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1、北京市石景山 20112012 学年第一学期期末考试试卷高三数学（文科）考生须知本试卷共 6 页，150 分.考试时间长 120 分钟请将所有试题答案答在答题卡上三题号 一 二15 16 17 18 19 20 总分分数第卷 选择题一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1设集合 ， , ,则 （ ）4,321U21A4B)(BACUA B C ,21D 4,12已知复数 ，则复数 的模为（）i1zzA 2 B 2C1 D03设 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则 （）)(xfR0xxf2)()1(f4如图，一个空间几
2、何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为（）A 38B 34C4 D 25执行右面的框图，若输入实数 ，x则输出结果为（ ）A-3 B-1 C1 D3正视图 侧视图俯视图A 2B 41C 1D 26.设抛物线 上一点 P 到 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线准线的距离为（ ）xy82yA4 B6 C8 D127.以下四个命题中，真命题的个数是（ ） 命题“若 0232x，则 1x”的逆否命题为“若 1x，则 0232x”；若 为假命题，则 、 均为假命题； qppq命题 ：存在 ,使得 ，则 ：任意 ,都有 ；R02pR12在
3、 中, 是 的充分不必要条件 .ABCBAsiniA1 B2 C3 D48.对于使 成立的所有常数 中，我们把 的最小值 1 叫做 2x的Mx2 M上确界,若 ，且 ，则 12ab的上确界为（ ）Rba、 baA 92B 92C 4D-4第卷 非选择题二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分 9在 中，若 ，则 ABC32,10,2aAcB10统计某校 1000 名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图如下图，规定不低于60 分为及格，不低于 80 分为优秀则及格人数是 ；优秀率为 11已知向量 ， ， ，若 与 垂直，则 )1,3(a),0(b)3,(kcba2ck
4、12已知等差数列 的前 项和为n nS，若 ，则 4518a8S13若实数 满足条件,xy .1,20xy则 的最大值为 2xy14.已知函数 )1,0(log)( abxfa且，当 且 时，213a4b函数 的零点 ，则 )(xf *0),1(Nn三、解答题：本大题共 6 个小题，共 80 分应写出文字说明，证明过程或演算步骤15 （本小题满分 13 分）已知函数 xxf 2sin1co3)(2（）求 的最小正周期；（）求 在区间 上的最大值和最小值)(xf46，16 （本小题满分 13 分）甲、乙两名篮球运动员在四场比赛中的得分数据以茎叶图记录如下：甲 乙1 86 0 0 2 4 4 2
5、3 0 （）求乙球员得分的平均数和方差； MEF CDBA（）分别从两人得分中随机选取一场的得分，求得分和超过 55 分的概率（注：方差 22212 )()()( xxxns n其中 为 ， ， 的平均数） 2 n17 （本小题满分 13 分）如图，矩形 与梯形 所在的平面互相垂直， ， ，ADEFBCADCB， ， 为 的中点2B4M（）求证： 平面 ；（）求证： 平面 18 （本小题满分 14 分）已知椭圆 （ ）过点 （0，2 ） ，离心率 .12byaxaM36e（）求椭圆的方程；（）设直线 与椭圆相交于 两点，求 .xyBA、AMBS19 （本小题满分 14 分）已知 .,ln)(R
6、axf（）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；2a)(f)1(,f（）若 在 处有极值，求 的单调递增区间；)(xf1x（）是否存在实数 ，使 ()f在区间 的最小值是 3，若存在，求出 a的值；e,0若不存在，说明理由.20 （本小题满分 13 分）对于给定数列 ，如果存在实常数 使得 对于任意 都成nc,pq1ncpq*nN立，我们称数列 是 “ 类数列”nc（）若 ， ， ，数列 、 是否为“ 类数列”？若是，an23nb*Nnab指出它对应的实常数 ，若不是，请说明理由；,pq（）证明：若数列 是“ 类数列”，则数列 也是“ 类数列”；n1n（）若数列 满足 ， ， 为常数求数列 前a
