《2020_2021学年高中数学第一章导数及其应用1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念学案含解析新人教A版选修2_220210201199》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020_2021学年高中数学第一章导数及其应用1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念学案含解析新人教A版选修2_220210201199（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、11变化率与导数1.1.1变化率问题 1.1.2导数的概念内容标准学科素养1.了解导数概念的实际背景；2.会求函数在某一点附近的平均变化率；3.会利用导数的定义求函数在某点处的导数.强化数学概念完善逻辑推理提升数学运算授课提示：对应学生用书第1页基础认识知识点一函数的平均变化率假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系，A是出发点，H是山顶爬山路线用函数yf(x)表示自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值yf(x)表示此时旅游者所在的高度设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)(1)若旅游者从点A爬到点B，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？提示：自变量x的改
2、变量为x2x1，记作x，函数的改变量为y2y1，记作y.(2)怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？提示：对山路AB来说，用可近似地刻画其陡峭程度知识梳理函数yf(x)从x1到x2的平均变化率(1)定义式：.(2)实质：函数值的增量与自变量的增量之比(3)作用：刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢(4)几何意义：已知P1(x1，f(x1)，P2(x2，f(x2)是函数yf(x)的图象上两点，则平均变化率表示割线P1P2的斜率知识点二瞬时速度1物体的路程s与时间t的关系是s(t)5t2.试求物体在1,1t这段时间内的平均速度提示：s5(1t)2510t5(t)2，105t.2当t趋近于0时，思考1
3、中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？提示：当t趋近于0时，趋近于10，这时的平均速度即为当t1时的瞬时速度知识梳理瞬时速度(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度(2)一般地，设物体的运动规律是ss(t)，则物体在t0到t0t这段时间内的平均速度为.如果t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当t趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在时刻tt0时的瞬时速度，即瞬时速度v .知识点三函数在某点处的导数知识梳理一般地，函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是 ，我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .思考：1.函数f(x)在区间x1，x2上
4、的平均变化率的大小与曲线yf(x)在区间x1，x2上的“陡峭”程度有什么关系？提示：平均变化率的绝对值越大，曲线yf(x)在区间x1，x2上越“陡峭”，反之亦然2函数的平均变化率是固定不变的吗？提示：不一定，在平均变化率中，当x1取定值后，x取不同的数值时，函数的平均变化率不一定相同；当x取定值后，x1取不同的数值时，函数的平圴变化率也不一定相同事实上，曲线上任意不同两点间连线的斜率一般不相等，根据平均变化率的几何意义可知，函数的平均变化率一般情况下是不相同的3瞬时速度与平均速度有什么区别和联系？提示：区别：瞬时速度刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是形容物体在一段时间内的运动状态，与
5、该段时间内的某一时刻无关联系：瞬时速度是平均速度的趋近值4如何理解x0?提示：(1)“x0”的意义：|x0|可以小于给定的任意小的正数，但始终有x0.(2)当x0时，存在一个常数与无限接近自我检测1质点运动规律st23，则在时间(3,3t)中，质点的平均速度等于()A6t B6t C3t D9t解析：平均速度为6t.故选A.答案：A2如果质点M按照规律s3t2运动，则在t3时的瞬时速度为()A6 B18 C54 D81解析：183t，s (183t)18.故选B.答案：B3已知函数f(x)，则f(1)_.解析：f(1) .答案：授课提示：对应学生用书第2页探究一求函数的平均变化率例1(1)已知
