[数学教案]函数的性质_0

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1、1函数的性质本资料为 WORD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 文 章来源课件 5 Y k J.COm 新课标高三数学（人教版）第一轮复习单元讲座第四讲 函数的基本性质一课标要求( 例题 5，练习题 7，习题 9)1通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；2结合具体函数，了解奇偶性的含义；二命题走向从近几年来看，函数性质是高考命题的主线索，不论是何种函数，必须与函数性质相关联，因此在复习中，针对不同的函数类别及综合情况，归纳出一定的复习线索。预测 2011 年高考的出题思路是：通过研究函数的定义域、值域，进而研究函数的单调性、奇偶性以及最值。预测明年的

2、对本讲的考察是：2（1）考察函数性质的选择题 1 个或 1 个填空题，还可能结合导数出研究函数性质的大题；（2）以中等难度、题型新颖的试题综合考察函数的性质，以组合形式、一题多角度考察函数性质预计成为新的热点。三要点精讲1单调性（1）定义：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)） ，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数（减函数） ；注意：1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；2 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1，x2；当 x1x2时

3、，总有 f(x1)f(x2)（2）如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间 D 叫做y=f(x)的单调区间。（3）设复合函数 y= fg(x)，其中 u=g(x) , A 是 y= fg(x)定义域的某个区间，B 是映射g : xu=g(x) 的象集：若 u=g(x) 在 A 上是增（或减）函数，y= f(u)在 B 上也是增3（或减）函数，则函数y= fg(x)在 A 上是增函数；若 u=g(x)在 A 上是增（或减）函数，而 y= f(u)在 B 上是减（或增）函数，则函数 y= fg(x)在 A 上是减函数。（4

4、）判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性的一般步骤：1 任取 x1，x2D，且 x1x2；2 作差 f(x1)f(x2) ；3 变形（通常是因式分解和配方） ；4 定号（即判断差 f(x1)f(x2)的正负） ；5 下结论（即指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性） 。（5）简单性质奇函数在其对称区间上的单调性相同；偶函数在其对称区间上的单调性相反；在公共定义域内：增函数 增函数 是增函数； 减函数 减函数 是减函数；增函数 减函数 是增函数； 减函数 增函数 是减函数。2奇偶性（1）定义：如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(x)

5、= f(x)，则称 f(x)为奇函数；如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(x)=f(x)，则称 f(x)4为偶函数。如果函数 f(x)不具有上述性质，则 f(x)不具有奇偶性 .如果函数同时具有上述两条性质，则 f(x)既是奇函数，又是偶函数。注意：1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；例如：函数的单调性是对某个区间而言的，所以受到区间的限制，如函数 分别在 和 内都是单调递减的，但是不能说它在整个定义域即 内是单调递减的，只能说函数 的单调递减区间为 和 2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个 x

6、，则x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称） 。（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；2 确定 f(x) 与 f(x)的关系；3 作出相应结论：若 f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是偶函数；若 f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0，则 f(x)是奇函数。（3）简单性质：图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关5于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 y 轴对称；若 是偶函数，则 的图象关于直线 对称；若 是奇函数，则 的图象关于点 中心对称；设

7、 ， 的定义域分别是 ，那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇 奇=偶，偶+偶=偶，偶 偶=偶，奇 偶=奇；3最值（1）定义：最大值：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M满足：对于任意的 xI，都有 f(x)M；存在 x0I，使得 f(x0) = M。那么，称 M 是函数 y=f(x)的最大值。最小值：一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M满足：对于任意的 xI，都有 f(x)M；存在 x0I，使得 f(x0) = M。那么，称 M 是函数 y=f(x)的最小值。注意：1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在 x0I，使得 f(x0) =

8、 M；2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的 xI，都有f(x)M（f(x)M） 。（2） 函数的最值的求法若函数是二次函数或可化为二次函数型的函数，常用配方法。6利用函数的单调性求最值：先判断函数在给定区间上的单调性，然后利用函数的单调性求最值。如果函数 y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值f(b)；如果函数 y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c 上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b)；基本不等式法：当函数是分式形式且分子分母不同次时常用此法（但有注意等号是否取得） 。

9、导数法：当函数比较复杂时，一般采用此法数形结合法：画出函数图象，找出坐标的范围或分析条件的几何意义，在图上找其变化范围。4周期性（1）定义：如果存在一个非零常数 T，使得对于函数定义域内的任意 x，都有 f(x+T)= f(x)，则称 f(x)为周期函数；（2）性质：f(x+T)= f(x)常常写作 若 f(x)的周期中，存在一个最小的正数 T，则称它为 f(x)的最小正周期；若周期函数 f(x)的周期为 T，则 f(x)（0 ）是周期函数，且周期为 。（3）周期性不仅仅是三角函数的专利，抽象函数的周期性是高考热点，主要难点是抽象函数周期的发现，主要有几种情况： 函数值之和等于零型，即函数 对

