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1、高考总复习：概率的综合应用（文）【考纲要求】一、随机事件的概率（1）了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别；（2）了解两个互斥事件的概率加法公式。二、古典概型（1）理解古典概型及其概率计算公式；（2）会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。三、几何概型（1）了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率；（2）了解几何概型的意义。【知识网络】几何概型概率随机事件的概率等可能事件的概率互斥事件的概率应用古典概型【考点梳理】考点一、随机事件的概率1事件（1）在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件；（2）在条件S下，一定不会发生的事件，
2、叫做相对于条件S的不可能事件；（3）在条件S下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件。2概率和频率（1）用概率度量随机发生的可能性大小能为我们的决策提供关键性的依据；（2）在相同条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数为事件A出现的频数，称事件A出现的比例为事件A出现的频率；（3）对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频繁随着试验次数的增加稳定于概率P（A），因此可以用频率来估计概率P（A）。要点诠释：频率和概率的区别是频率随着试验次数的变化而变化，概率却是一个常数，它是频率的科学抽象。当试验次数越来越多时，频率向概率靠近，只要次数足够多，所
3、得频率就近似地当作随机事件的概率。3事件之间的关系和运算定义符号表示包含关系如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B）相等关系若，那么称事件A与事件B相等A=B并事件（和事件）若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或和事件）AB（或A+B）交事件（积事件）若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件）AB（或AB）互斥事件若AB为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥AB=对立事件若AB为不可能事件，AB为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件互斥事件和对立事件都是针
4、对两个事件而言的。在一次试验中，两个互斥的事件有可能都不发生，也可能有一个发生；而两个对立的事件则必有一个发生，但不可能同时发生。所以，两个事件互斥，他们未必对立；反之，两个事件对立，它们一定互斥。也就是说，两个事件对立是这两个事件互斥的充分而不必要条件。4概率的几个基本性质（1）概率的取值范围：0P（A）1；（2）必然事件的概率P（E）=1；（3）不可能事件的概率P（F）=0；（4）概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P（AB）=P（A）+P（B）；（5）对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则AB为必然事件。P（AB）=1，P（A）=1-P（B）。考点二、古典概型1基本事件的特点
5、（1）任何两个基本事件是互斥的；（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和。2古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型。（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等。确定一个试验是否为古典概型主要在于这个试验是否具有古典概型的两个特征：有限性和等可能性。3古典概型的概率公式4求古典概型概率的步骤（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；（2）判断本试验的结晶是否为等可能事件，设出所求事件A；（3）分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m;（4）利用公式求出事件A的概率。考点三、几何概型（1）
6、定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型。（2）在几何概型中事件A的概率计算公式古典概型与几何概型中基本事件发生的可能性是相等的，但古典概型要求基本事件有有限个，几何概型要求基本事件有无限多个。【典型例题】类型一、随机事件的概率1事件的判断：三种事件即不可能事件、必然事件和随机事件的概念充分理解，特别是随机事件要看它是否可能发生，并且是在一定条件下的，它不同于判断命题的真假。2对随机事件的理解应包含下面两个方面：（1）随机事件是指一定条件下出现的某种结果，随着条件的改变其结果也会不同，因此必须强调同一事件必须在相同
7、的条件下研究；（2）随机事件可以重复地进行大量试验，每次试验结果不一定相同，且无法预测下一次的结果，但随着试验的重复进行，其结果呈现规律性。【例1】判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？（1）“抛一石块，下落”.（2）“在标准大气压下且温度低于0时，冰融化”；（3）“某人射击一次，中靶”；（4）“如果ab,那么ab0”;（5）“掷一枚硬币，出现正面”；（6）“导体通电后，发热”；（7）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”；（8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；（9）“没有水份，种子能发芽”；（10）“在常温下，焊锡熔化”【思路点拨】利
