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1、例谈高考数学常考、易错、失分点-函数篇【易错点5】映射与函数例5、已知函数，若集合，则中所含元素的个数有 个【易错点诊断】：此题误认为由于集合A、B均表示点集，故直线与一函数图像的交点个数有无穷多个，而忽略了函数的定义。解析：由于集合A表示函数图像上的点构成的点集，集合B表示垂直于轴的直线，由于函数是一个特殊的映射，其自变量与函数的对应可以是一对一、多对一，但一对多不构成映射，故其元素个数只能是0个或1个。【迷津指点】函数: AB是特殊的映射，特殊在定义域A和值域B都是非空数集！因此理解函数的概念更多的可从映射的角度去理解和把握，据此可知函数图像与轴的垂线至多有一个公共点，但与轴垂线的公共点可
2、能没有，也可能有任意个。例6、若都是定义在实数集R上的函数，且方程有实数解，则不可能是（）A、 B、 C、 D、【易错点诊断】本题主要考查函数的概念，由于给定的条件较为抽象，学生易思维受阻，找不到解题思路，对抽象函数的解答应回归到函数的基本概念及性质上来，此题应从映射的角度来理解“对应法测”寻求解题思路。解析：由题意可知，存在，使，即，从函数定义出发，画出映射帮助思考，如图从A到B再到C是由题意可得，如果继续对C集合中的，应用法则，则会得到，从B到C再到D的映射为，即存在，使，即函数过点，即方程有解，易知在实数集R上无解故选D。【适用性练习】（1）函数满足，则这样的函数个数共有(A)1个 (B
3、)4个 (C)8个 (D)10个解析：答案：D；从映射角度明确两集合中元素的对应情况，若象有且只有一个，则这样的映射对应函数均符合，这样的函数有3个，若象有且仅有2个，则必需相应的原象对应相同的数值,剩下一个可以任意对应，这样的映射即函数共有个，若象有三个,满足条件的函数只有1个即只能1,2,3分别对应于1,2,3.综上满足条件的函数共有10个.（2）若函数 y= f（x-1）的反函数是 y= f-1（x-1），则下列等式成立的是（ ）A、f（x）= f（x-1） B、f（x）= -f（x-1）C、f（x）- f（x-1）=1 D、f（x）- f（x-1）= -1解析：由反函数的知识（或映射知
4、识）易知y= f-1（x-1）可等价推出x-1=f(y),故其原函数为y-1=f(x)也就是y=1+f(x)而由题意知原函数为y= f（x-1）故y= f（x-1）=1+f(x)从而f（x-1）-f(x)=1，答案：D【易错点6】已知的定义域，确定定义域类问题,求解函数一类问题要树立定义域优先的意识.例7、已知函数，试求函数的最大值。 【易错点诊断】此题极易忽略函数中对定义域的限制，而错误的将函数的定义域认为仍是而导致错解。解析：由于的定义域为，故对于自变量需满足，故函数的定义域为，从而，由于，故，故当时函数取得最大值13。【迷津指点】复合函数的定义域：若已知的定义域为,其复合函数的定义域由不
5、等式解出即可；若已知的定义域为,求的定义域，相当于当时，求的值域（即的定义域）。在解答函数如函数的单调性、奇偶性、值域、解析式等等一定要养成定义域优先的意识。【适用性练习】（1）已知函数求函数的单调递增区间. 答案: （2）设，则的定义域为A B C D解：f（x）的定义域是（2，2），故应有22且22解得4x1或1x4故选B（3）已知函数的定义域为A,函数的定义域为B,则（）A. B. C. D.(提示:,)答案:D【易错点7】函数的图象变换例8、设函数定义在实数集上，则函数与的图象关于A、直线对称 B、直线对称 C、直线对称 D、直线对称【易错点诊断】易误由题意得到，而套用结论若函数满足则
6、函数关于对称的结论而得到函数关于直线对称的错误结论，须知这个结论是对同一个函数而言，而本题是关于两个函数的对称问题。解析：由图象变换可以得到两个图象间的关系，函数是由函数的图象向右平移一个单位得到，而是由函数的图象关于y轴对称得到再向右平移一个单位得到，故两函数的图象关于直线对称。故选D【迷津指点】若把对称问题迁移到函数中，则有结论：函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称的充要条件是f(a-x)=f(a+x)。但若函数满足y=f(a-x)和y=f(a+x)，则它们的图像关于y轴对称。这是很容易混淆的。前者是一个函数图像自身关于直线x=a对称，后者是两个函数图像关于y轴对称。函数图像关于直线对
7、称，还有结论：函数y=f(b-x)与yf(ax)的图像关于直线x=(b-a)/2对称。函数y=f(a-x)与yf(x-a)，则f(x)的图像关于直线xa对称。函数图像关于点对称，有结论：函数y=f(x)满足f(x)f(2a-x)2b(或f(a+x)f(a-x)2b)，则f(x)的图像关于点(a,b)对称。当b0时，函数y=f(x)满足f(2a-x)-f(x)，则f(x)的图像关于点(a,0)对称。与周期函数联系，有结论：函数y=f(x)满足f(x-a)f(xa)，则2a是f(x)的一个周期。函数y=f(x)满足f(xa)-f(x)，则2a是f(x)的一个周期。函数y=f(x)的图像关于直线xa