7、12)(23*1tantna项的和并判断 是否为“ 类数列”，说明理由201n石景山区 20112012 学年第一学期期末考试试卷高三数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A C A B D B C B二、填空题：本大题共 6 个小题，每小题 5 分，共 30 分 注：两空的题第 1 个空 3 分，第 2 个空 2 分.三、解答题：本大题共 6 个小题，共 80 分应写出文字说明，证明过程或演算步骤15 （本小题满分 13 分）解：（） xxf 2sin1co3)(32sx5 分)3in(7 分 T（）因为
8、 ，所以 9 分46x65320x当 时，即 时， 的最大值为 ；11 分231)(f231当 时，即 时， 的最小值为 . 13 分0x6xx16 （本小题满分 13 分）解：（）由茎叶图可知，乙球员四场比赛得分为 18,24,24,30，所以平均数； 2 分24302418x题号 9 10 11 12 13 14答案 800, 20% 372 4 2 . 5 分 18)2430()24()()2418( 22 s（）甲球员四场比赛得分为 20,20,26,32，分别从两人得分中随机选取一场的 得分，共有 16 种情况：（18，20） （18，20） （18，26） （18，32）（24，2
9、0） （24，20） （24，26） （24，32）（24，20） （24，20） （24，26） （24，32）（30，20） （30，20） （30，26） （30，32） 9 分得分和超过 55 分的结果有： （24，32） （24，32）(30 ，26)（30，32） 11 分求得分和超过 55 分的概率为 . 13 分4117 （本小题满分 13 分）解：（）证明：取 中点 ，连结 DEN,MA在 中， 分别为 的中点， 2 分C,CED所以 ，且 MNCD12由已知 ， ，AB所以 ，且 AB所以四边形 为平行四边形 4 分N所以 M又因为 平面 ，且 平面 ，ANDEFBMADE
10、F所以 平面 6 分BM（）证明：在矩形 中， 又因为平面 平面 ，C且平面 平面 ，AEFBA所以 平面 D所以 9 分在直角梯形 中， ， ，可得 C2D4C2B在 中， ，B,因为 ，所以 22DB因为 ,所以 平面 13 分EE18 （本小题满分 14 分）解：（）由题意得 36,2acb结合 ，解得 2a1所以，椭圆的方程为 . 5 分42yx（）由 得 6 分142xy12)(32x即 ，经验证 . 09642x0设 .),(),(21yBA所以 ， 8 分49312xx， 2121 )()xy、11 分032AB2121xx（ 因为点 到直线 的距离 ， 13 分MAB210d所
11、以 . 14 分4533221SAB19 （本小题满分 14 分）解：（）由已知得 的定义域为 ，)(xf(0)，因为 ，所以lna 1 fxa当 时， ，所以 ，2()2lfx()2f因为 ，所以2 分 1 f ()1f所以曲线 在点 处的切线方程为)(x,，即 . 4 分21yf0xy（）因为 在 处有极值，所以 ，)( (1)f由（）知 ，所以 fa经检验， 时 在 处有极值 5 分1)(x1所以 ，令 解得 ；()lnfx 0fx10x或因为 的定义域为 ，所以 的解集为 ，(0)， ()f()，即 的单调递增区间为 . 8 分)(xf 1，（）假设存在实数 a，使 xaxfln)(（
12、 ,0(e）有最小值 3， 当 0a时，因为 ，所以 ，e,0)(f所以 )(xf在 ,上单调递减，31mine，解得 ea4，舍去. 10 分 当 a10时， )(xf在 ,0上单调递减，在 ,1(ea上单调递增， 3ln1)()(minafxf ，解得 2e，满足条件. 12 分 当 ea时，因为 ，所以 ，ex,00)(xf所以 )(xf在 ,上单调递减， 31minae，解得 e4，舍去.综上，存在实数 2a，使得当 ,0(ex时 ()fx有最小值 3. 14 分20 （本小题满分 13 分）解：（）因为 则有,n12,na*nN故数列 是“ 类数列 ”，对应的实常数分别为 ； 1 分a1,因为 ，则有 ， .32nb1nb*故数列 是“ 类数列 ”，对应的实常数分别为 . 3 分n 2,0（）证明：若数列 是“ 类数列” ，则存在实常数 ，naqp、使得 对于任意 都成立，1nnapq*N且有 对于任意 都成立， 21因此 对于任意 都成立，12nnaq*n故数列 也是“ 类数列” 1a对应的实常数分别为
