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1、1函数的周期性本资料为 WORD 文档，请点击下载地址下载全文下载地址 文 章来源 课件 5Y k J.Com 27 函数的周期性函数的周期性不仅存在于三角函数中，在其它函数或者数列中“突然”出现的周期性问题更能考查你的功底和灵活性，本讲重点复习一般函数的周期性问题一.明确复习目标1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。二、建构知识网络1.函数的周期性定义：若 T 为非零常数，对于定义域内的任一 x，使 恒成立，则 f(x)叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。周期函数定义域必是无界的22.若 T
2、是周期，则 kT（k0,kZ）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。周期函数并非所都有最小正周期。如常函数 f(x)=C； 3.若函数 f(x)对定义域内的任意 x 满足： f(x+a)=f(xa),则 2a 为函数 f(x)的周期。（若 f(x)满足 f(a+x)=f(ax)则 f(x)的图象以 x=a 为图象的对称轴，应注意二者的区别)4.若函数 f(x)图象有两条对称轴 x=a 和 x=b， （ab） ，则2（b-a）是 f（x）的一个周期5.若函数 f(x)图象有两个对称中心（a，0） ， （b ，0 ） （ab ） ，则 2（b-a）是 f（
3、x）的一个周期。( 证一证 )6.若函数 f（x）有一条对称轴 x=a 和一个对称中心（ b，0）（a0,使 ，则 的一个周期是 ，f(px)的一个正周期是 ；5.数列 中 简答精讲：1、B ； 2、A；3、993；因（-1，0 ）是中心，x=0 是对称轴，则周期是 4； 4、 ， ；5、 ；由已知 ，周期为 6。四.经典例题做一做【例 1】 已知 f(x)是以 2 为周期的偶函数，且当 x(0,1)时，f(x)=x+1.求 f(x)在(1,2)上的解析式。解法 1：（从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上。 ） x(1,2), 则-x(-2,-1), 2-
4、x(0,1), T=2,是偶函数 f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x.x(1,2).解法 2（从图象入手也可解决，且较直观）f(x)=f(x+2)如图： x(0,1), f(x)=x+1.是偶函数x(-1,0)时 f(x)=f(-x)=-x+1.又周期为 2， x(1,2)时 x-2（-1 ，0）f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=3-x.4提炼方法：1. 解题体现了化归转化的思想, 即把未知的(1,2)上向已知的(0,1)上转化;2.用好数形结合 ,对解题很有帮助.【例 2】f(x)的定义域是 R，且 f(x+2)1-f(x)=1+f(x),若 f(0)=2008,
5、求 f(2008)的值。解： 周期为 8， 法二：依次计算 f(2、4、6 、8)知周期为 8，须再验证。方法提炼：1.求周期只需要弄出一个常数;2.注意既得关系式的连续使用.【例 3】 若函数 在 R 上是奇函数，且在 上是增函数，且 .求 的周期；证明 f(x)的图象关于点(2k,0) 中心对称;关于直线 x=2k+1 轴对称, (kZ );讨论 f(x)在(1,2) 上的单调性；解: 由已知 f(x)=f(x+2)=f(x+2+2)=f(x+4),故周期 T=4.设 P(x,y)是图象上任意一点,则 y=f(x),且 P 关于点(2k,0)对称的点为 P1(4k-x,-y).P 关于直线
6、 x=2k+1 对称的点为 P2(4k+2-x,y).5f(4k-x)=f(-x)=-f(x)=-y,点 P1 在图象上,图象关于点(2k,0)对称.又 f(x)是奇函数,f(x+2)=-f(x)=f(-x)f(4k+2-x)=f(2-x)=f(x)=y, 点 P2 在图象上,图象关于直线2k+1 对称 .设 1x1x22,则-2-x2-x1-1, 02-x22-x11.f(x)在(-1,0)上递增, f(2-x1)f(2-x2)(*)又 f(x+2)=-f(x)=f(-x) f(2-x1)=f(x1), f(2-x2)=f(x2).(*)为 f(x2)f(x1),f(x)在(1,2)上是减函
7、数.提炼方法：总结解周期性、单调性及图象对称性的方法。【研究 .欣赏】已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的周期函数，周期T=5，函数 y=f(x)(-1x1)是奇函数.又知 y=f(x)在0,1上是一次函数，在1,4上是二次函数，且在 x=2 时函数取得最小值-5.证明： ；求 的解析式；求 在 上的解析式.解： 是以 为周期的周期函数，且在 -1,1上是奇函数， ， .当 时，由题意可设 ，由 得 ， ， . 是奇函数， ，又知 在 上是一次函数，可设 ，而 ， ，当 时， ，6从而 时， ，故 时， .当 时，有 ， .当 时， ， .五提炼总结以为师1.函数的周期性及有关概念;2.用