8、用随机事件的定义加以判断。【解析】根据定义，事件（1）、（4）、（6）是必然事件；事件（2）、（9）、（10）是不可能事件；事件（3）、（5）、（7）、（8）是随机事件。【总结升华】熟悉必然事件、不可能事件、随机事件的联系与区别。针对不同的问题加以区分。【例2】（1）如果某种彩票中奖的概率为，那么买1000张彩票一定能中奖吗？请用概率的意义解释。（2）在一场乒乓球比赛前，裁判员利用抽签器来决定由谁先发球，请用概率的知识解释其公平性。【解析】（1）不一定能中奖，因为，买1000张彩票相当于做1000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，即每张彩票可能中奖也可能不中奖，因此，1000张彩票中可能没
9、有一张中奖，也可能有一张、两张乃至多张中奖。（2）这个规则是公平的，因为抽签上抛后，红圈朝上与绿圈朝上的概率均是0.5，因此任何一名运动员猜中的概率都是0.5，也就是每个运动员取得先发球权的概率都是0.5。【总结升华】（1）买1000张彩票，相当于1000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，所以做1000次试验的结果也是随机的，也就是说，买1000张彩票有可能没有一张中奖。（2）这个规则是公平的，因为每个运动员先发球的概率为0.5，即每个运动员取得先发球权的概率是0.5。事实上，只能使两个运动员取得先发球权的概率都是0.5的规则都是公平的。举一反三：【变式1】某战士在打靶中，连续射击两次，事
10、件“至少有一次中靶”的对立事件是（ ）（A）至多有一次中靶 （B）两次都中靶（C）两次都不中靶（D）只有一次中靶【答案】C。【变式2】把标号为1，2，3，4的四个小球随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一个。事件“甲分得1号球”与事件“乙分得1号球”是（ ）（A）互斥但非对立事件（B）对立事件（C）相互独立事件 （D）以上都不对【答案】A。【总结升华】一定要区分开对立和互斥的定义，互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做互斥事件。类型二、古典概型【例3】某种零件按质量标准分为五个等级.现从一批该零件中随机抽取个，对其等级进行统计分
11、析，得到频率分布表如下： 等级频率（）在抽取的个零件中，等级为的恰有个，求；（）在（）的条件下，从等级为和的所有零件中，任意抽取个，求抽取的个零件等级恰好相同的概率.【思路点拨】（）可利用频率和等于1和在抽取的个零件中，等级为的恰有个这一条件求出（）利用古典概型求解步骤求解。【解析】（）由频率分布表得 ，即 . 由抽取的个零件中，等级为的恰有个，得 . 所以. （）由（）得，等级为的零件有个，记作；等级为的零件有个，记作.从中任意抽取个零件，所有可能的结果为：共计种. 记事件为“从零件中任取件，其等级相等”.则包含的基本事件为共4个. 故所求概率为 . 【总结升华】求解古典概型问题：先用列举法
12、求出基本事件总数n，再求出事件A包含的基本事件数m,最后根据古典概型公式求概率。【例4】袋中有6个球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出2个球，求下列事件的概率：（1）A：取出的2个球都是白球；（2）B：取出的2个球中1个是白球，另1个是红球。【思路点拨】利用求解古典概型基本步骤求解。【解析】设4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6。从袋中的6个小球中任取2个的方法为:（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6），（2,3），（2,4），（2,5），（2,6），（3,4），（3,5），（3,6），（4,5），（4,6），（5,6）共15种。（1）从袋中的6个球
13、中任取2个，所取的2个球全是白球的方法总数，即是从4个白球中任取2个的方法总数，共有6种。即：（1,2），（1,3），（1,4），（2,3），（2,4），（3,4）取出的2个球全是白球的概率为:。（2）从袋中的6个球中任取2个，其中1个为红球，而另1个为白球，其取法包括（1，5），（1，6），（2，5），（2，6），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6）共8种。取出的2 个球中1个是白球，另1个是红球的概率为。【总结升华】（1）在古典概型条件下，当基本事件总数为n时，每一个基本事件发生的概率均为，要求事件A的概率，关键是求出基本事件总数n和事件A中所含基本事件数m，再由古典概型概率公式
14、求出事件A的概率。（2）含有“至多”、“至少”等类型的概率问题，从正面突破比较困难或者比较繁琐时，可考虑其反面，即对立事件，然后应用对立事件的性质进一步求解。类型三、古典概型与统计【例5】为了解某地区中学生的身体发育状况，拟采用分层抽样的方法从甲、乙、丙三所中学抽取6个教学班进行调查已知甲、乙、丙三所中学分别有12，6，18个教学班（）求从甲、乙、丙三所中学中分别抽取的教学班的个数；（）若从抽取的6个教学班中随机抽取2个进行调查结果的对比，求这2个教学班中至少有1个来自甲学校的概率【思路点拨】（）先求出甲、乙、丙三所中学的教学班所占比例，用样本容量乘以甲、乙、丙三所中学的教学班所占比例，即得从甲、乙、丙三所中学中分别抽取的教学班的个数（）把从6个教学班中随机抽取2个教学班的基本事件一一列举出来，找出其中至少有1个来自甲学校的基本事件，即可求出这2个教学班中至少有1个来自甲学校的概率【解析】（）由已知可知在甲、乙、丙三所中学共有教学班的比是12:6:18=2:1:3， 所以甲学校抽取教学班数为个，乙学校抽取教学班数为个，丙学校抽取教学班数为个，
