[数学教案]函数教案_1

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1、1函数教案1、函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式: , 。2、若函数 既是奇函数又是偶函数,则 恒等于零, 这样的函数有无数个。3、如果点 是原函数图象上的点,那么点 就是其反函数图象上的点。4、反函数的相关性质:(1)互为反函数的两个函数具有相同的的单调性 ,单调区间不一定相同;(2)定义域上的单调函数必有反函数 ;(函数单调只能作为存在反函数的充分条件)只有从定义域到值域上一一映射所确定的函数才有反函数。J2(存在反函数的充要条件)(3)奇函数的反函数也是奇函数。偶函数不存在反函数 (定义域为单元素集的偶函数除外);(4)周期函数不

2、存在反函数; (5)若 是连续单调递增函数,则” 与 的图象有公共点” “ 的图象与直线 有公共点” “方程 有解”;(6)若 为增函数,则 与 的图象的交点必在直线 上;(7)函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称;(8)函数 与 的图象关于直线 对称。5、两个函数相同, 当且仅当它们的定义域和对应法则分别相同。6、 对 恒成立 或 其中 。 7、二次函数的三种表现形式:(1)一般式 ;(2)顶点式: 其中 为抛物线顶点坐标 ;(3)零点式: 其中 、 为抛物线与 轴两个交点的横坐标。8、不等式中的恒成立问题与不等式的有解问题对比:(1) 在 的定义域上恒成立 ;(2) 在 的定义域上恒成

3、立 ;(3) 在 的定义域上有解 ;(4) 在 的定义域上有解 。某些恒成立问题有时通过分离变量(在等式或不等式中出现两J3个变量,其中一个变量的范围已知, 另一个为所求,这时可通过恒等变形将两个变量分置于等号或不等号两边)将恒成立问题转化为函数在给定区间上的最值问题,从而求解。9、对于函数中的恒成立问题补充两点说明:(1)若 恒成立,则 M 不一定为 的最大值。若 恒成立,则 m 不一定为 的最小值;(2)若 恒成立,则 为的最大值, 若 恒成立,则 为的最小值。10、函数 的最小值为 。11、重要工具函数 的性质:不妨设 (1) 时,函数在区间 上单调递增;(2) 时,函数在区间 上单调递

4、减, 在区间 上单调递增。12、关于函数对称性,奇偶性与周期性的关系:类型之一: 线线型 周期性(1)若函数 在 上的图象关于直线 与 都对称, 则函数 是 上的周期函数, 是它的一个周期。(2)若函数 为偶函数 ,且图象关于直线 对称,则 为周期函数, 是它的一个周期。类型之二: 点线型 周期性(1)若函数 在 上的图象关于点 和直线 都对称, 则函数 是 上的周期函数, 是函数 在 上的一个周期。(2)若函数 为偶函数 ,且图象关于点 成中心对称,则函数 为周期函数, 是它的一个周期。J4(3)若函数 为奇函数 ,且图象关于直线 对称,则 为周期函数, 是它的一个周期。类型之三: 点点型

5、周期性(1)若函数 在 上的图象关于相异两点 、 都对称, 则函数 是 上的周期函数, 是它的一个周期。(2)若函数 为奇函数 ,且图象关于点 成中心对称,则函数 为周期函数, 是它的一个周期。13、由函数方程推导函数周期的常见类型 :(1)若函数 满足 ,则 ,则 是 上的周期函数,且 是它的一个周期。(2)若函数 满足 ,则 是 上的周期函数 ,且 是它的一个周期。(3)若对于任意一个实数 ,都有 ,则 是 上的周期函数,且 是它的一个周期。(4)若对于任意一个实数 ,都有 ,则 是 上的周期函数,且 是它的一个周期。(5)定义在 上的函数 ,若存在非零正实数 ,对于一切 ,都有 ,则 是

6、以 为周期的函数。(6)定义在 上的函数 ,若存在非零正实数 ,对于一切 ,都有 ,则 是以 为周期的函数。(过度关系: )(7)定义在 上的函数 对于 都有 ,则 是以 6 为周期的函数。(过度关系: (8)定义在 上的函数 对于 都有 ,则 是以 6 为周期的函数。J5(过度关系: )(9)若 是函数 的任意一个周期,则 的相反数 也是 的周期; 也是 的周期;若 都是 的周期, 且 ,则 也是 的周期。说明: 对于(1)(5),其代换函数, 有如下特点:原函数与反函数相同, 代换两次能够还原。如: 都是原函数与反函数相同的函数 ,即 。可见本章-24。14、函数图象的自身对称问题:(1)

