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1、中山市高二级 20122013 学年度第一学期期末统一考试数学试卷(理科)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分,共 150 分考试用时 120分钟 注意事项:1、答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2、每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试题上.3、不可以使用计算器.4、考试结束,将答题卡交回,试卷不用上交.第卷(选择题共 40 分)一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个备选项中,只有一项是符合题目要求的.)1在ABC
2、中, , ,c=20,则边 a 的长为60A7BA B C D022032062不等式 的解集是(5)xxA B C D,(,)(5,6)(,5)(,)3十三世纪初,意大利数学家斐波那契(Fibonacci ,11701250)从兔子繁殖的问题,提出了世界著名数学问题“斐波那契数列”,该数列可用递推公式 由12,;,3.nnF此可计算出 8FA8 B13 C21 D344函数 的单调递减区间是()lnfxA B C D0,e(,)e1(0,)e1(,)e5等差数列 的前 n 项和 ,若 , ,则 =na12.nnSa103S2030SA153 B182 C242 D2736关于双曲线 ,下列说
3、法错误的是29164yxA实轴长为 8,虚轴长为 6 B离心率为 54C渐近线方程为 D焦点坐标为3yx(,0)7下列命题为真命题的是A N, x32B R, 000xC “ ”是“ ”的必要条件3x29D函数 为偶函数的充要条件是()faxbc0b8已知函数 , -2,2表示的曲线过原点,且在 x1 处的切线32x斜率均为-1 ,有以下命题: f(x)的解析式为: , -2,2 ;3()4f f(x)的极值点有且仅有一个; f(x)的最大值与最小值之和等于零.则下列选项正确的是( ).A B C D第卷(非选择题共 110 分)二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把
4、答案填在答题卡相应横线上)9一个等比数列的第 3 项和第 4 项分别是 12 和 18,则它的第 2 项为 . 10与椭圆 焦点相同的等轴双曲线的标准方程为 . 2159xy11小明用 TI-Nspire CAS 中文图形计算器作出函数 的图像如右()2)(3,4,8fxx图所示,那么不等式 的解集是 0f.(用区间表示)12 已知 , ,且 ,则(2,13)a(4,2)bxab. |b13在周长为定值 P 的扇形中,当半径为 时,扇形的面积最大,最大面积为 . 14已知抛物线 上一点 及附近一点 ,则割线2()fx(3,)Pf(3,()Pxf的斜率为 ,当 趋近于 0 时,割线趋近于点(3)
5、PfxkP 处的切线,由此可得到点 P 处切线的一般方程为 . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.)15 ( 13 分)已知函数 .()2)(3fxx(1 )求导数 ; ( 2)求 的单调区间. f16 ( 13 分)设数列 的前 n 项和为 ,点 均在直线 上. nanS(,)nN12yx(1 )求数列 的通项公式;( 2)设 , 是数列 的前 n 项和,试求 .n123nabTnbnT17 (13 分)在ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c. (1)若边 BC 上的中线 AD 记为 ,试用余弦定理证明: .am221()
6、ambca(2)若三角形的面积 S= ,求C 的度数.221()4bc18 ( 13 分)某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如下表所示.但国家每天分配给该厂的煤、电有限, 每天供煤至多 56 吨,供电至多 450 千瓦,问该厂如何安排生产,使得该厂日产值大?最大日产值为多少?19 ( 14 分)如图,在长方体 中, ,点 E、 F 分别是面 、面1AC12,BA1AC的中心以 D 为坐标原点, DA、DC、DD 1 所为直线为 x,y,z 轴建立空间直角坐标系,1BC试用向量方法解决下列问题:(1 )求异面直线 和 所成的角;FE(2 )求直线 和平面 所成角的正弦值AB用煤(吨)
7、用电(千瓦) 产值(万元)甲产品 7 20 8乙产品 3 50 12AA1BCDB1C1D1 EF20. (14 分)已知椭圆的一个顶点为 ,焦点在 轴上, 右焦点到直线(0,1)Ax的距离为 320xy(1 )求椭圆的标准方程;(2 )设椭圆与直线 相交于不同的两点 、 ,当 时,求()ykxmMNA实数 的取值范围.m中山市高二级 20122013 学年度第一学期期末统一考试高二数学试卷(理科)答案一、选择题:ACCCD DDB二、填空题:9. 8; 10. ; 11. ; 12. ;218xy2,03,43813. , ; 14. , . (前空 3 分,后空 2 分)4P2168xy三
8、、解答题: 15 解:( 1)由原式得 , (3 分)32()6fx . (6 分)2()3fx(2 )令 ,解得 , (9 分)()0fx191933x令 ,解得 或 , (11 分)f所以 的单调递减区间为 , (12 分)()fx191(,)3单调递增区间为 , . (13 分)(,)(,)16. 解:(1 )依题意得, 即 . (2 分)1,2nS21nS当 n2 时, ; (5 分)21 1()()()2nna n当 n=1 时, . (6 分)2131S所以 . (7 分)*()naN(2 )由(1 )得 , (8 分)123nab由 ,可知 为等比数列. (10 分)2(1)29
9、nnnb由 , (11 分)213b故 . (13 分)19()98nnT17解:(1)在 中, ; (2 分)ABD22()cosamcA在 中, . (4 分)C22cosabc , (5 分)222()amcAA化简为: ,22222 ()44acbca . (7 分)221()ambca(2 )由 S= ,得 absinC= . (10 分)412cos4abA tanC=1,得 C= . (13 分)518. 解:设该厂每天安排生产甲产品 x 吨,乙产品 y 吨,则日产值 ,(1 分)82zxy线性约束条件为 . (3 分)73620540,xy作出可行域. (6 分)把 变形为一组
10、平行直线系 ,由图812zxy8:12zlyx可知,当直线 经过可行域上的点 M 时,截距 最大,即 z 取最大l z值.解方程组 ,得交点 , (10 分)73562040xy(5,7). (12 分)max81z所以,该厂每天安排生产甲产品 5 吨,乙产品 7 吨,则该厂日产值最大,最大日产值为 124 万元. (13 分)19. 解:(1 )A (2,0,0) ,F(1 ,2, ) ,B(2,2,0) ,E(1,1, ) ,C (0 ,2,0 ). , (4 分)(,),(,1)FB . (6 分)120A所以 AF 和 BE 所成的角为 . (7 分)9(2 )设平面 BEC 的一个法
11、向量为 (,)nxyz又 (,0)BC(1,2BE则: , .2nx 0z , 令 ,则: , . (10 分)xzy(,21)nAA1 B CD B1 C1D1 E F . (12 分)523,AFnCOS设直线 和平面 所成角为 ,则: .BE53Sin即 直线 和平面 所成角的正弦值为 . (14 分)AFC20. 解:(1 )依题意可设椭圆方程为 , (1 分)21()xya则右焦点 . (2 分)2(1,0)Fa由题设条件: , 解得: . (4 分)323a故 所求椭圆的标准方程为: . (5 分)21xy(2 )设 P 为弦 MN 的中点,联立 , (6 分)23kmxy消 y 得: . (7 分)22(31)6(1)0kxk由于直线与椭圆有两个交点, 即 (8 分),231k, 从而 ,231MNpmxk2pmyx.Apyk又 ,,AP则: ,即: , (12 分)231mk231mk把代入得: ,解得: ;20由得: ,解得: . 2103k2所以, . (14 分)1m