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1、高考中的分类讨论思想岱山中学 姜栋一考纲定向能根据所给研究对象按某个标准分类来解决不定问题，掌握常见的分类讨论的方法与思想并应用。二考情分析分类讨论思想是历年高考的必考内容，它不仅是高考的重点与热点，而且是高考的难点，每年在中档题或高档题中甚至在低档题中都有设置分类讨论问题，通过分类讨论考查推理的严谨性和分析问题解决问题的能力。近三年来，浙江卷（理）中用到分类讨论思想考查的有：年份题号分数20098，16，19，22约占25分201017，18，19，22约占23分20111，9，10，19，22约占26分预测：（1）以导数为背景，结合二次函数的讨论仍然是一个热点问题； （2）排列、组合中用到
2、分类讨论仍然是一个难点问题。三如何应对所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。一般说来,有关分类讨论的试题，相对难度较大,加之考生的惧怕心理以及分类意识的缺乏与淡化、分类的盲目与随意，因而往往得分较低，故研究并掌握分类讨论思想方法，便有着非同寻常的意义。1分类原则：（1）施行分类的集合的全集必须是确定的；（2）每一次分类的标准必须是统一的；（3）分类必须是完整的，不出现遗漏；（4）各子集必须是互斥的，不出现重复；
3、（5）实行多次分类时，必须逐级进行，不得越级。2分类方法：（1）明确讨论对象，确定对象的全体；（2）确定分类标准，正确进行分类；（3）逐步进行讨论，获取阶段性结果；（4）归纳小结，综合得出结论。3分类策略：化整为零各个击破,积零为整全歼问题。4解题一般步骤：确定标准合理分类逐类讨论归纳总结。5解题时严把“四关”：（1）基础关深刻理解基本知识与基本原理；（2）分类关找准划分标准；（3）逻辑关分类条理分明，层次清晰；（4）检验关注意对照题中的限制条件或隐含信息，合理取舍。四在历年高考中常见的几种分类： 1. 有的数学概念、性质、公式就是分类给出的，如绝对值定义,指数函数、对数函数的性质，等比数列的
4、前n项和公式等。例1函数ylogax在x2，+)上恒有|y|1，则a的取值范围为( A )Aa2，且a1 B0a或1a2 C 1a2或0a0(nN*) 。(i)求出q的取值范围 ；(ii)设,的前n项之和为Tn,试比较Sn与Tn的大小。解 (i) (1)当q=1时, (2)当q1时, ,则有,可解得q的取值范围为；(ii) ，则(1) 或时, 即 ； (2)当且时, 即 ； (3)当或时, 即。2. 由图形引起的分类讨论:有的图形的位置、类型关系要讨论，如点、线、面的位置关系，圆锥曲线的类型分类等。例4点A在直二面角a-L-b的棱L上,两条长等于的线段AB,AC分别在平面a,b内,且与L都成4
5、5的角,则BC的长为( C ) 。A B 或 C 或 D 或分析：需要对AB，AC的相对位置关系进行讨论。例5已知线段AB在平面外，A、B两点到平面的距离分别为1和3，则线段AB的中点到平面的距离为 _。 （ 答案： 1或2 ） 分析：分线段AB两端点在平面同侧和异侧两种情况解决。例6已知椭圆的离心率为e = ,则m= _。( 答案： m=3或)例7若方程表示双曲线,则它的焦点坐标为( D ) 。A B C D 由k的取值确定分析:例6和例7需要对焦点在轴上还是在轴上进行讨论。例8已知方程，其中k为实数，对于不同范围的k值，分别指出方程所代表图形的类型，并画出曲线简图。解析：由圆、椭圆、双曲线
6、等方程的具体形式，结合方程的特点，对参数k分k1、k1、0k1、k0、k1时，表示椭圆，其中心在原点，焦点在y轴上，a2，b；(2) 当k1时，表示圆，圆心在原点，r2；(3) 当0k1时，表示椭圆，其中心在原点，焦点在x轴上，a，b2；(4) 当k0时，表示两条平行直线 y2；(5) 当k0时，表示双曲线，中心在原点，焦点在y轴上。 y y y y y o x o x o x o x o x 所有五种情况的简图依次如下所示：3.对于含有参数的问题要对参数的允许值进行全面的讨论。某些含参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或者由于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法。例9设函数，
7、若对于任意的都有成立，则实数的值为 。分析：若对于任意的都有成立，不等式恒成立求参数的范围，可将参数分化出来，在分离时需要对其系数正负进行讨论，转为的不等式，然后可以通过求导研究右边关于的函数，判断其单调性并求出其最值。解：若，则不论取何值，0显然成立；当 即时，0可化为：，设，则， 所以 在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而4；当 即时，0可化为， 在区间上单调递增，因此.，从而4，综上4 。 例10已知函数。（1）当时，证明函数只有一个零点；（2）若函数在区间上是减函数，求实数的取值范围。分析：要证此类函数只有一个零点，就要通过求导，研究函数的单调性，求导后由于函数中含有参数，那
8、么它的导数与参数的取值有关，所以单调性的判断要随参数a的变化而变化，需要对其取值进行分类讨论。解：（1）当时，其定义域是， 令，即，解得或 由于，舍去，当时，；当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，当时，函数取得最大值，其值为。当时，即， 函数只有一个零点。（2）因为其定义域为，所以当时，在区间上为增函数，不合题意；当时，等价于，即此时的单调递减区间为,依题意，得； 当时，等价于，即此时的单调递减区间为，得；综上，实数的取值范围是。 例11设函数，其中。（）当时，判断函数在定义域上的单调性；（）求函数的极值点。分析：先求得函数的定义域，再通过判断导函数的正负来确定函数的单调性，函数的单
9、调性是在的前提下完成的，由（）可知在（）中求函数的极值点需要对的取值以为界限分类判断。另外还要注意到函数的定义域，需要对求出的极值点是否在定义域内作出判断。解：(I) 函数的定义域为，令，则在上递增，在上递减，,当时，在上恒成立。即当时,函数在定义域上单调递增。（II）分以下几种情形讨论：（1）由（I）知当时函数无极值点；（2）当时，时，时，时，函数在上无极值点；（3）当时，解得两个不同解，,当时，此时在上有唯一的极小值点；当时，在都大于0 ，在上小于0 ，此时有一个极大值点和一个极小值点。综上可知，时，在上有唯一的极小值点；时，有一个极大值点和一个极小值点；时，函数在上无极值点。4.由实际意义引起的分类。如在排列组合问题中常需根据实际情况的不同情形分类求解。例12从1，3，5，7中任取2个数字，从0，2，4，6，8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有 300 个(用数字作答) 。 分析：需要对0和5进行讨论：（1）若含0而不含5，则末位一定是0，所以；（2）若含5而不含0，则末位一定是5，所以；（3）若含5且含0，则末位一定是0或5，所以。所以一共有72+108+120=300个。
