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1、2015年高考模拟试卷(2)南通市数学学科基地命题 第卷（必做题，共160分）第4题图 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 1已知集合，且，则实数的值为 2设，其中是虚数单位，则 3已知函数是奇函数，当时，且，则 4右图是某算法流程图，则程序运行后输出的结果是 5设点，是球表面上的四个点，两两互相垂直，且，则球的表面积为 6已知，若向区域上随机投掷一点，则点落入区域的概率为 7将参加夏令营的名学生编号为：，采用系统抽样的方法抽取一个容量为的样本，且随机抽得的号码为，这名学生分住在三个营区，从到在第一营区，从到在第二营区，从到在第三营区，则第三个营区被抽中的人数为 8中，“角成等
2、差数列”是“”成立的的 条件 (填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”之一)9已知双曲线，以右顶点为圆心，实半轴长为半径的圆被双曲线的一条渐近线分为弧长为的两部分，则双曲线的离心率为 10已知，则 11已知正数依次成等比数列，且公比将此数列删去一个数后得到的数列(按原来的顺序)是等差数列，则公比的取值集合是 DABC第12题图12 如图，梯形中，若，则 13设的内角所对的边成等比数列，则的取值范围是 14设函数满足，且当时，若在区间内，存在个不同的实数，使得，则实数的取值范围为 二、解答题：本大题共6小题，共计90分请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明
3、过程或演算步骤.15（本小题满分14分）在中， （1）求的值；（2）若，求的面积16（本小题满分14分）如图，在斜三棱柱中，侧面是边长为的菱形，在面中，为的中点，过三点的平面交于点 （1）求证：为中点；BCA1B1C1MNA第16题图 （2）求证：平面平面17（本小题满分14分）某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为的圆形包装纸包装要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示设正三棱锥的底面边长为，体积为（1）求关于的函数关系式；（2）在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，的最大值是多少？并求此时的值(
4、第17题图)图18（本小题满分16分）已知椭圆的离心率为，并且椭圆经过点，过原点的直线与椭圆交于两点，椭圆上一点满足（1）求椭圆的方程；（2）证明： 为定值；第18题图（3）是否存在定圆，使得直线绕原点转动时，恒与该定圆相切，若存在，求出该定圆的方程，若不存在，说明理由19（本小题满分16分）已知数列是等差数列，是等比数列，且满足， （1）若， 当时，求数列和的通项公式； 若数列是唯一的，求的值； （2）若，均为正整数，且成等比数列，求数列的公差的最大值20（本小题满分16分）设函数有且仅有两个极值点（1）求实数的取值范围；（2）是否存在实数满足？如存在，求的极大值；如不存在，请说明理由第卷（
5、附加题，共40分）21选做题本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答 A（选修：几何证明选讲）ABDCEFO如图，AD是BAC的平分线，圆O过点A且与边BC相切于点D，与边AB、AC分别交于点E、F，求证：EFBCB（选修：矩阵与变换） 已知，求矩阵C（选修：坐标系与参数方程）在极坐标系中，圆是以点为圆心，为半径的圆（1）求圆的极坐标方程；（2）求圆被直线所截得的弦长D（选修：不等式选讲） 设正数满足，求的最小值【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22（本小题满分10分）直三棱柱中，已知，. 是的中点. （1）求直线与平面所成角的正
6、弦值；（2）求二面角的大小的余弦值.23.（本小题满分10分）设且，集合的所有个元素的子集记为（1）求集合中所有元素之和；（2）记为中最小元素与最大元素之和，求的值2015年高考模拟试卷(2) 参考答案南通市数学学科基地命题 第卷（必做题，共160分）一、填空题1； 2； 3； 4； 5； 6； 7； 8充分不必要；【解析】条件“角成等差数列”；结论 “” 或或所以条件是结论的充分不必要条件9； 10； 11；【解析】若删去，则成等差数列，即，（舍去）或或（舍去）；若删去，则成等差数列，即，（舍去）或或（舍去）或12；【解析】，13；【解析】由条件得，不妨设，则，即；同理得当时，而，的取值范围
7、是14【解析】，当时，在直角坐标系内作出函数的图象，而表示的是该图象上的点与原点的连线的斜率图象上的点与与原点的连线的斜率为；当过原点的直线与曲线相切时，斜率为（利用导数解决）由图可知，满足题意得实数的取值范围为二、解答题15（1）因为在中，所以为锐角，且 所以； （2）由正弦定理得，所以 因为在中，所以为钝角，且 因为在中，所以 所以的面积为 16 (1)由题意，平面平面，平面与平面交于直线，与平面交于直线，所以 因为，所以，所以 因为为的中点，所以，所以为中点 (2)因为四边形是边长为的菱形， 在三角形中，由余弦定理得， 故，从而可得，即 在三角形中，则，从而可得，即 又，则因为，面，面，
8、所以平面 又平面，所以平面平面 17正三棱锥展开如图所示当按照底边包装时体积最大 设正三棱锥侧面的高为，高为 由题意得，解得则， 所以，正三棱锥体积 设， 求导得，令，得， 当时，函数在上单调递增， 当时，函数在上单调递减， 所以，当时，取得极大值也是最大值 此时，所以 答：当底面边长为时，正三棱锥的最大体积为 18（1）由题设：解得，椭圆的方程为 （2）直线的斜率不存在或为0时，； 直线的斜率存在且不为0时，设直线的方程为，则，直线的方程为， 由得， 同理， ，为定值； （3）由（2）得： 直线的斜率不存在或为0时，；直线的斜率存在且不为0时， 原点到直线的距离， 直线与圆相切，即存在定圆，
9、使得直线绕原点转动时，恒与该定圆相切 19（1）由数列是等差数列及，得， 由数列是等比数列及，得 设数列的公差为，数列的公比为，若，则有，解得 或 所以，和的通项公式为或 由题设，得，即（*）因为数列是唯一的，所以若，则，检验知，当时，或（舍去），满足题意；若，则，解得，代入（*）式，解得，又，所以是唯一的等比数列，符合题意 所以，或 （2）依题意， 设公比为，则有， （*） 记，则将（*）中的消去，整理得， 的大根为 而，所以 的可能取值为： 所以，当时，的最大值为 20(1)显然，是直线与曲线两交点的横坐标 由，得列表： 此外注意到：当时，；当及时，的取值范围分别为和于是题设等价于，故实数
10、的取值范围为 (2)存在实数满足题设证明如下：由(1)知，故，故 记，则，于是，在上单调递减又，故有唯一的零点从而，满足的所以， 此时，又，而，故当时,.第卷（附加题，共40分）ABDCEFO21.A. 如图，连结因为与圆相切，所以 因为与为弧所对的圆周角，所以又因为是的平分线，所以 从而于是 B设 则， 故C（1）圆是将圆绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆，所以圆的极坐标方程是 （2）将代入圆的极坐标方程，得， 所以，圆被直线所截得的弦长为 D. 因为均为正数，且，所以 于是由均值不等式可知 ，当且仅当时，上式等号成立 从而故的最小值为此时 22在直三棱柱中，分别以、所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则,是的中点， （1）， 设平面的法向量，则，即，取，平面的法向量， 而，直线与平面所成角的正弦值为； （2）
