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1、第二章 多项式2.1 一元多项式的定义和运算1设 和 是实数域上的多项式证明：若是),(xfg)(xh(6) ，222那么 .0)()(xxf2求一组满足（6）式的不全为零的复系数多项式 和)(,xgf.h3证明： !).(1)( !)1).(2nxnxxnn2.2 多项式的整除性1求 被 除所得的商式和余式：)(xfg( i ) ;13)(,1423xgx(ii) 25 f2证明： 必要且只要kx)(| ).(|xf3令 都是数域 F 上的多项式，其中 且gf2121, 01xf证明：.| 1xfxxg .|2fxg4实数 满足什么条件时多项式 能够整除多项式qpm, 12m.4qpx5设
2、F 是一个数域， 证明： 整除.Faax.n6考虑有理数域上多项式 ,12121nknknk xxf 这里 和 都是非负整数证明：kn .| 1nk1 xfk7证明： 整除 必要且只要 整除1dxnd.n2.3 多项式的最大公因式1. 计算以下各组多项式的最大公因式：( i ) ;32103,4324 xxgxxf(ii) .1)2(,)()()(2 ixigiiii 2. 设 证明：若 且.,11xdxfdxf ,dgf和 不全为零，则 反之，若 则 是fg;)(g),(1xfx与 的一个最大公因式x3. 令 与 是 的多项式，而 是 中的数，并且fxFdcba,F0d证明： ).,(),(
3、 xgfxgcfxbgaf 4 证明：（i） 是 和 的最大公因式；hgf),(f（ii） ),(), 212121 gff此处 等都是 的多项式。f,xF5 设 都是有理数域2,4234234 xxxfQ 上的多项式。求 使得,Qvxu).,(xgfxvgf6 设 令 是任意正整数，证明： 由此进一步证明，.1),(gfn.1,n对于任意正整数 ，都有m.1),(nmf7 设 证明：.),(f .1),(),(),( gfgff8 证明：对于任意正整数 都有n).,(),(nngff9 证明：若是 与 互素，并且 与 的次数都大于 0，那么xfgx定理 里的 与 可以如此选取，使得 的次数低
4、于 的次数，3.2uvux的次数低于 的次数，并且这样的 与 是唯一的。xvxf xv10 决定 ，使 与 的最大公因式是k24)6(2kkx2)(一次的。11 证明：如果 那么对于任意正整数 ，,1),(xgf mmf12 设 是数域 F 上的多项式。 与 的最小公倍式指的是xf, xfgFx中满足以下条件的一个多项式 ：x且 ；axmfxg如果 Fx且 ，那么b)(hxhgf,.xhm证明：Fx中任意两个多项式都有最小公倍式，并且除了可能的零次因式i的差别外，是唯一的。设 都是最高次项系数是 1 的多项式，令 表示 和ixgf, xgf,f的最高次项系数是 1 的那个最小公倍式。证明xgx
5、fxff ,13 设 并且 证明：,1fgn .1,2,1, nixfgi .xfgn14 设 证明：.,21 xFfxfni .1, 12121 nkxffffx nkkn 互素的充要条件是存在多项式xxfn使得,21Fxuxun121 xufxufxf n15 设 令.,1Fn .1,1 nixFgxfxgfI in比照定理 1.4.2，证明： 有最大公因式提示：如果,不全为零，取 是 I 中次数最低的一个多项式，则 就是xffn,1 xd xd的一个最大公因式2.4 多项式的分解1. 在有理数域上分解以下多项式为不可约多项式的乘积：i;132x.123xxi2. 分别在复数域，实数域，有
6、理数域上分解多项式 为不可约因式的14x乘积.3. 证明： 当且仅当,2xfg.xfg4. 求 在 内的典型分解式；i 12345Q求 在 内的典型分解式i 6161025xxxf R5.证明：数域 F 上一个次数大于零的多项式 是 中某一不可约多项式的fxF幂的充分且必要条件是对于任意 或者 或者存在一个正,xg1,g整数 使得m.mxgf6设 是 中一个次数大于零的多项式.如果对于任意pF只要 就有 或 那么 不可约.,xxfxgfxfp,xgp2.5 重因式1. 证明下列关于多项式的导数的公式：i;xgfxgf i.xgfxfxgf 2. 设 是 的导数 的 重因式.证明：p1k未必是
