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1、高中函数值域的12种求法一、观察法通过对函数定义域、性质的观察，结合函数的解析式，求得函数的值域。例1求函数y3(23x) 的值域。点拨：根据算术平方根的性质，先求出(23x) 的值域。解：由算术平方根的性质，知(23x)0，故3(23x)3。函数的知域为3，。点评：算术平方根具有双重非负性，即：（1）被开方数的非负性，（2）值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解，这种方法对于一类函数的值域的求法，简捷明了，不失为一种巧法。练习：求函数yx(0x5)的值域。（答案：值域为：0，1，2，3，4，5）二、反函数法当函数的反函数存在时，则其反函数的定义域就是原函数的值域。例2求函数y(x
2、1)/(x2)的值域。点拨：先求出原函数的反函数，再求出其定义域。解：显然函数y(x1)/(x2)的反函数为:x(12y)/（y1）,其定义域为y1的实数,故函数y的值域为yy1,yR。点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想，是数学解题的重要方法之一。练习：求函数y(10x10-x)/(10x10-x)的值域。（答案：函数的值域为yy1或y1）三、配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域。例3：求函数y(x2x2)的值域。点拨：将被开方数配方成完全平方数，利用二次函数的最值求。解：由x2x20,可知函数
3、的定义域为x1，2。此时x2x2(x1/2)29/40，9/4，0(x2x2)3/2,函数的值域是0，3/2。点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。练习：求函数y2x5(154x)的值域。（答案:值域为yy3）四、判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。例4求函数y(2x22x3)/(x2x1)的值域。点拨：将原函数转化为自变量的二次方程，应用二次方程根的判别式，从而确定出原函数的值域。解：将上式化为（y2）x2(y2)x(y3)0（）当y2时,由(y2)24（y2）(y3
4、)0，解得：2x10/3当y2时,方程()无解。函数的值域为2y10/3。点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)0，由于方程有实数解，故其判别式为非负数，可求得函数的值域。常适应于形如y(ax2bxc)/(dx2exf)及yaxb(cx2dxe)的函数。练习：求函数y1/(2x23x1)的值域。（答案：值域为y8或y0）五、最值法对于闭区间a，b上的连续函数yf(x),可求出yf(x)在区间a，b内的极值,并与边界值f(a)，f(b)作比较，求出函数的最值，可得到函数y的值域。例5已知(2x2x3)/(3x2x1)0,且满足xy1,求函数zxy3x的值域。点拨：根据已知条件求出自变量x的取值
5、范围，将目标函数消元、配方，可求出函数的值域。解：3x2x10，上述分式不等式与不等式2x2x30同解，解之得1x3/2，又xy1，将y1x代入zxy3x中，得zx24x(1x3/2)，z(x2)24且x1，3/2,函数z在区间1，3/2上连续，故只需比较边界的大小。当x1时，z5；当x3/2时，z15/4。函数z的值域为z5z15/4。点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间，若存在最值，也可通过求出最值而获得函数的值域。练习：若x为实数，则函数yx23x5的值域为（ ）（答案：D）。A（，） B7， C0，） D5，）六、图象法通过观察函数的图象，运用数形结合的方法得到函数的
6、值域。例6求函数yx1(x2)2 的值域。点拨：根据绝对值的意义，去掉符号后转化为分段函数，作出其图象。 2x1 (x1)解：原函数化为y 3 (1x2) 2x1 (x2)它的图象如图所示。 y321-1O x显然函数值y3，所以，函数值域3，。点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象求函数的值域，体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。求函数值域的方法较多，还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。七、单调法利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。例1求函数y4x(13x)，(x/3)的值域。点拨：由已知的函数是复合函数，即g(x)(13x)，yf(x)g
7、(x)，其定义域为x1/3，在此区间内分别讨论函数的增减性，从而确定函数的值域。解：设f(x)4x，g(x)(13x )，(x1/3)，易知它们在定义域内为增函数，从而yf(x)g(x)4x(13x) 在定义域为x1/3上也为增函数，而且yf(1/3)g(1/3)4/3，因此，所求的函数值域为y|y4/3。点评：利用单调性求函数的值域，是在函数给定的区间上，或求出函数隐含的区间，结合函数的增减性，求出其函数在区间端点的函数值，进而可确定函数的值域。练习：求函数y3(4x) 的值域。（答案：y|y3）八、换元法以新变量代替函数式中的某些量，使函数转化为以新变量为自变量的函数形式，进而求出值域。例
8、2求函数yx3(2x1) 的值域。点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数，利用二次函数的最值，确定原函数的值域。解：设t(2x1)， (t0) 则x1/2(t21)。于是y1/2(t21)3t1/2(t1)241/247/2.所以，原函数的值域为y|y7/2。点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数，通过求出二次函数的最值，从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。练习：求函数y(x1)x的值域。（答案：y|y3/4）KEFBC九、构造法根据函数的结构特征，赋予几何图形，数形结合。例3求函数y(x24x5)(x24x8)的值域。点拨：将原函数
9、变形，构造平面图形，由几何知识，确定出函数的值域。解：原函数变形为f(x)(x2)21(2x)222如图，作一个AD4，AB3的矩形ABCD，EFAD且BE1，H为EF中点，K为EF上任意一点。xHDA设HKx，则EK2x，KF2x，AK(2x)222，KC(x2)21。由三角形三边关系知，AKKCAC5。当A、K、C三点共线时取等号。原函数的知域为y|y5。点评：对于形如函数y(x2a)(cx)2b（a，b，c均为正数），均可通过构造几何图形，由几何的性质，直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。练习：求函数y(x29)(5x)24的值域。（答案：y|y52）十、比例法对于一类含条件的函
10、数的值域的求法，可将条件转化为比例式，代入目标函数，进而求出原函数的值域。例4已知x，yR，且3x4y50,求函数zx2y2的值域。点拨：将条件方程3x4y50转化为比例式，设置参数，代入原函数。解：由3x4y50变形得，(x3)/4(y1)/3k(k为参数)x34k，y13k，zx2y2(34k)2(143k)2(5k3)21。当k3/5时，x3/5，y4/5时，zmin1。函数的值域为z|z1。点评：本题是多元函数关系，一般含有约束条件，将条件转化为比例式，通过设参数，可将原函数转化为单函数的形式，这种解题方法体现诸多思想方法，具有一定的创新意识。练习：已知x，yR，且满足4xy0，求函数
11、f(x，y)2x2y的值域。（答案：f(x，y)|f(x，y)1）十一、利用多项式的除法例5求函数y(3x2)/(x1)的值域。点拨：将原分式函数，利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。解：y(3x2)/(x1)31/(x1)。1/(x1)0，故y3。函数y的值域为y3的一切实数。点评：对于形如y(axb)/(cxd)的形式的函数均可利用这种方法。练习：求函数y(x21)/(x1)(x1)的值域。（答案：y2）十二、不等式法例6求函数y3x/(3x1)的值域。点拨：先求出原函数的反函数，根据自变量的取值范围，构造不等式。解：易求得原函数的反函数为yl/3x/(1x)，由对数函数的定义知 x/(1x)0 1x0解得，0x1。函数的值域（0，1）。点评：考查函数自变量的取值范围构造不等式（组）或构造重要不等式，求出函数定义域，进而求值域。不等式法是重要的解题工具，它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一。以下供练习选用：求下列函数的值域1y(154x)2x5；（y|y3）2y2x/(2x1)。（y1） 第 8 页 共 8 页