8、和xb都对称，则2(a-b)是f(x)的一个周期。函数y=f(x)的图像关于直线xa和点(b,c)都对称，则4(a-b)是f(x)的一个周期。以上结论，用于解客观题就是“秘密武器”，用于解答题可以化繁为简。求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题；（2）证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（3）证明图像与的对称性，需证两方面：证明上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在上；证明上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在上。【适用性练习】（1）函数对于任意实数满足条件，若则_。（答案:）（2）已知二次函数满足条件且方程有等根，则
9、_(答案：)； （3）若函数与的图象关于点（-2，3）对称，则_（答案：）（4）已知是偶函数，且=993，=是奇函数，求的值(答案：993)；【易错点8】求函数的定义域与求函数值域错位例9、已知函数（1）如果函数的定义域为R求实数m的取值范围。（2）如果函数的值域为R求实数m的取值范围。【易错点诊断】此题学生易忽视对是否为零的讨论，而导致思维不全面而漏解。另一方面对两个问题中定义域为R和值域为R的含义理解不透彻导致错解。解析：（1）据题意知若函数的定义域为R即对任意的x值恒成立，令，当=0时，即或。经验证当时适合，当时，据二次函数知识若对任意x值函数值大于零恒成立，只需解之得或综上所知m的取值
10、范围为或。（2）如果函数的值域为R即对数的真数能取到任意的正数，令当=0时，即或。经验证当时适合，当时，据二次函数知识知要使的函数值取得所有正值只需解之得综上可知满足题意的m的取值范围是。【迷津指点】对于二次型函数或二次型不等式若二次项系数含有字母，要注意对字母是否为零进行讨论即函数是一次函数还是二次函数不等式是一次不等式还是二次不等式。同时通过本题的解析同学们要认真体会这种函数与不等式二者在解题中的结合要通过二者的相互转化而获得解题的突破破口。再者本题中函数的定义域和值域为R是两个不同的概念，前者是对任意的自变量x的值函数值恒正，后者是函数值必须取遍所有的正值二者有本质上的区别。【适用性练习
11、】（1）已知函数的定义域和值域分别为R试分别确定满足条件的a的取值范围。答案：（1）或（2）或（2）设集合P=m|1m0，Q=mR|mx2+4mx40对任意实数x恒成立，则下列关系中成立的是 A.PQB.QPC.P=QD.PQ=Q剖析：Q=mR|mx2+4mx40对任意实数x恒成立，对m分类：m=0时，40恒成立；m0时，需=（4m）24m（4）0，解得m0.综合知m0，Q=mR|m0.答案：A(本题容易忽略对m=0的讨论，应引起大家足够的重视)【易错点9】有关函数的单调性概念例10、已知函数在区间上为增函数，且在区间为增函数，则函数在区间上为（）A、必是增函数 B、必是减函数 C、不确定 D
12、、不是增函数也不是减函数【易错点诊断】此题易选答案A，判断函数的单调性应从单调性定义或函数的图象这两个角度来分析。解析：从单调性的定义可知设,由条件不能确定与的大小,如图当【迷津指点】函数单调性可以从三个方面理解（1）图形刻画：对于给定区间上的函数f（x），函数图象如从左向右连续上升，则称函数在该区间上单调递增，函数图象如从左向右连续下降，则称函数在该区间上单调递减.（2）定性刻画：对于给定区间上的函数f（x），如函数值随自变量的增大而增大，则称函数在该区间上单调递增，如函数值随自变量的增大而减小，则称函数在该区间上单调递减.（3）定量刻画，即定义.【适用性练习】已知是上的减函数，那么的取值范
13、围是（A） （B） （C）（D）解：依题意，有0a1且3a10，解得0a，又当x7a1，当x1时，logax1时，为增函数，且，故只需时为增函数即可，故有，当a1时，为增函数且，故要使原函数为增函数只需在上为增函数即可，只需，当0a1时，为减函数且，故要使原函数为增函数只需在上为减函数即可，只需，故选B。【易错点11】要挖掘伪装，避免审题不慎导致错误例12、若函数，满足对任意的、，当时，则实数的取值范围为（ ）A、 B、C、 D、【易错点诊断】“对任意的x1、x2，当时，”实质上就是“函数单调递减”的“伪装”，同时还隐含了“有意义”。解析：事实据题意可知在时递减，从而由此得a的取值范围为。故选D。【迷津指点】解答数学题目审题是至为关键重要的,可是说“成也审题，败也审题”，特别象在比较简单的答题中，有的考生一看到比较容易的题就产生兴奋、激动，同时表现出浮躁、粗心，不再进行细致思考，仓促应答，出现错误；容易的题也容易出错，命题者往往在一些看起来较容易的题目中隐藏一些容易被忽视、被漏掉的问题，如不细心，极易出错；有的考生凭经验审题，当试题
