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1、学习内容 实功和虚功、广义力和广义位移，变形体虚功原理，功的互等定理、位移互等定理、反力互等定理。静定结构在荷载作用下产生的位移计算。刚架和梁的位移计算图乘法,学习目的和要求 目的：静定结构位移计算是验算结构刚度和计算超静定结构所必需的。变形体虚功原理是结构力学中的重要理论，位移计算公式就是在此原理上得到的，对于进一步学习也起到重要作用。 要求： 领会变形体虚功原理和互等定理。 掌握实功、虚功、广义力、广义位移的概念。 熟练荷载产生的结构位移计算。 熟练掌握图乘法求位移,第四章 虚位移原理与静定结构的位移计算,结构力学静定结构位移计算,第一节 位移计算概述,1、结构的位移,杆系结构在外界因素作
2、用下会产生变形和位移,变形 是指结构原有形状和尺寸的改变； 位移 是指结构上各点位置产生的变化 线位移（位置移动） 角位移（截面转动,思考：变形与位移的差别,两者之间的关系：有变形必有位移；有位移不一定有变形,结构力学静定结构位移计算,第一节 位移计算概述,形状的改变称变形；位置的改变称位移,Ax,Bx,AB=Ax+Bx,无论是线位移还是角位移，无论绝对位移还是相对位移统称广义位移,绝对位移,相对位移,FP,结构力学静定结构位移计算,第一节 位移计算概述,2、结构位移计算的目的,1) 结构刚度验算的要求,吊车梁允许的挠度 1/600 跨度,高层建筑的最大位移 1/1000 高度。最大层间位移
3、1/800层高,3) 为分析超静定结构计算、动力计算和稳定计算打基础,2) 施工要求：结构的制作、架设、养护过程中往往需要预先知道结构的变形情况，以便采取施工措施,结构力学静定结构位移计算,第一节 位移计算概述,如屋架在竖向荷载作用下，下弦各结点产生虚线所示位移,将各下弦杆做得比实际长度短些，拼装后下弦向上起拱,在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置,建筑起拱,结构力学静定结构位移计算,第一节 位移计算概述,3、产生位移的主要原因,各种因素对静定结构的影响,产生位移的主要原因主要三种：荷载作用、温度改变和材料胀缩、支座移动和制造误差,结构力学静定结构位移计算,4 体系特征假定,3) 理
4、想联结,叠加原理适用,1) 线弹性,2) 小变形,可以利用虚功概念计算结构的位移,结构力学静定结构位移计算,第二节 变形体虚功原理,1、功的概念,功：是能量变化的度量。用定量形式表述了力在其作用点的运动路程上对物体作用的效果,功 = 力力作用点沿力方向上的位移,理解为广义力,广义力与广义位移的乘积具有功的量纲,结构力学静定结构位移计算,第二节 变形体虚功原理,实功：力在自身所产生的位移上所作的功,1) 常力作功,S,2) 变力作功,力与位移有因果关系,O,结构力学静定结构位移计算,第二节 变形体虚功原理,虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功,力与位移相互独立,FP1,FP2,此过程力保持为常
5、量,虚功具体有两种情况： 1 作功双方其一是虚设的； 2 作功双方均是实际存在的，但彼此无关,结构力学静定结构位移计算,第二节 变形体虚功原理,注意,定义“功”时对产生位移的原因没有给予限制，作功的两个要素中，若力在其自身引起的位移上作功，则称实功；若力在由其他原因引起的位移上作功，则称虚功,为便于功的计算，引入广义力和广义位移的概念,凡与力相关的因子均称广义力（如集中力、分布力，力偶等） 凡与位移相关的因子均称广义位移（如线位移、角位移等,结构力学静定结构位移计算,结构产生的各种位移，包括截面的线位移、角位移、相对线位移、相对角位移或者是一组位移等等都可泛称为广义位移,广义位移,与广义位移对
