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1、- 探根求源方为学 教学有方斯为教 关于估算的本体性知识探究【摘要】“估算”是数学新课程中新增加的容。有关这一容，实际教学中存在三个令人深思的问题：“估一估”等同于“估算”吗？“大约”等同于“估算”吗？以“结果是否与精算最接近”为评价标准合理吗？通过解读与估算相关的本体性知识，本文旨在对这三个问题进行深入解答。【关键词】估算；本体性知识；连续量；离散量；“估算”是数学新课程中新增进的容，在估算的教学过程中出现了如下的一些教学现象。比如：【现象一】在一次教研活动中，笔者听到某位教师对“估一估”作出如下解释：估一估一般多指估算，除了计算中有估算外，在空间与图形测量教学中也有估算【现象二】在平时数学
2、教学中,常听到有老师这样教学生：“问题中有大约的要估算；问题中有大约而且信息中也有大约的不用估算。”【现象三】某次听课时，笔者观察到任课教师设计了如下的对比练习。教师出示4696这道题，请孩子们估一估。学生估成：46964206=70 46964806=80教师接着问道：“请你比一比哪一种估的方法对？”学生回答：“把469看成480这种方法对！因为469与480只差11，而469与420的差是49，所以把469看成480这种方法是对的！”接着教师把46964206=70这种方法隐去。由以上三种现象，可以引出下面几个问题：“估一估”等同于“估算”吗？“大约”等同于“估算”吗？以“结果是否与精算最
3、接近”为评价标准合理吗？对这三个问题的解答涉及到与估算相关的本体性知识。所谓数学教师的本体知识是指，数学教师所具有的特定的数学学科知识。近段时间笔者带着这三个问题，本着“探根求源方为学”的思想探究与估算相关的本体性知识。现将自己的拙见具体阐述如下：一、“估一估”等同于“估算”吗？关于“估”的含义理解。“估一估”等同于估算吗？ “估一估”的“估”指的是“估计”的意思。估计按形式分可以分为数量估计（或估数）、测量估计（或估测）、计算估计（或估算）。三者分别落实在“数的认识”、“数的运算”以及“量与计量”三个教学容之中。三者之间的关系相辅相成，它们的共同目标是培养学生的数感。用图表解读三者关系如下图
4、： 关于估数。估数也就是估计某个数目大约有多少。如：一年级下册第31页（如上图）的看小羊图让孩子们估一估羊的数目；四、五年级万以数的认识、亿以数的认识的教学时让孩子们找一个数的近似数等都是估数教学。而平时我们认为的估算方法“四舍五入法”、“去尾法”、“进一法”其实都是在估数时所采用的方法。 关于估测。估测指蕴含于测量教学中的估计。如：教学米、分米、厘米、毫米的认识时，建立单位长度概念后，让孩子估一估实物的长度；在教面积单位这一知识点时，让孩子们估计教室的大小等等都是估测教学。关于估算。估算是在日常生活中无法进行精确计算，或没有必要算出精确结果时所采用的一种计算方式，它能对数量关系和空间形式进行
5、合理的概算或推断。从现实来看, 估算能力是现代化社会生活的需要, 是衡量人们计算能力的重要标准之一。教材从二年级开始安排了大量的估算教学。“现象一”中正是因为这位教师的本体性知识缺失，对估算作出了错误的解读，并将“估一估”与“估算”等同起来。所以，数学教师只有明确了“估”的含义，在教学中才能避免只重视估算教学而轻视估测和估数教学的现象。教师也能自觉地在估数和估测教学中培养学生的数感，从而让学生能较轻松地掌握估算。二、“大约”等同于“估算”吗？关于“连续量和离散量”的理解。“现象二”中教师为什么会教学生“问题中有大约的要估算,问题中有大约而且信息中也有大约的不用估算”呢？因为在人教社的教材中很多
6、地方都用“大约”一词来描述给出的信息和问题，如下所举例子。 “教材一中第二题需要估算吗？为什么？”“教材二中提示孩子们用估算完成第一个问题这个问题用精确计算行吗？”“教材三和四中的“大约”和教材一、二中的“大约”表达的含义有什么不同呢？”这一系列问题就涉及到估算教学背后教师的本体性知识对连续量和离散量这两个数学概念的理解和表达。 “大约”所表达的两层含义。连续量是指随着时间连续变化的物理量。它具有连续的特征，具有近似属性。连续量可通过测量或计算得到，与正实数相对应。身高、体重、温度、时间、平均速度等都是连续量。本文以病人的体温变化为例加以说明。某位病人6时和12时所记录的体温分别是39.5和3
7、8，但这并不表示病人8时的时候没有体温。从统计图中可知，8时的时候病人的体温介于39.5和38之间。由此可以对教材一中的“大约吐丝1500米”作出分析。“大约吐丝1500米”是个连续量，无论在“1500米”前面有没有“大约”这个词语，“1500米”都是一个近似数。因为不可能每条蚕吐丝的数量都正好是1500米，“1500米”是用求平均数的方法得到统计量。用上“大约”这个词语只是为了能够更加严密地描述统计量，体现出连续量的近似属性将“1500米”视同准确数使用，所以这里的“大约”没有让学生进行估算的意思。那么教材二中小男孩提示学生：“第一个问题可以用估算。”但是学生如果直接计算出658=520在这
