与平面所成角为. 题型四 向量法求二面角例4 （2013年高考陕西卷（理）如图, 四棱柱ABCD-A1B1C1D
11、1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O平面ABCD, . () 证明: A1C平面BB1D1D; () 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小. 【答案】解:() ;又因为,在正方形AB CD中,. 在正方形AB CD中,AO = 1 . . 来源:学_科_网.(证毕) () 建立直角坐标系统,使用向量解题. 以O为原点,以OC为X轴正方向,以OB为Y轴正方向.则 . 由()知, 平面BB1D1D的一个法向量 设平面OCB1的法向量为 . 所以,平面OCB1与平面BB1D1D的夹角为 课堂练习4 （2012年高考广东理）如图5所示,在四棱锥中,底面为矩形,平面,点在线段上,平
12、面.()证明:平面;()若,求二面角的正切值.解析:()因为平面,平面,所以.又因为平面,平面,所以.而,平面,平面,所以平面. ()由()可知平面,而平面,所以,而为矩形,所以为正方形,于是. 以点为原点,、为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系.则、,于是,.设平面的一个法向量为,则,从而,令,得.而平面的一个法向量为.所以二面角的余弦值为,于是二面角的正切值为3. 五品味高考（家庭作业）：1.（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）已知正四棱柱中,则与平面所成角的正弦值等于（）ABCD【答案】A 2.（2013年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题）已知三棱柱的侧棱与底面垂直
13、,体积为,底面是边长为的正三角形.若为底面的中心,则与平面所成角的大小为（）ABCD【答案】B 3.（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题）如图,AB是圆的直径,PA垂直圆所在的平面,C是圆上的点.(I)求证:(II)（1）（证明略）（2）解：4.（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题）如图,四棱锥中,为的中点,.(1)求的长; (2)求二面角的正弦值.【答案】5.（2013年高考湖北卷（理）如图,是圆的直径,点是圆上异于的点,直线平面,分别是,的中点.(I)记平面与平面的交线为,试判断直线与平面的位置关系,并加以证明;(II)设(I)中的直线与圆的另一个交点为,且点满足.记直线与平面所成的角为,异面直线与所成的角为,二面角的大小为,求证:.第19题图【答案】解:(I), ，, ，又 (II)连接DF,用几何方法很快就可以得到求证.(这一题用几何方法较快,向量的方法很麻烦,特别是用向量不能方便的表示角的正弦.个人认为此题与新课程中对立体几何的处理方向有很大的偏差.)