6、应的就是广义力，可以是一个集中力，集中力偶或一对大小相等方向相反的力或力偶，也可以是一组力系,注意：广义位移与广义力的对应关系，能够在某一组广义位移上做功的力系，才称为与这组广义位移对应的广义力,广义力,结构力学静定结构位移计算,第二节 变形体虚功原理,作功的广义力可以是单个力，也可以是一组力,未必发生但能满足物体连续变化和约束条件的微小变形称虚变形。虚变形是合理的，但不一定是真实的。虚变形各种各样，但在某一原因作用下的真实变形却是确定的，真实变形是虚变形中的一个,广义力和广义位移均可有不同的量纲，但其乘积必须具有功的量纲,结构力学静定结构位移计算,回顾,1）质点系的虚功原理,具有理想约束的质
7、点系，在某一位置处于平衡的必要和充分条件是,对于任何可能的虚位移，作用于质点系的主动力所做虚功之和为零。也即,结构力学静定结构位移计算,2）刚体系的虚功原理,去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是,对于任何可能的虚位移，作用于刚体系的所有外力所做虚功之和为零,FP P +FB B=0,结构力学静定结构位移计算,第二节 变形体虚功原理,2 虚功原理,1）刚体系的虚功原理,刚体系处于平衡的必要和充分条件是：对于任何可能的虚位移，作用于刚体系的所有外力所做虚功之和为零,2）变形体的虚功原理,任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受
8、外力在虚位移上所作的总虚功 We恒等于变形体各微段外力在微段变形上作的虚功之和 Wi,也即恒有如下虚功方程成立： We = Wi,结构力学静定结构位移计算,变形体虚功原理的必要性证明,刚体位移,变形,第二节 变形体虚功原理,结构力学静定结构位移计算,按外力虚功和内力虚功计算,微段虚功总和 = 微段外力虚功 + 微段内力虚功,所以,由于变形连续及相邻截面内力是作用力和反作用力的关系,dWz=dWe+dWi,Wz= We+ Wi,Wz= We,Wi = 0,第二节 变形体虚功原理,结构力学静定结构位移计算,按刚体虚功和变形虚功计算,微段虚功总和 = 微段刚体虚功 + 微段变形虚功,所以,基于平衡状
9、态的刚体虚功原理,dWz= dWg+dWi,dWZ = dWi,dWg = 0,Wz = Wi,故有,Wz= We Wi,第二节 变形体虚功原理,结构力学静定结构位移计算,对于直杆体系，由于变形互不耦连，有,虚功方程,内力总虚功,外力总虚功,结构力学静定结构位移计算,力状态的外力和内力都是不变的常力,虚”仅仅表明作功双方是相互独立的。当一方是真实的时候，另一方即可按要求假设,当体系没有变形时Wi= 0 ,即 We= 0。说明刚体虚功原理是变形体虚功原理的特例,原理说明,第二节 变形体虚功原理,结构力学静定结构位移计算,从变形类型看：即可以考虑弯曲变形，也可考虑拉伸和剪切变形,虚功原理的结论具有
10、普遍性。表现在,从变形因素看：即可以考虑荷载作用引起的位移，也可考虑温度改变和支座移动引起的位移,从结构类型看：即可用于静定结构，又可用于超静定结构,从材料性质看：即可用于线弹性结构，又可用于非弹性结构,第二节 变形体虚功原理,结构力学静定结构位移计算,由于作功双方地位平等，所以可虚拟任何一方，由此原理可有两个方面的应用,虚功方程同时应用了平衡条件和变形连续条件，因此方程是即可用来代替几何方程，又可代替平衡方程的综合方程,实际待分析的协调位移状态，虚设的平衡力状态，将位移分析化为平衡问题来求解。 虚力原理,实际待分析的平衡力状态，虚设的协调位移状态，将平衡问题化为几何问题来求解。 虚位移原理,
11、第二节 变形体虚功原理,结构力学静定结构位移计算,第三节 位移计算公式,单位荷载法 (Dummy-Unit Load Method) 是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出，故也称为Maxwell-Mohr Method,用虚功原理，位移状态即实际状态，另虚设一个力状态（称力虚设状态），要使虚拟力的虚功正好等于所求位移，故称为单位荷载法,1、一般位移计算公式,结构力学静定结构位移计算,协调的位移状态,平衡的力 状 态,考察同一结构的两个状态，欲求 k 点位移 k,实际状态,虚设状态,结构力学静定结构位移计算,外力虚功,内力虚功,由虚功方程,此式即为平面结构位移计算一般公式,若
