《2020_2021学年高中数学第一章计数原理1.3.1二项式定理学案含解析新人教A版选修2_3202102011117》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020_2021学年高中数学第一章计数原理1.3.1二项式定理学案含解析新人教A版选修2_3202102011117（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、13二项式定理13.1二项式定理内容标准学科素养1.能用计数原理证明二项式定理2.理解二项式定理及二项展开式的特征，掌握二项式定理和二项展开式的通项公式3.正确运用二项展开式展开或化简某些二项式，运用通项求某些特定项、二项式系数或项的系数4.能解决与二项式定理有关的简单问题.利用数学抽象提升数学运算授课提示：对应学生用书第16页基础认识知识点二项式定理及其相关概念知识梳理二项式定理公式(ab)nCanCan1bCankbkCbn，称为二项式定理二项式系数C(k0,1，n)通项Tk1Cankbk二项式定理的特例(1x)nCCxCx2CxkCxn自我检测1(2x1)4的展开式为_答案：16x432
2、x324x28x12(x2)8的展开式中的第6项为_，其二项式系数为_答案：1 792x356授课提示：对应学生用书第17页探究一二项式定理的正用、逆用阅读教材P30例1求6的展开式题型：二项式定理的应用方法步骤：(1)先将二项式整理为(2x1)6.(2)再用二项式定理将(2x1)展开并化简即得到展开式例1(1)求4的展开式(2)化简：C(x1)nC(x1)n1C(x1)n2(1)kC(x1)nk(1)nC.解析(1)法一：4(3)4C(3)3C(3)22C(3)3C481x2108x54.法二：481x2108x54.(2)原式C(x1)nC(x1)n1(1)C(x1)n2(1)2C(x1)
3、nk(1)kC(1)n(x1)(1)nxn.方法技巧1.(ab)n的二项展开式有n1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：(1)各项的次数和等于n；(2)字母a按降幂排列，从第一项起，次数由n逐项减1直到0；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n.2逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想，注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢跟踪探究1.化简：(2x1)55(2x1)410(2x1)310(2x1)25(2x1)1.解析：原式C(2x1)5C(2x1)4C(2x1)3C(2x1)2C(2x1)C(2x1)0(2x1)15(2x)532x5.探究二二项展开式通项的应
4、用阅读教材P31例2(1)求(12x)7的展开式的第4项的系数；(2)求9的展开式中x3的系数题型：二项展开式通项公式的应用方法步骤：对于(1)直接用通项公式写出T4从而得出该项系数对于(2)，写出Tr1并整理由x3项得到r的值，从而求出该项系数例2若n展开式中前三项系数成等差数列，求：(1)展开式中含x的一次项；(2)展开式中所有的有理项解析(1)由已知可得CC2C ，即n29n80，解得n8或n1(舍去)Tk1C()8kkC2kx4k，令4k1，得k4.所以x的一次项为T5C24xx.(2)令4kZ，且0k8，则k0,4,8，所以含x的有理项分别为T1x4，T5x，T9.方法技巧1.利用二
5、项式的通项求二项展开式的特定项的常见题型(1)求第k项，TkCank1bk1；(2)求含xk的项(或xpyq的项)；(3)求常数项；(4)求有理项2求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致跟踪探究2.在8的展开式中，求：(1)第5项的二项式系数及第5项的系数；(2)x2的系数解析：(1)T
6、5T41C(2x2)844C24x，所以第5项的二项式系数是C70，第5项的系数是C241 120.(2)8的通项是C(2x2)8rr(1)rC28rx16r.由题意，得16r2，解得r6，因此，x2的系数是(1)6C286112.探究三利用二项式定理解决整除和余数问题阅读教材P37习题1.3 B组1(2)用二项式定理证明：99101能被1 000整除证明：99101(1001)101C10010C1009C1008C100C1C10010C1009C10081 000，每一项均能被1 000整除所以99101能被1 000整除例3试判断77771能否被19整除解析77771(761)7717
7、677C7676C7675C76C176(7676C7675C7674C)由于76能被19整除，因此77771能被19整除方法技巧用二项式定理解决anb整除(或余数)问题时，一般需要将底数a写成除数m的整数倍加上或减去r(1rm)的形式，利用二项展开式求解跟踪探究3.2303除以7的余数为_解析：2303(23)1038103(71)103C710C79C7C37(C79C78C)2.又余数不能为负数(需转化为正数)，2303除以7的余数为5.答案：5授课提示：对应学生用书第18页课后小结(1)二项展开式的特点展开式共有n1项各项的次数和都等于二项式的幂指数n.字母a的幂指数按降幂排列，从第一
8、项开始，次数由n逐项减1直到为0，字母b的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n.(2)对通项公式的四点说明通项公式Tr1Canrbr是(ab)n的展开式的第r1项，这里r0,1，n.二项式(ab)n的第r1项Canrbr和(ba)n的展开式的第r1项Cbnrar是有区别的，应用二项式定理时，其中的a和b是不能随便交换的注意二项式系数C与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负通项公式是在(ab)n这个标准形式下而言的，而(ab)n的二项展开式的通项公式是Tr1(1)rCanrbr(只需把b看成b代入二项式定理)，这与Tr1Canrbr是不同的
9、，在这里对应项的二项式系数是相等的，都是C，但项的系数一个是(1)rC，一个是C，可看出二项式系数与项的系数是不同的概念素养培优1.对展开式的通项记不清是第几项致错(x1)5的展开式中第4项的系数是()A5B10C20 D20易错分析：第4项的系数为C()(1)45，故选A.考查数学抽象、数学运算的学科素养自我纠正：由展开式的通项，得T4C(x)2(1)3102x220x2，所以第4项的系数为20.答案：D2因混淆二项展开式中项的系数与二项式系数而致错设(x)n展开式中，第二项与第四项的系数之比为12，试求含x2的项易错分析：把二项展开式中项的系数与二项式系数混淆了考查直观想象及数学运算的学科素养自我纠正：(x)n展开式的第2项与第4项分别为Cxn1()nxn1，Cxn3()32Cxn3.依题意得n23n40，解方程并舍去不合题意的负根，得n4.3颠倒公式(ab)n中a，b的顺序致错若n展开式中，第3项是常数，则中间项是第几项？易错分析：解析时易把看作a，把看作b致错考查数学抽象及数学运算的学科素养自我纠正：T3Cx2Cx，因为第3项是常数，所以令0，解得n8.故展开式总共有9项，中间项是第5项
