-绝对值题型归纳总结一、 知识梳理模块一 绝对值的基本概念（1）非负性：（补充：）．对应题型：绝对值的化简．方法：判断“”里面整体的正负性．易错点：求一个多项式的相反数．对应策略：求一个多项式的相反数即求多项式中每个单项式的相反数．①的相反数是；②的相反数是；③的相反数．（2）双解性：，则．（3）绝对值的代数意义：（常用）或变式结论：①若，则；②若，则．模块二 零点分段法（目的：去无围限定的绝对值题型）零点：使绝对值为0的未知数值即为零点．方法：①寻找所有零点，并在数轴上表示；②依据零点将数轴进行分段；③分别根据每段未知数的围去绝对值．易错点：分类不明确，不会去绝对值．化简：．①零点为1，2，故将数轴分为3个部分，即，，．②当时，原式；当时，原式；当时，原式．模块三 几何意义的几何意义：数轴上表示数的点与原点的距离；的几何意义：数轴上表示数x的点与数a的点之间的距离；的几何意义：数轴上表示数x的点与数a、b两点的距离之和．举例：①表示x到的距离．②表示x到和x到的距离之和．③表示x到和x到的距离之差．基本结论：令，．方法：直接套用几何意义画数轴．①当n为奇数时，当时取最小值；②当n为偶数时，当时取最小值．常见变形： ①在时取得最小值．②在时取得最小值．③既有最小值也有最大值．例题分析题型一 绝对值代数意义及化简【例1】 ⑴ 下列各组判断中，正确的是 ( )A．若，则一定有 B．若，则一定有C. 若，则一定有 D．若，则一定有⑵ 如果＞，则 ( )A． B．＞ C． D ＜⑶ 下列式子中正确的是 ( )A． B． C． D．⑷ 对于，下列结论正确的是 ( )A． B． C． D．⑸若，求的取值围．【解析】 ⑴ 选择D．⑵ 选择B．⑶ 我们可以分类讨论，也可以用特殊值法代入检验，对于绝对值的题目我们一般需要代正数、负数、，种数帮助找到准确答案．易得答案为D．⑷ 我们可以用特殊值法代入检验，正数、负数、，种数帮助找到准确答案．⑸ ，所以，即．【变1】 已知：⑴，且；⑵，分别求的值【解析】 因为，因为，又因为，所以即或 ⑵由非负性可知【例2】 设为整数，且，求的值【解析】 因为为整数，且故与一个为，一个为，从而，原式【例3】 （1）已知，则 ．（2）满足（）有理数、，一定不满足的关系是（ ）A． B． C． D． （3）已知有理数、的和及差在数轴上如图所示，化简．【解析】 （1）容易判断出，当时，，，所以 这道题目体现了一种重要的“先估算+后化简+再代入求值”的思想．（2）为研究问题首先要先将题干中条件的绝对值符号通过讨论去掉，若时，，若时，，从平方的非负性我们知道，且，所以，则答案A一定不满足．（3）由图可知，， 两式相加可得：，进而可判断出，此时，，所以．【变2】 若，则 ．【解析】 ，，故．【变3】 若，求的值．【解析】 法1：∵，则原式法2：由，可得，则原式【点评】解法二的这种思维方法叫做构造法．这种方法对于显示题目中的关系，简化解题步骤有着重要作用．【例4】 已知，其中，那么的最小值为 【解析】 ，当，的最小值为【例5】 若的值是一个定值，求的取值围.【解析】 要想使的值是一个定值，就必须使得，且， 原式，即时，原式的值永远为3.【例6】 是一个五位自然数，其中、、、、为阿拉伯数码，且，则的最大值是 ．【解析】 当时，，当，时取最大值当，且时，，当，，时取得最大值．所以的最大值是．【例7】 设为非零实数，且，，．化简．【解析】 ，，；，；，，所以可以得到，，；．【变4】 已知，，化简．【解析】 ∵，∴，又∵，∴， ∴，∴又∵，∴又∵，∴∴原式题型二 关于的探讨应用【例8】 已知是非零有理数，求的值.【解析】 若，那么；若，那么.【例9】 已知是非零整数，且，求的值【解析】 因为是非零有理数，且，所以中必有一正二负，不妨设，则原式【解析】【变5】 三个数，，的积为负数，和为正数，且， 求的值.【解析】 ，，中必为一负两正，不妨设，则； ，所以原式＝1.【变6】 ，，为非零有理数，且，则的值等于多少？【解析】 由可知，，里存在两正一负或者一正两负；若两正一负，那么；若一正两负，那么．综上所得．【变7】 如果，则值等于（ ）A． B． C． D．【解析】 易知，所以原式，故选择A【例10】 如果，求的值．【解析】 由得，进而有，若，则，若，则．【例11】 设实数，，满足，及，若，，那么代数式的值为______．【解析】 由及，知实数，，中必有两个负数，一个正数，从而有．又=，则．【例12】 有理数均不为零，且，设，则代数式的值为多少？【解析】 由易知中必有一正两负或两正一负，不妨设或 所以或者，所以，所以原式【变8】 有理数均不为零，且，设，则代数式的值为多少？【解析】 由易知中必有一正两负或两正一负，不妨设或 所以或者，所以当时，原式 当时，原式【变9】 已知、、互不相等，求的值．【解析】 由题意可得且，把，，当成整体分类讨论：① 两正一负，原式值为；② 两负一正，原式值为．