7、的 重因式；ixxfk是 的 重因式的充分且必要条件是 .xfp3. 证明有理系数多项式 !21nxf没有重因式.4. 应该满足什么条件，下列的有理系数多项式才能有重因式？ba,i;3x.45. 证明：数域 F 上的一个 次多项式 能被它的导数整除的充分且必要nxf条件是，nbxaf这里的 是 F 中的数,2.6 多项式函数 多项式的根 1设 ,求 .1532)(345xxf )2(,f2数环 R 的一个数 说是 的一个 重根,如果 可以被c)(Rfk)(xf整除,但不能被 整除.判断 5 是不是多项式kcx)(1(kx507423)35xxf的根.如果是的话,是几重根?3设 dcbax )(
8、)()(2233求 提示:应用综合除法.,dcba4将下列多项式 表成 的多项式.)(xfa;)(i1,5axf.2,3245求一个次数小于 4 的多项式 ,使)(xf2)5(,041,)( ff6求一个 2 次多项式,使它在 处与函数 有相同的值.,2xxsin7令 是两个多项式,并且 可以被 整除.)(xgf )()(33gf12证明 .0)1(f8令 是一个复数,并且是 中一个非零多项式的根,令cxQ)(|)(cffJ证明: 在 J 中存在唯一的最高次项系数是 1 的多项式 ,使得 中每一多项)(i )(xpJ式 都可以写成 的形式,这里 .xf )(xqp)(Qxq在 中不可约.)(i
9、pQ如果 ,求上述的 32c)(x提示:取 是 J 中次数最低的、最高次项系数是 1 的多项式.)(x9设 中多项式 且 , 是一个大于 1 的整数.C0)(xf )(|nxf证明: 的根只能是零或单位根.)(xf提示:如果 是 的根,那么 都是 的根.c)(f ,32nc)(xf2.7 复数和实数域上多项式1设 次多项式 的根是 .求n nnaxxaxf 110)( n,21以 为根的多项式,这里 是一个数;)(inca,2 c以 (假定 都不等于零)为根的多项式.)(in1,21 n,212设 是一个多项式,用 表示把 的系数分别换成它们的共轭数)xf (xf)(xf后所得多项式.证明:若
10、是 g ,那么 ;)(i)(|f)(|fg若是 是 和 的一个最大公因式,并且 的最高次项系数是 1,xdxf )(xd那么 是一个实系数多项式).)(3给出实系数四次多项式在实数域上所有不同类型的典型分解式.4在复数和实数域上,分解 为不可约因式的乘积.2nx5证明:数域 F 上任意一个不可约多项式在复数域内没有重根.2.8 有理数域上多项式1证明以下多项式在有理数域上不可约:;)(i108234xx6245;)(i33xx.v162利用艾森斯坦判断法,证明:若是 是 个不相同的素数而 是tp,21 n一个大于 1 的整数,那么 是一个无理数.ntp213设 是一个整系数多项式.证明:若是
11、和 都是奇数,那么)(xf )0(f1f不能有整数根.)(f4求以下多项式的有理根:;)(i145623xx;74.)(i 3215345 xx2.9 多元多项式1写出一个数域 F 上三元三次多项式的一般形式.2设 是一个 次齐次多项式. 是任意数.证明),(1nxf rt.),(,1nxftt 3设 是数域 F 上一个 元齐次多项式,证明: 如果),(1nxf,则 也是 元齐次多项式.),(),( 11 nn xhgxf hg4把多项式 写成两个多项式的乘积.yzyx335设 F 是一个数域 . 是 F 上 元多项式 .如果存在,1nxf使得 ,那么就说 是 的一个因式.或者说 整除 .,1
12、nxhghgf gf证明,每一多项式 都可以被零次多项式 和 整除, .)(if c0,c说是不可约的,如果除了 中那两种类型的因式外, 没有其,1nxFf )(i f它的因式.证明,在 里,多项式 都不可约.yyxy2,举一反例证明,当 时,类拟于一元多项式的带余除法不成立.)(i 2说是互素的,如果除了零次多项式外,它们没有次数大于零v,1nxFgf的公共因式.证明 是互素的多项式.能否找到,y使得 ?),(,xyvxu 1),()(yxvu2.10 对称多项式 1写出某一数环 R 上三元三次对称多项式的一般形式.2令 是数环 上 元多项式环, 是由一切 元对称多项式,21nx nSn所组成的 的子集.证明:存在 到 的一个双射.提示：利用, ,1nxR对称多项式的基本定理，建立 到 S 的一个双射,1nxR3把下列 元对称多项式表成初等对称多项式的多项式：n； ； )(i21x)(i4x)(i3214证明：如果一个三次多项式 的一个根的平方等于其余两cbxax2个根的平方和，那么这个多项式的系数满足以下关系： 2324 )()(cabba5设 是某一数域上多项式n,21nxx1在复数域内的全部根证明： 的每一个对称多项式都可以表成上关n,2于 的多项式 提示：只需证明 的初等对称多项式可以表成上关1于 的多项式即可