8、周期的定义求函数的周期;3.函数的周期性与图象的对称性之间的关系;同步练习 27 函数的周期性【选择题】1.f（x）是定义在 R 上的奇函数，它的最小正周期为 T，则 f（ ）的值为A.0B. C.TD. 2.（2004 天津）定义在 R 上的函数 f（x）既是偶函数又是周期函数. 若 f（x）的最小正周期是 ，且当 x0 ， 时，f（x ）=sinx，则 f（ ）的值为A. B. C. D. 【填空题】3.设 是定义在 上，以 2 为周期的周期函数，且 为偶函数，在区7间2，3 上， = ,则 = 4.已知函数 f(x)是偶函数，且等式 f(4+x)f(4-x)，对一切实数 x成立，写出 f
9、(x)的一个最小正周 5.对任意 xR，f(x)=f(x-1)+f(x+1)且 f(0)=6,f(4)=3,则 f(69)= 6.设 f(x)定义在 R 上的偶函数，且 ，又当 x(0 ，3时，f(x)=2x，则 f(2007)= 。答案提示：1、A；由 f（ ）=f（ +T）=f（ ）=f（ ） ，知 f（ ）=0.（或取特殊函数 f（x ）=sinx ）2、D ； f（ ）=f（ 2）=f（ ）=f（ ）=sin = .3、 ; 4、8；5、f(x-1)=f(x)-f(x+1),f(x)=f(x+1)-f(x+2)=f(x+2)-f(x+3)-f(x+2)= -f(x+3)f(x)= -f
10、(x+3)=f(x+6) .周期是 6；f(69)=f(3)=f(-3)= -f(-3+3)= -66、 ，周期 T=6， F(2007)=f(3)=6【解答题】7.设函数 f(x)的最小正周期为 2002，并且 f(1001+x)=f(1001x) 对一切 xR 均成立，试讨论 f(x)的奇偶性.解: 周期是 2002, f(2002+x)=f(x),又由 f(1001+x)=f(1001x) 得 f(2002-x)=f(x)8对任意的 x 都有 f(x)=f(2002-x)=f(-x),f(x)是偶函数.8.设 f(x)为定义在实数集上周期为 2 的函数，且为偶函数，已知x2,3时 f(x
11、)=x，求 x-2,0时 f(x)的解析式。分析：由 T=2 可得 x-2,-1和 x0,1时的解析式；再由奇偶性可得-1，0上的解析式。解：因为函数 f(x)是 T=2 的周期函数，所以 f(x+2)=f(x).又由于 f(x)为偶函数，故 所以解析式为 9.设 f(x)是定义在（- ，+ ）上的函数，对一切 xR 均有 f(x)+f(x+2)=0，当-1x1 时，f(x)=2x-1，求当 1x3时，函数 f(x)的解析式。思路分析： f(x)+f(x+2)=0 f(x)=-f(x+2) 该式对一切 xR 成立， 以 x-2 代 x 得：f(x-2)=-f(x-2)+2=-f(x)当 1x3
12、时，-1x-21 ， f(x-2)=2(x-2)-1=2x-5 f(x)=-f(x-2)=-2x+5， f(x)=-2x+5（ 1x3）评注：在化归过程中，一方面要转化自变量到已知解析式的定义域，另一方面要保持对应的函数值有一定关系。在化归过程中还体现了整体思想。910.（2005 广东）设函数 在 上满足 ， f(7-x)=f(7+x)，且在闭区间0，7上，只有 f(1)=f(3)=0。（ ）试判断函数 y=f(x)的奇偶性；（ ）试求方程 f(x)=0 在闭区间-2005 ，2005 上的根的个数，并证明你的结论解：由 得 即 由已知易得 ，所以 ，而 ，从而 且 故函数 是非奇非偶函数;
13、(II)由 ,从而知函数 的周期为 当 时， ，由已知 ，又 ，则 当 时，只有 方程 =0 在一个周期内只有两个解而函数 在闭区间 -2005，2005共含有 401 个周期，所以方程 =0 在闭区间-2005，2005共含有 802 个解【探索题】对于 kZ，用 Ik 表示区间(2k-1，2k+1 。已知xIk 时，f(x) (x-2k)2，(1)当 kN*时,求集合 Mka 使方程 f(x)ax 在 Ik 上有两个不相等的实根的 a 的值 (2)并讨论 f(x)的周期性。解： yf(x)图像就是将 yx2(x（-1，1 ）向右平移 2k 个单位所得，其中 kN10设 y1f(x),y2ax，由集合 Mk 可知，若 aM ，则函数y1 f(x)与 y2ax 图像有 两个交点，即当 x2k+1 时，0y210a Mka0a ，kN ，即 Mk(0， 对任意 ，所以 f(x)是 2 为周期的周期函数。思路点拔：化简集合，弄清图像变换规律，数形结合求解；周期性的的讨论注要是看你运用定义的意识和能力文 章来源 课件 5Y k J.Com