7、偶函数的图象关于 y 轴对称;(轴对称)(2)奇函数的图象关于原点对称;(中心对称)(3)定义在 上的函数 ,若满足 ,则函数 的图象关于直线 对称;( ,即:”取平均值”,与 m 的值无关)(4)定义在 上的函数 ,若满足 ,则函数 的图象关于点 中心对称;(5)定义在 上的函数 ,若满足 (或 ),则函数 的图象关于点 中心对称。15、两函数图象间的对称问题:(1)定义在 上的函数 与函数 的图象关于直线 对称;(其对称轴方程 由 解得,与 m 的值有关)(2)定义在 上的函数 与函数 的图象关于点 中心对称;(3)定义在 上的函数 与函数 的图象关于点 中心对称;(4)特别地:函数 关于

8、 x 轴对称的函数为: 函数 关于 y 轴对称的函数为: J6函数 关于原点对称的函数为: 函数 关于 对称的函数为: 函数 关于 对称的函数为: 函数 关于直线 轴对称的函数为: ;函数 关于直线 轴对称的函数为: ;函数 关于点 中心对称的函数为: 。16、若函数 为奇函数,且定义域为 ,则必有 。若函数 是偶函数,那么 。17、基本的函数图象变换:(1)要作 的图象,只须将 的图象向上 ( 时)或向下( 时)平移 个单位;(2)要作 的图象 ,只须将 的图象向右( 时)或向左( 时)平移 个单位; (3)要作 的图象,可先作函数 的图象 ,然后将 轴上方部分保持不变, 轴下方部分沿 轴对

9、称上翻即可; (4)要作 的图象, 只需保留 在 轴右边的图象(擦去 轴左边的图解), 然后将 轴右边部分对称地翻折到左侧即可。(注意 是偶函数) 。(5)要作 的图象,只须将 的图象作关于直线 对称, 也可以将 的图象先作关于 y 轴对称,再向右( 时) 或向左 ( 时)平移 个单位;18、对称轴的斜率为 时的对称变换 :(1)曲线 关于直线 的对称曲线为 ;J7(2)曲线 关于直线 的对称曲线为 ;(3)点 关于直线 的对称点为 ;(4)点 关于直线 的对称点为 。19、函数 按向量 平移后的函数表达式为 : ;20、判断 符号可以 1 为分界点, 当 在 1 的同侧( 或 )时, ;当

10、在 1 的两侧时, 。可以概括为:”同向为正,异向为负”21、关于函数 的定义域为 或值域为 的问题:(1)若其定义域为 ,则须 在 上恒成立 ,问题等价为:或 其中 ;&nbs或 其中 。22、当且仅当 时,函数 与函数 的图象相切于直线 上的点 。23、一次分式函数 的相关性质:(1)定义域: ;(2)值域: ;(3)图像:双曲线线 ;(4)渐近线: ;(5)对称中心: ;(6)单调性:当 , 单调递减, 单调递减;J8当 , 单调递增, 单调递增;特别地: 当 ,即 时,函数 和其反函数 为同一函数。也即函数 的图像关于直线 对称。24、用函数方程法求函数解析式应注意的问题一般地, 形如

11、: ,其中 已知,要求 的解析式 ,通常的做法为:用 去替代原式中所有的 ,得到 ,若此式中的 ,则可以得到: ,再将此式与原式联立,消掉 ,就可以求出 ,故能用此法求解的关键在于 : ,此式说明 必满足,原函数与反函数为同一函数。例如: , , 等。25、抽象函数中的相关问题(1)奇偶性的判断若 ( ),则 为奇函数;若 ( ),则 为奇函数;若 ( ),则 为偶函数;若 ( ),则 为奇函数;若 ,则 为偶函数。(2)单调性的判断 ;(作差比较函数值) 。( 作差比较函数值)26、求函数值域的类型与方法归类(1)直接法,直接观察 ,根据式子的结构特征得出值域。(2)配方法,适用于二次型函数 : 。(3)反函数法,分离 x 或关于 x 的表达式,求 y 的范围,形如: 等J9形式。(4)判别式法,适用于二次分式函数 : 。(5)均值不等式法,适用于: ,注意一正二定三相等。(6)换元法,适用于 : ,可令 则 ,转化为二次型。三角换元法, 含 结构的函数中可 。(7)单调法,利用导数求得函数的单调区间和极值,得到值域。(8)数形结合法,转化成相应的几何意义 ,如:距离,斜率,角度等。27、 , , , 。28、 , , J