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1、中山市高二级 20132014 学年度第一学期期末统一考试数学试卷（文科）本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分共 150 分考试用时 120分钟注意事项：1、答第 I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。3、不可以使用计算器。4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。第卷（选择题共 50 分）一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.）1 “ 且 ”
2、是“ ”的（ ）.a2b3abA充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件2焦点在 x 轴上的双曲线，实轴长 6，焦距长 10，则双曲线的标准方程是（ ）.A B 21643y2134xyC D 92963曲线 在点 处的切线倾斜角为（ ）.3yx(1,3)A B C D42464如果函数 y=ax2+bx+a 的图像与 x 轴有两个交点，则点（ a,b）在 aOb 平面上的区域为（注：下列各选项的区域均不含边界，也不含 y 轴） （ ）.A B C D5海上有 两个小岛相距 km，从 岛望 岛和 岛所成的视角为 ，从 岛,102AB60B望 岛和 岛所成的视角为 ，
3、则 岛和 岛之间的距离 =（ ）km C75 CA10 B C20 D3 126已知 且 成等比数列，则 有（ ）.1,xy1ln,l4xyxyA最大值 B最大值 C最小值 D最小值eeee7某公司租地建仓库，每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费 y2 与到车站的距离成正比，如果在距离车站 10 km 处建仓库，这两项费用 y1 和y2 分别为 2 万元和 8 万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在距离车站（）.A4 km B5 km C6 km D7 km8方程 与 在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）.20mxny21(0)xnymA B C D9椭圆
4、 的两个焦点为 F1、F 2，过 F1 作垂直于 x 轴的直线与椭圆相交，一个交点214xy为 P，则 到 F2 的距离为（ ）.A B C D4337210某同学对教材选修 1-1上所研究函数的性质进行变式研究，并结合31()4fxxTI-Nspire 图形计算器作 图 进 行 直 观 验 证 （ 如 右 图所 示 ） ， 根 据 你 所 学 的 知 识 ， 指 出 下 列 错 误 的 结 论是 （ ） .A 的极大值为()fx28()3fB 的极小值为f 4fC. 的单调递减区间为()x(2,)D. 在区间 上的最大值为f3,(3)7f第卷（非选择题共 100 分）二、填空题（本大题共 4
5、 小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在答题卡相应横线上）11在等差数列 中，若 ，则数列 的前 9 项的和为 . na346790aana12. 若命题“ ， ”是真命题，则实数 a 的取值范围为 . xR210x13过抛物线 y24x 的焦点作直线交抛物线于 A(x1，y 1)，B(x 2，y 2)两点，若 x1x 26，那么|AB|等于 14在 ABC 中，有等式： asinA=bsinB； bsinC=csinB； acosB=bcosA； . 其中恒成立的等式序号为_. sinisnabcABC三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步
6、骤.）15 （ 13 分）已知函数 y=x3 3x2.（1 ）求函数的极小值；（2 ）求函数的递增区间. 16 （ 13 分） 如图，在树丛中为了测量河对岸 A、B 两点之间的距离，观察者找到一个点C，从 C 点可以观察到点 A，B；找到一个点 D，从 D 点可以观察到点 A，C ；找到一个点 E，从 E 点可以观察到点 B，C . 并测量得到图中的一些数据，此外，.60DA（1 ）求 的面积；B（2 ）求 A、B 两点之间的距离.17 （ 13 分）已知等差数列 的公差 ，前 项和为 .na1dnnS（1 ）若 成等比数列，求 ；13,a（2 ）若 ，求 的取值范围 .59S118 （ 13
