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1、北京市石景山 20112012 学年第一学期期末考试试卷高三数学(文科)考生须知本试卷共 6 页,150 分.考试时间长 120 分钟请将所有试题答案答在答题卡上三题号 一 二15 16 17 18 19 20 总分分数第卷 选择题一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1设集合 , , ,则 ( )4,321U21A4B)(BACUA B C ,21D 4,12已知复数 ,则复数 的模为()i1zzA 2 B 2C1 D03设 是定义在 上的奇函数,当 时, ,则 ())(xfR0xxf2)()1(f4如图,一个空间几
2、何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形,如果直角三角形的直角边长为2,那么这个几何体的体积为()A 38B 34C4 D 25执行右面的框图,若输入实数 ,x则输出结果为( )A-3 B-1 C1 D3正视图 侧视图俯视图A 2B 41C 1D 26.设抛物线 上一点 P 到 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线准线的距离为( )xy82yA4 B6 C8 D127.以下四个命题中,真命题的个数是( ) 命题“若 0232x,则 1x”的逆否命题为“若 1x,则 0232x”;若 为假命题,则 、 均为假命题; qppq命题 :存在 ,使得 ,则 :任意 ,都有 ;R02pR12在
3、 中, 是 的充分不必要条件 .ABCBAsiniA1 B2 C3 D48.对于使 成立的所有常数 中,我们把 的最小值 1 叫做 2x的Mx2 M上确界,若 ,且 ,则 12ab的上确界为( )Rba、 baA 92B 92C 4D-4第卷 非选择题二、填空题:本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分 9在 中,若 ,则 ABC32,10,2aAcB10统计某校 1000 名学生的数学会考成绩,得到样本频率分布直方图如下图,规定不低于60 分为及格,不低于 80 分为优秀则及格人数是 ;优秀率为 11已知向量 , , ,若 与 垂直,则 )1,3(a),0(b)3,(kcba2ck
4、12已知等差数列 的前 项和为n nS,若 ,则 4518a8S13若实数 满足条件,xy .1,20xy则 的最大值为 2xy14.已知函数 )1,0(log)( abxfa且,当 且 时,213a4b函数 的零点 ,则 )(xf *0),1(Nn三、解答题:本大题共 6 个小题,共 80 分应写出文字说明,证明过程或演算步骤15 (本小题满分 13 分)已知函数 xxf 2sin1co3)(2()求 的最小正周期;()求 在区间 上的最大值和最小值)(xf46,16 (本小题满分 13 分)甲、乙两名篮球运动员在四场比赛中的得分数据以茎叶图记录如下:甲 乙1 86 0 0 2 4 4 2
5、3 0 ()求乙球员得分的平均数和方差; MEF CDBA()分别从两人得分中随机选取一场的得分,求得分和超过 55 分的概率(注:方差 22212 )()()( xxxns n其中 为 , , 的平均数) 2 n17 (本小题满分 13 分)如图,矩形 与梯形 所在的平面互相垂直, , ,ADEFBCADCB, , 为 的中点2B4M()求证: 平面 ;()求证: 平面 18 (本小题满分 14 分)已知椭圆 ( )过点 (0,2 ) ,离心率 .12byaxaM36e()求椭圆的方程;()设直线 与椭圆相交于 两点,求 .xyBA、AMBS19 (本小题满分 14 分)已知 .,ln)(R
6、axf()当 时,求曲线 在点 处的切线方程;2a)(f)1(,f()若 在 处有极值,求 的单调递增区间;)(xf1x()是否存在实数 ,使 ()f在区间 的最小值是 3,若存在,求出 a的值;e,0若不存在,说明理由.20 (本小题满分 13 分)对于给定数列 ,如果存在实常数 使得 对于任意 都成nc,pq1ncpq*nN立,我们称数列 是 “ 类数列”nc()若 , , ,数列 、 是否为“ 类数列”?若是,an23nb*Nnab指出它对应的实常数 ,若不是,请说明理由;,pq()证明:若数列 是“ 类数列”,则数列 也是“ 类数列”;n1n()若数列 满足 , , 为常数求数列 前a
