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1、龙山中学 2014-2015 学年高一上学期第二次段考数学试题（考试时间 120 分钟，满分 150 分）参考公式：1.台体的体积公式 ，其中 、 是上、下底面积，h 是高；hSSV)(312112S2.圆台的侧面积公式 ，其中 、 是上、下底面圆的半径，l 是母线；2rl1r3.圆锥的表面积为 ，其中 r 为底面圆的半径， 为母线。)( l一、选择题（每小题 5 分，共 50 分）1. 设函数 ln(1)yx的定义域为 A，函数 2xy的值域为 B，则 AA 0, B 0,1) C (0,1 D (0,1) 2. 下列函数中，是奇函数，又在区间 上是增函数的是 ,（A） （B） （C） （D
2、） 2xyyx3yxlg2xy3. 棱长为 2 的正方体的外接球的表面积为A B C D4124484. 已知 ()xfa， ()log(01)ax且 ，若 (3)0fg，那么 ()fx与 g在同一坐标系内的图像可能是5. 如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为 045，腰和上底均为 1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是网A 2 B 21 C 2 D 26. 设 l， m是两条不同的直线， 是一个平面，则下列命题正确的是A若 ， ，则 l B若 l， lm/，则 C若 l/， ，则 m/ D若 /， ，则 l/7.正四棱锥的侧棱长与底面边长都是 1，则侧棱与底面所成的角为 A75 B
3、 60 C45 D308. 在某物理实验中，测得变量 和变量 之间的几组对应数据，如下表xyx50.9. 0.298.3y 1 012则对 、 最合适的拟合函数是 xyA B C Dx212xy2xyxy2log9. 设函数 若 ,则方程 的解的0(),bcf(4)0,()ff ()f个数是 A.1 B.2 C.3 D.410. 奇函数 )(xf在区间 ab,上单调递减，且 )0()baxf，那么 )(xf在区间ba,上 A单调递减 B单调递增 C先增后减 D先减后增二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）11.已知 01a且 ，函数 2)1(logxya的图象恒过定点 P， 若 在幂函数f
4、x的图象上，则 8f_12. 若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如右图所示,则其侧面积等于_.13. 某工厂 12 年来某产品总产量 S 与时间 t(年)的函数关系如图所示，下列四种说法：(1) 前三年总产量增长的速度越来越快；(2) 前三年总产量增长的速度越来越慢；(3) 第 3 年后至第 8 年这种产品停止生产了；(4) 第 8 年后至第 12 年间总产量匀速增加。其中正确的说法是 。 14. 已知平面 和直线 ，给出条件：,m ； ； ； ； .(i) 当满足条件 时，有 ；(ii) 当满足条件 时，有 . (填所选条件的序号)m15. （本题满分 12 分）如图，在四边形 ABCD中
5、， 90,135,2,ADCBDA ，求四边形 绕 旋转一周所成几何体的表面积及体积。16. （本题满分 12 分）已知 R, 函数a1,0,.xfxa(1) 求 的值；1f(2) 证明: 函数 在 上单调递增；fx0,(3) 求函数 的零点.17. （本题满分 14 分）如图，四棱锥 P ABCD 的底面是矩形，侧面 PAD 是正三角形，且CD面 PAD，E 为侧棱 PD 的中点.（1）求证：PB/平面 EAC；（2）求证：AE平面 PCD；(3)若直线 AC 与平面 PCD 所成的角为 45 ，求 . ADCZ。xx。18. （本题满分 14 分）已知 是定义域为 的奇函数， 。)ln()