8、里可不可以呢?可以从以下两方面分析:一是这部分容已经安排在复习整理阶段，658让学生进行口算已经没有什么难度；二是小军每分钟大约走65米,是一个通过测量得到的连续量,取值时已经是近似数,在小学阶段我们视它为准确数使用。这里的“大约”应该是为了表达出连续量的近似属性。由此看来解决这个问题不需要用估算!教材编排这道题的目的是为了让教师在教学时复习整理三年级上册所学的乘法估算，但是素材的选择上值得商榷，因此教师在教学时可以更换成其他更能体现估算价值的情景。由以上两个例子可见，教材中一部分地方用到“大约”是为了严密性地描述连续量，体现连续量的近似属性现实世界中的连续量一定是近似的。考虑到小学生的年龄特
9、征与知识水平，约定俗成地将其视为准确数使用了。离散量是指按时间点采样的物理量，具有精确性的特征，与自然数相对应。人数、座位数、单价、门票数等都是离散量。在一定的情景中，离散量需要用近似数来描述，这个时候就需要估算了。以离散量的函数图像为例。t1和t2这两个时间点都有对应的数量,而介于t1和t2之间的时间点上就没有对应的数量了。教材三和教材四中，水果的箱数和小朋友的人数都是离散量，也就是准确数。在教材所设置的情景中，需要我们将这两个准确数描述成整十、整百数来解决问题，这里的“大约”就有估算的意思。由此可见，此“大约”非彼“大约”，这里“大约”表达了在一定情景中需要找离散量的近似数这个意思，即估算
10、的意思。综上所述，教材中的“大约”表达了两层意思：一是为了严密地描述连续量,体现连续量的近似属性；二是在一定情境中需要找离散量的近似数即需要估算。因此，“大约”不等同于“估算”，现象二中教师的教学方法显然是错误的，教师对估算本体性知识的不理解是造成这种现象的在原因。但是客观上教材对于“大约”的这两个意义诠释的不完整也误导了教师对教材的解读。 教材中存在的矛盾之处。教材对于“大约”的这两个意义诠释的不完整，甚至存在一些错误，主要体现在两个不统一之处。例题和练习不统一。估算教学的例题基本上没有出现“大约”这个词语，都是用再现生活情境的方式让学生体会“在一定的情景中，离散量需要用近似数来描述”的含义
11、（即估算的含义）。在实际生活情景中学生十分容易理解为什么要估算。但是在安排练习的时候，不可能所有的题目都再现生活情境，于是不得不用上“大约”这个词语来表达“在一定的情景中离散量需要用近似数来描述”这个意思。在这种情况下，如果教师本体性知识不够丰富，很容易被误导为看到“大约”就要估算。学生如果没有系统构建“大约”的意义，很容易误以为“大约”就一定是估算。教材本身对“大约”使用不统一。如以上教材，动物活的时间和动物跑动的速度都应该是连续量，教材在描述这两个量的时候却出现了不统一的现象。在第八题的信息和问题中都用上“大约”，意在体现连续量的近似属性。而在第七题已知信息中没有出现“大约”，约定俗成地视
12、动物跑动时间为准确数，然而在问题中出现“大约”就有了提示学生进行估算的意思。因此，对连续量描述的不统一让教师不知道在表达连续量的时候究竟要不要用上“大约”，也误导着学生看到“大约”就要估算。教材中这样的问题还有很多，因此教师本体性知识是否丰富就显得非常重要。教师只有理解了“大约”表达的这两层意义，才能正确地理解教材；才能自觉地帮助学生构建“大约”的意义。其实在统计教学和测量教学中连续量的近似属性表现得更为明显。因此，教师要从一年级起就重视测量教学和统计教学，利用这两块容帮助孩子构建“大约”的意义，为估算学习打好扎实的基础。三、以“结果是否与精算最接近”为评价标准合理吗？关于“绝对误差和相对误差
13、”“区间概念”的建立。评价估算结果是否正确时，可以把估算分为两种情况：一种是根据实际问题进行的估算；一种是脱离实际问题的纯算式估算。评价第一种估算的时候，学生能够根据实际问题选择合理的估算策略，并且结果合理，教师就可评价这一估算是正确的。现象三中教师对纯算式的估算进行评价时，采用了“结果是否与精算最接近”为评价标准。这个标准合理吗？下面以“4886”为例展开讨论。针对“4886”这道题，学生可能会出现以下几种估算方法：乘法被估算式估法最后值原式48864128单估法5086估小数（四舍五入法估数）44004890估大数（四舍五入法估数）4320双估法5090两数均估（四舍五入法估数）45005
14、0804090两数异向调整400036004080两数同向调整3200如何评价这么多结果呢？这里就涉及到与估算相关的本体性知识 “绝对误差和相对误差”、“区间”这三个数学概念。绝对误差反映的是测量值偏离真实值的大小，即为准确数与近似数的差似绝对值。相对误差指测量值的绝对误差与测量值之间的比，即百分误差。以第一种估算结果为例：48865086=4400 这种估法的绝对误差是4400-4128=172 ，相对误差是：17244003.91%。引用某位专家教师的观点：结合生活实际，大数比小数多的百分数小于30%。可以用“差不多”来描述大数与小数的大小关系。即大数与小数的百分误差小于30%，这两个数描述为“差不多”。观察4886这道题，每一种估法的百分误差都小于30%，所以这里每种估计结果都与精算结果“差不多”。乘法被估算式估法最后值绝对误差相对误差原式4886412800单估法5086估小数（四舍五入法估数）44001723.91%4890估大数（四舍五入法估数）43201924.44%双估法5090两数均估（四舍五入法估数）45003728.72%50804090两数异向调整40003