12、结果为正，表明的实际位移方向与虚设力的方向相同。若结果为负，表明的实际位移方向与虚设力的方向相反,结构力学静定结构位移计算,1)在拟求位移点沿位移方向虚设相应单位荷载； (2)在单位荷载作用下，由平衡条件求虚内力和虚反力； (3)由位移计算公式求相应位移,位移计算的一般步骤,位移计算的关键在于虚设恰当的力状态,第三节 位移计算公式,结构力学静定结构位移计算,求1点竖向线位移,求1点绝对角位移,求1、2点的相对线位移,广义力与广义位移对应关系,第三节 位移计算公式,结构力学静定结构位移计算,求1、2两截面的相对角位移,求12杆件的转角位移,广义力与广义位移对应关系,第三节 位移计算公式,结构力学
13、静定结构位移计算,线弹性、小变形假设下，荷载作用引起的位移,2、荷载作用下的位移计算公式,第三节 位移计算公式,结构力学静定结构位移计算,例题：求结构A点竖向位移,AB段内力函数,BC段内力函数,第三节 位移计算公式,结构力学静定结构位移计算,设杆件截面形状为矩形,则,土木工程中杆件一般,可见对以弯曲为主的细长杆结构的位移计算可忽略轴向变形和剪切变形的影响,第三节 位移计算公式,结构力学静定结构位移计算,各类结构的位移计算公式,1、梁和刚架,2、桁 架,3、组合结构,4、拱结构,拱内弯矩较小时,拱内弯矩较大时,荷载引起的位移与杆件的绝对刚度值有关,第三节 位移计算公式,结构力学静定结构位移计算
14、,例6-1 图示刚架，已知各杆的弹性模量E和截面惯性矩 I 均为常数，试求B点的竖向位移BV，水平位移BH, 和位移B,解: (1) 作出荷载作用下的弯矩图，写出各杆的弯矩方程,横梁BC,竖柱CA,结构力学静定结构位移计算,2)求B 点的竖向位移BV,写出各杆单位力作用下的弯矩方程式，画出弯矩图,横梁BC,竖柱CA,结构力学静定结构位移计算,3) 求B点的水平位移BH,在B点加单位水平力。画出弯矩图并写出各杆的弯矩方程,横梁BC,竖柱CA,注意：负号表示位移的方向与假设的单位力的方向相反,4）求B点的线位移B,结构力学静定结构位移计算,在杆件数量多或荷载较复杂的情况下，不方便。下面寻求一种简单
15、的计算位移的法,受弯为主的构件位移计算常遇到积分公式,利用图形的静矩原理将图形积分变为图形相乘,称莫尔积分,第四节 图乘法及其应用,结构力学静定结构位移计算,对于直杆,对直线弯矩图,对于等刚度杆,MP,第四节 图乘法及其应用,结构力学静定结构位移计算,方法使用条件,注意事项,1、等刚直杆,2、至少有一直线图,和 yc为代数量，若它们在杆轴线同侧，则乘积为正；反之为负,拱、曲杆结构和连续变截面的结构只能通过积分的方式求解,应用图乘法首先熟练掌握常用图形面积及形心位置。这也是图乘法的亮点,3、yc 应取自直线图中,第四节 图乘法及其应用,结构力学静定结构位移计算,常见图形面积和形心,矩 形,三角形
16、,抛物形,第四节 图乘法及其应用,结构力学静定结构位移计算,当图形的面积或形心位置不便确定时，可把它们分解为几个简单图形的叠加（分解方法不唯一,i，yi是代数量,第四节 图乘法及其应用,结构力学静定结构位移计算,第四节 图乘法,例题.已知 EI 为常数，求B点的转角位移,MP 图,图,结构力学静定结构位移计算,第四节 图乘法,ql2/2,例题：求梁B 点竖向位移,解题步骤： 虚拟力状态； 分别作荷载弯矩图和单位弯矩图； 计算位移,MP 图,图,结构力学静定结构位移计算,求B点竖向位移,结构力学静定结构位移计算,第四节 图乘法,例题：求图示梁中点的挠度,两个图形均非直线性,MP 图,图,结构力学静定结构位移计算,例题：求图示梁C点的挠度,l/2,竖标不是取在直线图形中,P,C,结构力学静定结构位移计算,第四节 图乘法,对折线段要分成直线段做,对刚度不同的区段要分段做,结构力学静定结构位移计算,第四节 图乘法,取 yc的图形必须是直线，不能是曲线或折线,不同的图乘方式，其难易程度不同,当两个图形均为直线图形时，取那个图形的面积均可,结构力学静定结构位移计算,第四节 图乘法,练习.已知 EI
