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1、22 数学通讯2009年第7、8期(上半月) 辅教导学 两道高考种花题的创新解法 季丙富 (河南省平顶山市二中，467000) 种花问题，在高考中经常出现，这类试 题新颖有趣，包含着丰富的数学思想，有利于 培养学生的创新思维能力、分析问题与观察 问题的能力，也有利于开发学生的智力但 是，相当一部分学生往往不能灵活应对实际 问题，对此感到无从下手，望而却步笔者多 年从事高三及复读班教学，根据学生的解题 反思和个人研究心得，认为分类讨论是解决 这类问题的良策但要注意，分类互斥，分类 要做到不重不漏另外，也探索出“构造模型” 这一创新方法，使解题模式化、公式化 例1(2008年全国卷 I理12)如图
2、1，一环形花 坛分成A，B，C，D四块，现 有4种不同的花供选种，要 求在每块里种1种花，且相 邻的2块种不同的花，则不 同的种法总数为 图l (A)96 (B)84 (C)60 (D)48 解析 按种几种花分类 (1)种两种花，A与C相同且B与D相 同，有Ai=12种种法 (2)种三种花，必有两个不相邻的区域 种同一种花(A与C或B与D)，有2Ai一48 种种法 (3)种四种花，有A：一24种种法 共有Ai+2Ai+A：一84种种法故 选(B) 点评 根据用了几种花讨论，分别计算 出各种情形的种数，再用加法原理求出不同 的种法总数 模型构造1 把问 题抽象为给n边形各顶 点染色用m(m3)种
3、l 不同的颜色给 边形 A1A2A 的 个顶点染 色每点染一种颜色，相 图2 邻的顶点染不同的颜色，不同的染色方法有 多少种? 分析 设不同的染色方法有口 种第一 步：染A ，有m种染法；第二步：染A。，有，l一 1种染法；同理，染A ，A，r 均有m一1种 染法，最后染A ，如果仅考虑A 与A，r 不同 色，则仍有 一1种染法，相乘得m(m一 1) 种染法但应排除A 与A。同色的情 况，A 与A 同色时，可将A 与A 合并看成 一个点，故排除的染色数为n ，故n 一m (m一1) 一口，rl且a3一A 例1用此法为：a3一Ai=24，口 一43 一a384 例2(2003年江苏卷理15)某城
4、市在 中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分 (如图3)现要栽种4种不同颜色的花，每部 分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的 花，不同的栽种方法有种(以数字作 答) 图3 解析 依题意，只能选用4种颜色，分 五类： 辅教导学 数学通讯2OO9年第7、8期(上半月) 23 (1)2与5同色、4与6同色，有A：种 方法； (2)3与5同色、4与6同色，有A：种 方法； (3)2与5同色、3与6同色，有Ai种 方法； (4)3与5同色、2与4同色，有A：种 方法； (5)2与4同色、3与6同色，有A：种 方法； 故涂色方法总数为5A：一120种 点评 根据某两个不相邻区域是否同 色分类讨论，从某两
5、个不相邻区域同色与不 同色人手，分别计算出各种情形的种数，再用 加法原理求出不同涂色方法总数 A2 图4 模型转化2 把问题抽象为给，l一1棱 锥各顶点染色用m(m4)种不同的颜色 给 一1棱锥A。一A。A。A 的，z个顶点染 色每点染一种颜色，相邻的顶点染不同的颜 色，不同的染色方法有多少种? 分析 设不同的染色方法有口 种第一 步：染A。，有m种染法；第二步：染A ，有m一 1种染法；第三步：染A ，有 一2种染法；同 理，染A。，A 。均有m一2种染法，最后染 Ar ，如果仅考虑A 。与A。，A，r。不同色，则 仍有m一2种染法，相乘得m(m一1)(m 一2)-。种染法但应排除A 与A。
6、同色的 情况，A，卜 与A。同色时，可将A t与At合并 看成一个点，故排除的染色数为口 。故n = m(m一1)(，l一2) 。一口 l且aIA：I 例2用此法为：口4=A 一24，n5=43 2。一a472，a6=4 32一 5=120 (收稿日期：2009一O327) (上接第21页) (1)如图5，约定见车就乘的事件所表示 的区域d为图中4个黑的小方格所示，所求 概率为蠢。寺； 、 (2)如图6，约定最多等一班车的事件所 表示的区域d为图中1O个黑的小方格所示， 所求概率为 一号 点评 会面问题是一道经典的二维几 何概型问题 例6 甲、乙、丙三人约定在8时到9时 之间在某地碰面，如果三人都不会违背约定， 求他们按甲、乙、丙次序先后到达的概率 解 设甲、乙、丙三人到达约定地点的 时刻分别为8时 分，8时Y分，8时z分，则 事件“按甲、乙、丙次序先后到达”发生满足 的条件是0zY 60 建立如图7所示的 空间直角坐标系，则点 ，Y，z)落在正方体 ABCD-OBl C1D1(边长为 60)内，事件“按甲、乙、丙 次序先后到达”所对应 的点应落在三棱锥 OBB C区域内部，故所 求的概率为 图7 P= V O-BB 1C一丢 点评 本题拓展为三人会面问题，因此 应引进三维几何概型，用体积比求解 (收稿日期：20090302)