6、aexfxR)(xfg求实数 的值；a若 在 上恒成立，求 的取值范围。xg2lo)(3,19. （本题满分 14 分）某地发生某种自然灾害，使当地的自来水受到了污染某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质. 已知每投放质量为 个单位的药剂后，经m过 天该药剂在水中释放的浓度 （毫克/升）满足 ，其中xyyfx，当药剂在水中释放的浓度不低于 6（毫克/升）时称为有效净化；2log(4),06xfx当药剂在水中释放的浓度不低于 6（毫克/升）且不高于 18（毫克/ 升）时称为最佳净化.（1）如果投放的药剂质量为 ，试问自来水达到有效净化一共可持续几天?4m（2）如果投放的药剂质量为
7、，为了使在 7 天（从投放药剂算起包括第 7 天）之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量 的取值范围.m20. （本题满分 14 分）一个三棱柱的三视图及直观图如图所示， 分别是GFE,的中点， 底面 11,ACB1ABC（1）求证： 平面 ；CB11A（2）求证： 平面 ；/EF（3）在 上是否存在一点 ，使得 的长最短若存在，求出这个最短值，MCG并指出点 的位置；若不存在，请说明理由主视图 侧视图俯视图（等腰直角三角形）aaFEGCABC1A1B1一、选择题BDBCA BCDCB二、填空题11. 12.6213.（2） （3） （4） 14. （两空全对 5 分，对一空 2
8、分）15.（12 分）解：(1)S 表面 S 下底面S 台侧面S 锥侧面 52 (25)52(60 4)6 分(2)VV 台V 锥= 22211()33rhr 812 分16.(1)解: 当 时, , .2 分0xfx01f(2)证明:在 上任取两个实数 ,且 ,3 分12x2则 . 5 分1212ff1x2 , .0x10,x , 即 . .1212ff12ff函数 在 上单调递增. 7 分f0(3) ()当 时, 令 , 即 , 解得 .xfx0x0x 是函数 的一个零点 . 8 分1（）当 时, 令 , 即 .()0f1a 当 时, 由()得 ,a0x 是函数 的一个零点 ; 1xf 当
9、 时, 方程()无解; 当 时, 由()得 ,(不合题意,舍去). 11 分a10xa综上, 当 时, 函数 的零点是 和 ; 1f当 时, 函数 的零点是 . -12 分17.解：（1）连结 BD 交 AC 于 O，连结 EO,因为 O、E 分别为 BD、PD 的中点, 所以 EO/PB 2 分,所以 PB/平面 EAC.4 分,ACPBEA平 面 平 面（2）正三角形 PAD 中，E 为 PD 的中点，所以， ，8 分AEPDCD面 PAD， AEPD面 CAE又 ，PDC, 面 面所以，AE平面 PCD.10 分（3）由（2）AE平面 PCD，直线 AC 与平面 PCD 所成的角为ACE
10、11 分，又 ，45,2RtAEAE中 ， 32PADEA正 中 ，又矩形 ，62CD26BCC中 ，解得 14 分2，18. 解：（）函数 是定义域为 R 的奇函数，)ln()aexfx令 ，即 ，得 ， 4 分0)(f 01l对于函数 ，显然有 ，函数 是奇函数)(xffxf)(所求实数 a 的值为 0 7 分（） ， ，则 在 ， 上恒成立，即xf)(xg)(2log3在 ， 上恒成立， 10 分2lo3函数 在 ， 上的最小值为 ， 12 分y21l 14 分119.解：（1）由题设：投放的药剂质量为 ，4m自来水达到有效净化 2 分()6fx32或 4 分204log()x4632x
11、或 ，即： ，06亦即：如果投放的药剂质量为 ，m自来水达到有效净化一共可持续 6 天； 7 分（2）由题设： ， ， 8 分(0,76()18xfx，2log4),f，且 ，10 分2(0,6l()18xmx6(4,7182mxx且 ， 12 分23185， ，6m6亦即：投放的药剂质量 的取值范围为 . 14 分5,620.（1） 平面 ， /1ABC1A平面 ，C1, 平面 2 分, 平面1/AC11BC3 分B, ,11ABC面面 5 分11（2）连接 、 交于点 O，连接 OE6 分由题意可得，O 为 中点CE 为 中点，1AB/2EBF 为 中点， 1F 1/四边形 OEFG 为平行四边形8 分FE/ 9 分OCFE 平面 , 平面1A1ACFE/平面 10 分(3) 在 上存在一点 ，1BM使得 的长最短G最短值为GC= 21382()(aaBM= 14 分1FEGCABC1A1B1OFEGCABC1A1B1GM