7、12)(23*1tantna项的和并判断 是否为“ 类数列”,说明理由201n石景山区 20112012 学年第一学期期末考试试卷高三数学(文科)参考答案一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8答案 A C A B D B C B二、填空题:本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分 注:两空的题第 1 个空 3 分,第 2 个空 2 分.三、解答题:本大题共 6 个小题,共 80 分应写出文字说明,证明过程或演算步骤15 (本小题满分 13 分)解:() xxf 2sin1co3)(32sx5 分)3in(7 分 T()因为
8、 ,所以 9 分46x65320x当 时,即 时, 的最大值为 ;11 分231)(f231当 时,即 时, 的最小值为 . 13 分0x6xx16 (本小题满分 13 分)解:()由茎叶图可知,乙球员四场比赛得分为 18,24,24,30,所以平均数; 2 分24302418x题号 9 10 11 12 13 14答案 800, 20% 372 4 2 . 5 分 18)2430()24()()2418( 22 s()甲球员四场比赛得分为 20,20,26,32,分别从两人得分中随机选取一场的 得分,共有 16 种情况:(18,20) (18,20) (18,26) (18,32)(24,2
9、0) (24,20) (24,26) (24,32)(24,20) (24,20) (24,26) (24,32)(30,20) (30,20) (30,26) (30,32) 9 分得分和超过 55 分的结果有: (24,32) (24,32)(30 ,26)(30,32) 11 分求得分和超过 55 分的概率为 . 13 分4117 (本小题满分 13 分)解:()证明:取 中点 ,连结 DEN,MA在 中, 分别为 的中点, 2 分C,CED所以 ,且 MNCD12由已知 , ,AB所以 ,且 AB所以四边形 为平行四边形 4 分N所以 M又因为 平面 ,且 平面 ,ANDEFBMADE
10、F所以 平面 6 分BM()证明:在矩形 中, 又因为平面 平面 ,C且平面 平面 ,AEFBA所以 平面 D所以 9 分在直角梯形 中, , ,可得 C2D4C2B在 中, ,B,因为 ,所以 22DB因为 ,所以 平面 13 分EE18 (本小题满分 14 分)解:()由题意得 36,2acb结合 ,解得 2a1所以,椭圆的方程为 . 5 分42yx()由 得 6 分142xy12)(32x即 ,经验证 . 09642x0设 .),(),(21yBA所以 , 8 分49312xx, 2121 )()xy、11 分032AB2121xx( 因为点 到直线 的距离 , 13 分MAB210d所
11、以 . 14 分4533221SAB19 (本小题满分 14 分)解:()由已知得 的定义域为 ,)(xf(0),因为 ,所以lna 1 fxa当 时, ,所以 ,2()2lfx()2f因为 ,所以2 分 1 f ()1f所以曲线 在点 处的切线方程为)(x,,即 . 4 分21yf0xy()因为 在 处有极值,所以 ,)( (1)f由()知 ,所以 fa经检验, 时 在 处有极值 5 分1)(x1所以 ,令 解得 ;()lnfx 0fx10x或因为 的定义域为 ,所以 的解集为 ,(0), ()f(),即 的单调递增区间为 . 8 分)(xf 1,()假设存在实数 a,使 xaxfln)((
12、 ,0(e)有最小值 3, 当 0a时,因为 ,所以 ,e,0)(f所以 )(xf在 ,上单调递减,31mine,解得 ea4,舍去. 10 分 当 a10时, )(xf在 ,0上单调递减,在 ,1(ea上单调递增, 3ln1)()(minafxf ,解得 2e,满足条件. 12 分 当 ea时,因为 ,所以 ,ex,00)(xf所以 )(xf在 ,上单调递减, 31minae,解得 e4,舍去.综上,存在实数 2a,使得当 ,0(ex时 ()fx有最小值 3. 14 分20 (本小题满分 13 分)解:()因为 则有,n12,na*nN故数列 是“ 类数列 ”,对应的实常数分别为 ; 1 分a1,因为 ,则有 , .32nb1nb*故数列 是“ 类数列 ”,对应的实常数分别为 . 3 分n 2,0()证明:若数列 是“ 类数列” ,则存在实常数 ,naqp、使得 对于任意 都成立,1nnapq*N且有 对于任意 都成立, 21因此 对于任意 都成立,12nnaq*n故数列 也是“ 类数列” 1a对应的实常数分别为