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1、高中函数值域的12种求法一、观察法通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。例1求函数y3(23x) 的值域。点拨:根据算术平方根的性质,先求出(23x) 的值域。解:由算术平方根的性质,知(23x)0,故3(23x)3。函数的知域为3,。点评:算术平方根具有双重非负性,即:(1)被开方数的非负性,(2)值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法。练习:求函数yx(0x5)的值域。(答案:值域为:0,1,2,3,4,5)二、反函数法当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。例2求函数y(x
2、1)/(x2)的值域。点拨:先求出原函数的反函数,再求出其定义域。解:显然函数y(x1)/(x2)的反函数为:x(12y)/(y1),其定义域为y1的实数,故函数y的值域为yy1,yR。点评:利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。练习:求函数y(10x10-x)/(10x10-x)的值域。(答案:函数的值域为yy1或y1)三、配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域。例3:求函数y(x2x2)的值域。点拨:将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求。解:由x2x20,可知函数
3、的定义域为x1,2。此时x2x2(x1/2)29/40,9/4,0(x2x2)3/2,函数的值域是0,3/2。点评:求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。配方法是数学的一种重要的思想方法。练习:求函数y2x5(154x)的值域。(答案:值域为yy3)四、判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。例4求函数y(2x22x3)/(x2x1)的值域。点拨:将原函数转化为自变量的二次方程,应用二次方程根的判别式,从而确定出原函数的值域。解:将上式化为(y2)x2(y2)x(y3)0()当y2时,由(y2)24(y2)(y3
4、)0,解得:2x10/3当y2时,方程()无解。函数的值域为2y10/3。点评:把函数关系化为二次方程F(x,y)0,由于方程有实数解,故其判别式为非负数,可求得函数的值域。常适应于形如y(ax2bxc)/(dx2exf)及yaxb(cx2dxe)的函数。练习:求函数y1/(2x23x1)的值域。(答案:值域为y8或y0)五、最值法对于闭区间a,b上的连续函数yf(x),可求出yf(x)在区间a,b内的极值,并与边界值f(a),f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。例5已知(2x2x3)/(3x2x1)0,且满足xy1,求函数zxy3x的值域。点拨:根据已知条件求出自变量x的取值
5、范围,将目标函数消元、配方,可求出函数的值域。解:3x2x10,上述分式不等式与不等式2x2x30同解,解之得1x3/2,又xy1,将y1x代入zxy3x中,得zx24x(1x3/2),z(x2)24且x1,3/2,函数z在区间1,3/2上连续,故只需比较边界的大小。当x1时,z5;当x3/2时,z15/4。函数z的值域为z5z15/4。点评:本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间,若存在最值,也可通过求出最值而获得函数的值域。练习:若x为实数,则函数yx23x5的值域为( )(答案:D)。A(,) B7, C0,) D5,)六、图象法通过观察函数的图象,运用数形结合的方法得到函数的
6、值域。例6求函数yx1(x2)2 的值域。点拨:根据绝对值的意义,去掉符号后转化为分段函数,作出其图象。 2x1 (x1)解:原函数化为y 3 (1x2) 2x1 (x2)它的图象如图所示。 y321-1O x显然函数值y3,所以,函数值域3,。点评:分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象求函数的值域,体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。求函数值域的方法较多,还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。七、单调法利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。例1求函数y4x(13x),(x/3)的值域。点拨:由已知的函数是复合函数,即g(x)(13x),yf(x)g
7、(x),其定义域为x1/3,在此区间内分别讨论函数的增减性,从而确定函数的值域。解:设f(x)4x,g(x)(13x ),(x1/3),易知它们在定义域内为增函数,从而yf(x)g(x)4x(13x) 在定义域为x1/3上也为增函数,而且yf(1/3)g(1/3)4/3,因此,所求的函数值域为y|y4/3。点评:利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域。练习:求函数y3(4x) 的值域。(答案:y|y3)八、换元法以新变量代替函数式中的某些量,使函数转化为以新变量为自变量的函数形式,进而求出值域。例
8、2求函数yx3(2x1) 的值域。点拨:通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数,利用二次函数的最值,确定原函数的值域。解:设t(2x1), (t0) 则x1/2(t21)。于是y1/2(t21)3t1/2(t1)241/247/2.所以,原函数的值域为y|y7/2。点评:将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。练习:求函数y(x1)x的值域。(答案:y|y3/4)KEFBC九、构造法根据函数的结构特征,赋予几何图形,数形结合。例3求函数y(x24x5)(x24x8)的值域。点拨:将原函数
9、变形,构造平面图形,由几何知识,确定出函数的值域。解:原函数变形为f(x)(x2)21(2x)222如图,作一个AD4,AB3的矩形ABCD,EFAD且BE1,H为EF中点,K为EF上任意一点。xHDA设HKx,则EK2x,KF2x,AK(2x)222,KC(x2)21。由三角形三边关系知,AKKCAC5。当A、K、C三点共线时取等号。原函数的知域为y|y5。点评:对于形如函数y(x2a)(cx)2b(a,b,c均为正数),均可通过构造几何图形,由几何的性质,直观明了、方便简捷。这是数形结合思想的体现。练习:求函数y(x29)(5x)24的值域。(答案:y|y52)十、比例法对于一类含条件的函
10、数的值域的求法,可将条件转化为比例式,代入目标函数,进而求出原函数的值域。例4已知x,yR,且3x4y50,求函数zx2y2的值域。点拨:将条件方程3x4y50转化为比例式,设置参数,代入原函数。解:由3x4y50变形得,(x3)/4(y1)/3k(k为参数)x34k,y13k,zx2y2(34k)2(143k)2(5k3)21。当k3/5时,x3/5,y4/5时,zmin1。函数的值域为z|z1。点评:本题是多元函数关系,一般含有约束条件,将条件转化为比例式,通过设参数,可将原函数转化为单函数的形式,这种解题方法体现诸多思想方法,具有一定的创新意识。练习:已知x,yR,且满足4xy0,求函数
11、f(x,y)2x2y的值域。(答案:f(x,y)|f(x,y)1)十一、利用多项式的除法例5求函数y(3x2)/(x1)的值域。点拨:将原分式函数,利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。解:y(3x2)/(x1)31/(x1)。1/(x1)0,故y3。函数y的值域为y3的一切实数。点评:对于形如y(axb)/(cxd)的形式的函数均可利用这种方法。练习:求函数y(x21)/(x1)(x1)的值域。(答案:y2)十二、不等式法例6求函数y3x/(3x1)的值域。点拨:先求出原函数的反函数,根据自变量的取值范围,构造不等式。解:易求得原函数的反函数为yl/3x/(1x),由对数函数的定义知 x/(1x)0 1x0解得,0x1。函数的值域(0,1)。点评:考查函数自变量的取值范围构造不等式(组)或构造重要不等式,求出函数定义域,进而求值域。不等式法是重要的解题工具,它的应用非常广泛。是数学解题的方法之一。以下供练习选用:求下列函数的值域1y(154x)2x5;(y|y3)2y2x/(2x1)。(y1) 第 8 页 共 8 页