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1、导数定义的利用 例 若，则等于（ ） A B C D以上都不是分析：本题考查的是对导数定义的理解，根据导数定义直接求解即可解：由于 ，应选A求曲线方程的斜率和方程 例 已知曲线上一点，用斜率定义求：（1）点A的切线的斜率（2）点A处的切线方程分析：求曲线在A处的斜率，即求解：（1） （2）切线方程为 即说明：上述求导方法也是用定义求运动物体在时刻处的瞬时速度的步骤判断分段函数的在段点处的导数 例 已知函数，判断在处是否可导？分析：对分段函数在“分界点”处的导数问题，要根据定义来判断是否可导解：在处不可导说明：函数在某一点的导数，是指一个极限值，即，当；包括；，判定分段函数在“分界处”的导数是否
2、存在时，要验证其左、右极限是否存在且相等，如果存在且相等，才能判定这点存在导数，否则不存在导数利用导数定义的求解 例 设函数在点处可导，试求下列各极限的值1； 23若，则等于（ ）A1 B2 C1 D分析：在导数的定义中，增量的形式是多种多样的，但不论选择哪种形式，也必须选择相对应的形式利用函数在点处可导的条件，可以将已给定的极限式班等变形转化为导数定义的结构形式解：1原式 2原式 3（含），故选A说明：概念是分析解决问题的重要依据，只有熟练掌握概念的本质属性，把握其内涵与外延，才能灵活地应用概念进行解题，不能准确分析和把握给定的极限式与导数的关系，盲目套用导数的定义是使思维受阻的主要原因解决
3、这类问题的关键就是等价变形，使问题转化利用定义求导数 例 1求函数在处的导数； 2求函数（a、b为常数）的导数分析：根据导数的概念求函数的导数是求导数的基本方法，确定函数在处的导数有两种方法，应用导数定义法和导函数的函数值法解：1解法一（导数定义法）：，解法二（导函数的函数值法）：，2 说明：求导其本质是求极限，在求极限的过程中，力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式，即导数的定义，这是能够顺利求导的关键，因此必须深刻理解导数的概念证明函数的在一点处连续 例 证明：若函数在点处可导，则函数在点处连续分析：从已知和要证明的问题中去寻求转化的方法和策略，要证明在点处连续，必须证明由于函数在点
4、处可导，因此，根据函数在点处可导的定义，逐步实现两个转化，一个是趋向的转化，另一个是形式（变为导数定义形式）的转化解：证法一：设，则当时，函数在点处连续证法二：函数在点处可导，在点处有 函数在点处连续说明：对于同一个问题，可以从不同角度去表述，关键是要透过现象看清问题的本质，正确运用转化思想来解决问题函数在点处连续，有极限以及导数存在这三者之间的关系是：导数存在连续有极限反之则不一定成立证题过程中不能合理实现转化，而直接理解为是使论证推理出现失误的障碍 直接利用导数的运算法则求导 例 求下列函数的导数：1； 23； 4分析：仔细观察和分析各函数的结构规律，紧扣求导运算法则，联系基本函数求导公式
5、，不具备求导法则条件的可适当进行恒等变形，步步为营，使解决问题水到渠成解：1 2 3解法一： 解法二：， 4解法一： 解法二：， 说明：理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件，运算过程出现失误，原因是不能正确理解求导法则，特别是商的求导法同求导过程中符号判断不清，也是导致错误的因素从本题可以看出，深刻理解和掌握导数运算法则，再结合给定函数本身的特点，才能准确有效地进行求导运算，才能充分调动思维的积极性，在解决新问题时举一反三，触类旁通，得心应手化简函数解析式在求解 例 求下列函数的导数1； 2；3； 4分析：对于比较复杂的函数，如果直接套用求导法则，会使问题求解过程繁琐
6、冗长，且易出错可先对函数解析式进行合理的恒等变换，转化为易求导的结构形式再求导数解：1， 2 34，说明：对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误根据点和切线确定抛物线的系数 例 已知抛物线通过点，且在点处与直线相切，求实数a、b、c的值分析：解决问题，关键在于理解题意，转化、沟通条件与结论，将二者统一起来题中涉及三个未知参数，题设中有三个独立的条件，因此，通过解方程组来确定参数a、b、c的值是可行的途径解：曲线过点，又曲线过点，联立解、得说明：利用导数求
7、切线斜率是行之有效的方法，它适用于任何可导函数，解题时要充分运用这一条件，才能使问题迎刃而解解答本题常见的失误是不注意运用点在曲线上这一关键的隐含条件 利用导数求和 例 利用导数求和12分析：问题分别可通过错位相减的方法及构造二项式定理的方法来解决转换思维角度，由求导公式，可联想到它们是另外一个和式的导数，因此可转化求和，利用导数运算可使问题解法更加简洁明快解：1当时， 当时， ，两边都是关于x的函数，求导得 ，即2两边都是关于x的可导函数，求导得 ，令，得，即说明：通过对数列的通项进行联想，合理运用了逆向思维的方法，从而激发了思维的灵活性，使数列的求和问题获得解决，其关键是抓住了数列通项的形
8、式结构学生易犯的错误是受思维定式的影响不善于联想求指数、对数函数的导数 例 求下列函数的导数：1； 2；3； 4分析：对于比较复杂的函数求导，除了利用指数、对数函数求导公式之外，还需要考虑应用复合函数的求导法则来进行求导过程中，可以先适当进行变形化简，将对数函数的真数位置转化为有理函数的形式后再求导数解：1解法一：可看成复合而成解法二： 解法三：， 2解法一：设，则 解法二：3解法一：设，则解法二： 4 说明：深刻理解，掌握指数函数和对数函数的求导公式的结构规律，是解决问题的关键，解答本题所使用的知识，方法都是最基本的，但解法的构思是灵魂，有了它才能运用知识为解题服务，在求导过程中，学生易犯漏
9、掉符合或混淆系数的错误，使解题走入困境解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归，才能抓住问题的本质，把解题思路放开变形函数解析式求导 例 求下列函数的导数：（1）； （2）； （3）； （4）分析：先将函数适当变形，化为更易于求导的形式，可减少计算量解：（1） （2）， （3） （4） 当时不存在说明：求（其中为多项式）的导数时，若的次数不小于的次数，则由多项式除法可知，存在，使从而，这里均为多项式，且的次数小于的次数再求导可减少计算量对函数变形要注意定义域如，则定义域变为，所以虽然的导数与的导数结果相同，但我们还是应避免这种解法函数求导法则的综合运用例 求下列函数的导数：1； 2
10、； 3； 4分析：式中所给函数是几个因式积、商、幂、开方的关系对于这种结构形式的函数，可通过两边取对数后再求导，就可以使问题简单化或使无法求导的问题得以解决但必须注意取寻数时需要满足的条件是真数为正实数，否则将会出现运算失误解：1取y的绝对值，得，两边取寻数，得根据导数的运算法则及复合函数的求导法则，两端对x求导，得，2注意到，两端取对数，得 3两端取对数，得 ，两端对x求导，得4两端取对数，得 ，两边对x求导，得 说明：对数求导法则实质上是复合函数求导法则的应用从多角度分析和探索解决问题的途径，能运用恰当合理的思维视力，把问题的隐含挖掘出来加以利用，会使问题的解答避繁就简，化难为易，收到出奇制胜的效果解决这类问题常见的错误是不注意是关于x的复合函数指对数函数的概念揭示了各自存在的条件、基本性质及其几何特征，恰当地引入对数求导的方法，从不同的侧面分析转化，往往可避免繁琐的推理与运算，使问题得以解决