6、函数y3xx2在x02处的增量为x0.1，则的值为()A0.11 B1.1 C3.89 D0.29(2)汽车行驶的路程s和时间t之间的函数图象如图，在时间段t0，t1，t1，t2，t2，t3上的平均速度分别为，则三者的大小关系为_(3)球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为_解析(1)yf(20.1)f(2)32.12.12640.11，1.1.(2)kOA，kAB，kBC，由图象可知，kOAkABkBC.(3)y2313，.答案(1)B(2)(3)方法技巧求函数yf(x)从x0到x的平均变化率的步骤(1)求自变量的增量xxx0.(2)求函数的增量yyy0f(x)f(x0)f(x0x)f
7、(x0)(3)求平均变化率.提醒：x，y的值可正，可负，但x0，y可为零，若函数f(x)为常值函数，则y0.跟踪探究1.一运动物体的运动路程s(x)与时间x的函数关系为s(x)x22x.(1)求运动物体从2到2x这段时间内的平均速度；(2)若3，求x；(3)若5，求x的范围解析：(1)因为s(2)22220，s(2x)(2x)22(2x)2x(x)2，所以2x.(2)由(1)，令2x3，解得x1.(3)由(1)，令2x5，解得x3.即x的范围为(，3)探究二求瞬时速度例2如果某物体的运动路程s与时间t满足函数s2(1t2)(s的单位为m，t的单位为s)，求此物体在1.2 s末的瞬时速度解析s2
8、1(1.2t)22(11.22)4.8t2(t)2， (4.82t)4.8，即s|t1.24.8.故物体在1.2 s末的瞬时速度为4.8 m/s.延伸探究1.试求该物体在t0时的瞬时速度解析：s21(t0t)22(1t)4tt02(t)2，s|tt0 (4t02t)4t0.此物体在t0时的瞬时速度为4t0 m/s.2物体在哪一时刻的瞬时速度为12 m/s?解析：s|tt0 (4t02t)4t0，由4t012得t03，此物体在3 s时的瞬时速度为12 m/s.方法技巧1.求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量t和位移改变量ss(t0t)s(t0)(2)求平均速度.(3)求瞬时速度，当t无
9、限趋近于0时，无限趋近于常数v，即为瞬时速度2求(当x无限趋近于0时)的极限的方法(1)在极限表达式中，可把x作为一个数来参与运算(2)求出的表达式后，x无限趋近于0，可令x0，求出结果即可跟踪探究2.已知自由下落物体的运动方程是sgt2(s的单位是m，t的单位是s)，求：(1)物体在t0到t0t这段时间内的平均速度；(2)物体在t0时的瞬时速度；(3)物体在t02 s到t12.1 s这段时间内的平均速度；(4)物体在t2 s时的瞬时速度解析：(1)平均速度为gt0gt.(2)瞬时速度为 gt0.(3)由(1)得物体在t02 s到t12.1 s这段时间内的平均速度为g2g0.1g.(4)由(2
10、)得物体在t2 s时的瞬时速度为g22g.探究三求函数在某点处的导数例3根据导数定义求函数yx25在x2处的导数解析当x2时，y(2x)254x(x)2.所以4x.所以y|x2 40.延伸探究本例中若已知该函数在xa处的导数为0，试求a的值解析：当xa时，y(ax)252ax(x)2，所以2ax，所以 2a，所以2a0，a.方法技巧用导数定义求函数在某一点处导数的三个步骤(1)求函数值的改变量yf(x0x)f(x0)(2)求平均变化率.(3)取极限，得导数f(x0) .简记为一差、二比、三极限跟踪探究3.已知函数yf(x)2x24x.(1)求函数在x3处的导数；(2)若函数在x0处的导数是12
11、，求x0的值解析：(1)y2(3x)24(3x)(23243)12x2(x)24x2(x)216x.所以2x16，所以y|x3 (2x16)16.(2)根据导数的定义f(x0) (4x02x4)4x04，所以f(x0)4x0412，解得x02.授课提示：对应学生用书第3页课后小结(1)理解平均变化率要注意以下几点：平均变化率表示点(x1，f(x1)与点(x2，f(x2)连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”为求点x0附近的平均变化率，上述表述式常写为的形式函数的平均变化率可以表现出函数的变化趋势，自变量的改变量x取值越小，越能准确体现函数的变化情况(2)利用导数定义求导数：取极限前，要注意化简，保证使x0时分母不为0.函数在x0处的导数f(x0)只与x0有关，与x无关导数可以描述事物的瞬时变化率，应用非常广泛素养培优对导数的定义理解不清致错设f(x)为可导函数，且f(2)，则 的值为()A1 B1 C. D易错分析：本题考查函数的定义f(x0) ，容易错误地认为 f(2)而丢分，考查学生的定义掌握，数学运算等学科素养自我纠正： 2 2f(2)21.答案：B