7、 分）人们生活水平的提高，越来越注重科学饮食. 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供 0.075 kg 的碳水化合物，0.06 kg 的蛋白质，0.06 kg 的脂肪. 1 kg 食物 A 含有 0.105 kg 碳水化合物，0.07 kg 蛋白质，0.14 kg 脂肪，花费 28 元；而 1 kg 食物 B 含有 0.105 kg 碳水化合物，0.14 kg 蛋白质，0.07 kg 脂肪，花费 21 元. 为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，每天需要同时食用食物 A 和食物 B多少 kg？19 （ 14 分）已知函数 .2()sincofxx（1 ）求 的最小值；()
8、fx（2 ）若曲线 在点 )处与直线 相切，求 与 的值.()yf(,afybab20 （ 14 分）已知直线 与抛物线 交于:2lyx21:4Cyx、 两点，过点 O 与直线 l 垂直的直线交(,)Axy(0,)O抛物线 C 于点 .如右图所示.B（1 ）求抛物线 C 的焦点坐标；（2 ）求经过 A、B 两点的直线与 y 轴交点 M 的坐标；（3 ）过抛物线 的顶点任意作两条互相垂直的直214yx线，过这两条直线与抛物线的交点 A、B 的直线 AB 是否恒过定点，如果是，指出此定点，并证明你的结论；如果不是，请说明理由. 中山市高二级 20132014 学年度第一学期期末统一考试高二数学试卷
9、（文科）答案一、选择题：ADACB CBACD二、填空题：11. 162； 12. ； 13. 8； 14. .2,三、解答题： 15. 解：（1 ） y=x33x 2， =3x26 x ，（3 分）y3(2)当 时， ；当 时， . （6 分）00y0 当 x=2 时，函数有极小值-4. （8 分）（2 ）由 =3x2-6x 0，解得 x2， （11 分）y 递增区间是 ， . （13 分）(,)(2,)16. 解：（1 ） 中， . （2 分）RtACD16tan03A中， . （4 分）tBE16tan03 的面积为 . （6 分）si1922ABS()m（2 ） 中，（9 分）2(16
10、3)()163cos30A= = （11 分）1632= 4= . （13 分）28617. 解：（1 ）因为数列 的公差 ，且 成等比数列，na1d13,a所以 ， （3 分）1(2)a即 ，解得 或 . （6 分）210112（2 ）因为数列 的公差 ，且 , nd59Sa所以 ， （9 分）21158aa即 ，解得 . （13 分）21301218. 解：设每天食用 kg 食物 A， kg 食物 B，总花费为 元，则目标函数为 ，xyz281zxy且 满足约束条件,xy， （3 分）0.15.0.75746.,xy整理为 ， （5 分）71460,xy作出约束条件所表示的可行域，如右图所
11、示. （ 7 分）将目标函数 变形为281zxy. 如图，作直线 ，当直线 平移经过可行域，在过点 M43y0:2810lxy0l处时， 轴上截距 最小，即此时 有最小值. （9 分）21zz解方程组 ，得点 M 的坐标为 . （12 分）7546xy14,7xy 每天需要同时食用食物 A 约 kg，食物 B 约 kg. （13 分）1719. 解：（1 ）由 ，得 . （2 分）2()sincofxx()2cos)fxx令 ，得 . （4 分）()0fx与 随 x 的变化情况如下: ()f（6 分）,(0,)()1fxA所以函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增， 是 的最()f(,)
12、(0,)(0)1f()fx小值. （7 分）（2 ）因为曲线 在点 处与直线 相切，yfx,()afyb所以 ， ， （10 分）()2cos)0fab解得 ， . （14 分）01b20. 解：（1 ）抛物线 的方程化为 ，所以 ， . （2 分）2:4Cyx24xy24p 抛物线 C 的焦点坐标为 . （4 分）(0,1)（2 ）联立方程组 ，解得点 A 坐标为 . （6 分）24yx(8,16)联立方程组 ，解得点 B 坐标为 . （7 分）21yx(2,1)M(17,47)6757473727171675747372717所以直线 AB 的方程为 ， （8 分）16(2)8)yx令 ，解得 . 点 M 的坐标为 . （9 分）0x40,4（3 ）结论：过抛物线 的顶点任意作两条互相垂直的直线，过这两条直线与抛物线21yx的交点的直线 AB 恒过定点 . （10 分）(0,)证明如下：设过抛物线 的顶点的一条直线为 （ ） ，则另一条为214yxykx01yxk联立方程组 ，解得点 A 坐标为 . （11 分）2ykx2(4,)联立方程组 ，解得点 B 坐标为 . （12 分）214yxk2(,)k所以直线 AB 的方程为 ， （13 分）24()kx令 ，解得 . 直线 AB 恒过定点 . （14 分）0x4y(0,4)高考资源