10、于定义域中任意 满足 ，则有 ，故函数 的周期是 函数图象有 ， 两条对称轴型。7函数图象有 ， 两条对称轴，即 ， ，从而得 ，故函数 的周期是 两个函数值之积等于 ，即函数值互为倒数或负倒数型若 ，则得 ，所以函数 的周期是 ；同理若 ，则 的周期是 四典例解析题型一判断证明函数的单调性例 1 （2001 天津， 19）设 ， 是 上的偶函数。（1）求 的值；（2）证明 在 上为增函数。解：（ 1）依题意，对一切 ，有 ，即 。 对一切 成立，则 ， ， ， 。（2）(定义法) 设 ，则 ，由 ，得 ， ， ，即 ， 在 上为增函数。（导数法） ， 在 上为增函数 点评：本题用了两种方法：

11、定义法和导数法，相比之下导数法比定义法更为简洁。例 2 （1）求函数 的单调区间；8（2）已知 若 试确定 的单调区间和单调性。解：（ 1）函数的定义域为 ，分解基本函数为 、 显然 在 上是单调递减的，而 在 上分别是单调递减和单调递增的。根据复合函数的单调性的规则：所以函数 在 上分别单调递增、单调递减。（2）解： ， ，令 ，得 或 ，令 ， 或 单调增区间为 ；单调减区间为 。点评：该题考察了复合函数的单调性。要记住“同向增、异向减”的规则。练习 1函数 的单调增区间为（ ）A ；B ；C ；D 解析 D；由 得 或 ，又函数 在 上是减函数， 在 上是减函数，所以函数的单调增区间为

12、2 （2007 天津改编）在 上定义的函数 是奇函数，且 ，若 在区间 是减函数，则函数 （ ）A.在区间 上是增函数，区间 上是增函数B.在区间 上是增函数，区间 上是减函数C.在区间 上是减函数，区间 上是增函数9D.在区间 上是减函数，区间 上是减函数解析 C；由 知 的图象关于直线 对称，由 在区间 是减函数知 在区间 是增函数，又由 及 是奇函数，得到，进而得 ，所以 是以 4 为周期的函数，故 在 上是减函数。题型二：判断函数的奇偶性例 3讨论下述函数的奇偶性：解：（ 1）函数定义域为 R，f(x)为偶函数；（另解）先化简： ，显然 为偶函数；从这可以看出，化简后再解决要容易得多。

13、（2）须要分两段讨论：设方法正确解题过程不对！设当 x=0 时 f(x)=0，也满足 f(x)= f(x)；由 、知，对 xR 有 f(x) = f(x)， f(x)为偶函数；（3） ，函数的定义域为 ，f(x)=log21=0(x=1) ，即 f(x)的图象由两个点 A（1，0 ）10与 B（1，0）组成，这两点既关于 y 轴对称，又关于原点对称，f(x)既是奇函数，又是偶函数；点评：判断函数的奇偶性是比较基本的问题，难度不大，解决问题时应先考察函数的定义域，若函数的解析式能化简，一般应考虑先化简，但化简必须是等价变换过程（要保证定义域不变） 。例 4(2002 天津文.16)设函数 f（x

14、）在（，+）内有定义，下列函数：y=|f（x）|；y=xf （x2） ；y=f（x） ；y=f（x）f（x） 。必为奇函数的有_（要求填写正确答案的序号）答案： ；解析：y= （x ）f（x）2=xf（x2）= y；y=f （x）f（x）=y。可以看成 y=f （x）,那么f（x）y 所以 不正确。点评：该题考察了判断抽象函数奇偶性的问题。对学生逻辑思维能力有较高的要求。题型三：最值问题例题 5（2000 年上海）已知函数 当 时，求函数 的最小值；解题思路当 时， ，这是典型的“对钩函数” ，欲求其最小值，可以考虑均值不等式或导数；解析当 时， ， 。 在区间 上为增函数。在区间 上的最小值

15、为 。11【名师指引】对于函数 若 ，则优先考虑用均值不等式求最小值，但要注意等号是否成立，否则会得到 而认为其最小值为 ，但实际上，要取得等号，必须使得 ，这时 所以，用均值不等式来求最值时，必须注意：一正、二定、三相等，缺一不可。其次,不等式恒成立问题常转化为求函数的最值。本题考查求函数的最小值的三种通法：利用均值不等式，利用函数单调性，二次函数的配方法，考查不等式恒成立问题以及转化化归思想；题型四：周期问题例题 6 （执信中学 09 届训练题）设 是定义在 上的正值函数, 且满足.若 是周期函数,则它的一个周期是（ ）. ； . ； . ； . 解析 ；由 是定义在 上的正值函数及 得， ，所以 ，即 的一个周期是 6例题 7 （06 年安徽改编）函数 对于任意实数 满足条件 ，若 则 _解析 ；由 得 ，进而得 所以 例题 8若 y=f(2x)的图像关于直线 和 对称，则 f(x)的一个周期为（ ）12A B C D 解：因为 y=f(2x)关于 对称，所以 f(a+2x)=f(a2x) 。所以 f(2a2x)=fa+(a2x)=fa (a2x)=f