【例13】 若有理数、、满足，求的值．【解析】 由可得：有理数、、中两正一负，所以，所以，．【变10】 有理数，，，满足，求的值．【解析】 由知，所以，，，里含有1个负数或3个负数：若含有1个负数，则；若含有3个负数，则．题型三 零点分段讨论法【例14】 化简．【解析】 先找零点.， ； ，零点可以将数轴分成三段． 当，，，； 当，，，； 当，，，．【变11】 化简：.【解析】 先找零点.，．，． ，，或，可得或者；综上所得零点有1，-1，3 ，依次零点可以将数轴分成四段．⑴ ，，，，；⑵ ，，，，；⑶ ，，，，；⑷ ，，，，．【变12】 求的值．【解析】 先找零点，，，，解得，，．依这三个零点将数轴分为四段：，，，．当时，原式；当时，原式；当时，原式；当时，原式．【例15】 已知，求的最大值与最小值．【解析】 法1：根据几何意义可以得到，当时，取最大值为；当时，取最小值为．法2：找到零点、，结合可以分为以下两段进行分析：当时，，有最值和； 当时，；综上可得最小值为，最大值为．【变13】 已知，那么的最大值等于 ．【解析】 （法1）：我们可以利用零点，将的围分为段，分类讨论（先将此分类讨论的方法，而后讲几何意义的方法，让学生体会几何方法的优越性）（1）当时，，当时达到最大值；（2）当时，（3）当时，，当时，达到最大值综合可知，在上，的最大值为（法2）：我们可以利用零点，将的围分为段，利用绝对值得几何意义分类讨论，很容易发现答案：当时达到最大值．【变14】 如果，且，求的最大值和最小值【解析】 当时，有，所以；当时，有，所以综上所述，的最大值为，最小值为题型四绝对值非负性【例16】 若，则.【解析】 ，，，.【变15】 已知、、都是负数，并且，则．【解析】 根据绝对值的非负性可知，，，所以．【变16】 已知非零实数、、满足，那么 【解析】 由非负性可得到①，且②，①②得到，所以，代入①可得到：．所以．【例17】 已知为实数，且满足，求的值【解析】 由题意可知：，所以可得，即，所以，所以原式的值为【变17】 、同时满足①；②．那么 ．【解析】 因为，而完全平方式非负，所以，且非负．又因为，所以，观察可知，，所以．【例18】 若、、为整数，且，求的值．【解析】 法一：根据题意：，为非负整数， 分类讨论：①若，，则，此时原式＝；②若，，则，此时原式＝．法二：从总体考虑，、一个为，一个为，也就是、、有两个相同，另一个和他们相差．故三者两两取差的绝对值应该有个和个，所以．【例19】 求满足的所有整数对【解析】 因为，且，均为整数所以可得⑴或者⑵，由⑴可得或又因为均为整数，所以由⑵得或，所以综上可得：共有对，分别是：【变18】 若为整数，且，则的值是多少?【解析】 ,同理，所以一个为0，一个为1，也就是说有两个相同，另一个和他们相差1.故三者两两取差的绝对值应该有2个1和1个0，所以=2. 当然也可以分类讨论，更利于学生接受.【例20】 设、是有理数，则有最小值还是最大值？其值是多少？【解析】 根据绝对值的非负性可以知道，则，有最小值9.教师可在此多多拓展形式！【变19】 代数式最大值为 ，取最大值时，与的关系是____________【解析】 ，互为相反数；【例21】 已知，求的值【解析】 由得所以【例22】 若与互为相反数，求的值【解析】 根据相反数的意义，我们可以知道：所以必然有且，解方程组可得：所以原式利用绝对值几何意义求两点间距离的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．的几何意义：在数轴上，表示数、对应数轴上两点间的距离．【例23】 的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离．⑴的几何意义是数轴上表示 的点与 之间的距离； （，，）；⑵的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离；则 ；⑶几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间距离，若，则 ．⑷的几何意义是数轴上表示 的点与表示 的点之间的距离，若，则⑸当时，则 ．：【解析】 ⑴ ，原点；；⑵；⑶，，或；⑷，，或；⑸【变20】 （1）如图表示数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为，，，．若，，，则 ．（2）不相等的有理数在数轴上的对应点分别为，，，如果，那么点，，在数轴上的位置关系是（ ） A．点在点，之间 B．点在点，之间 C．点在点，之间 D．以上三种情况均有可能【解析】 （1）7；（2）B【变21】 （1）阅读下面材料：点、在数轴上分别表示的数是、，、两点之间的距离表示为，特别地，当、两点中有一点在原点时，不妨设点在原点，如图1，则；当、两点都不在原点时：。