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1、既然要谈物理、数学，那么按照科学的探讨方法，我们必须先弄清它们的概念。以下是我找到的有关物理，数学基本概念的解释。物理：“物理学是研究物质运动最一般规律及物质基本结构的学说。具体地说，按所研究的物质运动形态和具体对象，它涉及的范围包括:力学、声学、热学和分子物理学、电磁学、光学、原子和原子核物理学、基本粒子物理学、固体物理学以及对气体和液体的研究等。”“物理学研究宇宙间物质存在的各种主要的基本形式，它们的性质、运动和转化以及内部结构；从而认识这些结构的组元及其相互作用、运动和转化的基本规律。”数学：“数学研究现实世界的数量关系和空间形式的科学。”恩格斯“数学，至少纯粹数学，是研究抽象结构的理论
2、。结构，就是以初始概念和公理出发的演绎系统”法国的布尔巴基学派“:数学在很大程度上是一门艺术，它的发展总是起源于美学准则，受其指导、据以评价的。”Borel“数学研究理想结构（突出应用于实际问题），并在这种研究中去发现各种结构之间的未知关系”Peirce可见，对于这两门学科的解释是多种多样的，但我想这也只是基于不同的角度而言，并不会有质的区别。物理的开山鼻祖伽利略曾经对物理与数学的关系作了极为经典的论述：物理科学必须以数学为工具，但是物理不能仅仅依赖于数学，物理理论的最终决定权要靠实验检验。由此我们可以看到物理与数学的联系与区别：物理使用数学，但同时物理为数学的发展提供里绝好的空间。作为真正的
3、物理学家，不会被数学所束缚，而是在物理的研究过程中为数学的发展做出贡献，最典型的事例： 牛顿为研究物体的即时运动情况建立了微积分，傅立叶对热的研究方法开创了现代数学物理方法，爱因斯坦的广义相对论方程刺激了数学家。数学与物理相辅相成，共同促进相互间的发展。 物理是客观世界的抽象，数学是一种特殊的语言，最让人信服的语言，物理需要他来表达。现在各科都要数学参与才有生机。我们的自然学科本身都是描述语言，数学和物理莫不如此。只是数学是一种描述抽象数量关系的语言，而物理等其他学科是描述具体物质规律的语言。数学以其逻辑关系的精密性被大量引入物理，这也是不过几百年以来的事。但是研究物理千万不能忘了，引进数学只
4、是引进了一种模型工具，一种描述方式、描述词汇，物理学的问题虽然需要数学理论的支撑，但它这些问题的焦点并不在于数量关系本身，而在于我们对所研究的物质规律核心问题的认识。数学体系庞杂，分支甚多，依靠学数学解决物理问题恐有天无日。有了对所研究基本问题的认识，才好下手寻找工具，哪怕是自己想制造工具也行。有志于此，与同仁共勉。我们在中学物理教学中,在涉及到一些物理概念与物理规律时,往往要应用一些数学表达式来进行研究,这样可以给我们的学习带来很多的方便与优越性,可以说,数学是研究物理一个必不可少的重要工具。但数学有一个非常显著的特点,就是数学的抽象性。 在数学的抽象中,保留的只是客观事物的数量与形式,也就
5、是数量的关系与空间形式,而舍弃了其他的一切具体内容。抽象性可以归纳为以下三点:(1)不仅数学概念是抽象的,而且数学方法也是抽象的,并且大量使用抽象的符号。(2)数学的抽象是逐级抽象的,下一次的抽象是以前一次的抽象材料为其具体背景。(3)高度的抽象必然有高度的概括。数学的抽象性还表现在它的研究方法上,严格的计算方法,严密的推理论证体系是任何其它自然科学所不及的。数学中往往采用某种物理模型(模拟),它是数学理论的现实来源之一,它有助于数学理论的发现、建立和发展,但是,不管怎么样,最终在数学中所以能成为理论,还得由数学的逻辑推理给以严格的证明来决定。正是由于数学的严格性导致数学结论的确定性和应用的极
6、端广泛性。这是事物的一个方面。 数学开始的发展确实是从客观实际中来的，看看古代数学的发展历程应该可以得到这样的结果。但是数学的发展使得数学的学科走上更抽象的道路，更多的是关注于一些概念和逻辑的关系。这些抽象出来的概念可能有现实的起源，不过并不一定是现实客体的描述。黎曼几何是广义相对论的重要工具。这只是搞物理的人发现了物理世界满足的数学结构。而有更多的数学抽象没有能够有什么物理意义。同时满足同样的数学结构的物理体系，还会有各种各样的奇妙的物理结果，（比如正常导体和超导）这些不是简单的从数学结构中可以看出来的。所以我想说，搞物理的人多数还是把数学当成一种工具，而不是当作物理世界背后的逻辑。当然上面
7、讲得是一般的逻辑。当前数学界也有一种风潮，要从现实中找数学，而不是传统的形而上学的思路。这部分看起来和一些物理学家干的活差不多（比如那个写上帝是掷骰子的吗的作者斯图尔特是个搞数学的，他写的好几本书对物理读者来说有都是很有趣的）。而一些高能研究和非线性研究的物理学家在不断的抽象的探讨各种数学形式，看起来又有些像搞数学的。可以说，有些数学家和物理学家确实分不清。不过这不影响现阶段物理和数学两个学科的关系。 各门科学中，物理与数学关系最亲，可以说，数学是物理学最铁的铁哥们。其它科学，如：生物学、化学、医学等等，如果没有数学帮忙，还都能大差不差的过得去，唯独物理学，如果没有数学的话，那简直一天日子都过
8、不下去。当初，要不是牛顿发明了微积分，他的三大力学定律和万有引力定律，就很难唱得出精彩的戏来。尽管，数学家不是一心想去物理学家去攀亲戚，他们多半时间象是山里的隐士，让自己的头脑在逻辑天空中尽情翱翔，对凡尘的事置之度外。然而，物理学家的日子可没有那样潇洒，他们必须在第一线打拼。有时实在没辙，就去求教数学家，犹如当年三顾茅庐的刘玄德。你还别说，数学家家手头还往往有现成的锦囊妙计。当年，爱因斯坦一心想根据惯性质量与引力质量相等的原理，搞一个引力理论，然而，一连苦思冥想了好多年，都毫无进展。让他苦恼的是，在引力作用下，空间会发生扭曲，而欧几里得几何学却对此毫无办法。后来，幸好他的好友格罗斯曼告诉他，法
9、国数学家黎曼研究出的一套几何学，应该能帮他解决烦恼。果然，爱因斯坦有了黎曼几何这一有力武器后，就顺顺当当的建立了广义相对论。另一件有趣的事是发生在量子力学建立的初期。当时，德国青年科学家海森堡为了解决微观问题，独创了一种代数。在这门代数中，乘法交换律不再成立，也就是说，A乘B不等于B乘A。初看起来似乎有点匪夷所思。然而，数学家一眼就看出，不过是早已有之的矩阵代数而已。于是，海森堡把自己的力学称为矩阵力学，与此同时，奥地利科学家薛定谔开发了一套波动力学。后来，薛定谔证明了，矩阵力学和波动力学数学上是同一回事。今天，就都被称为量子力学了。而今天，物理学家们高度重视对称性问题，而研究对称性的群论，早
10、就在数学家手中盘得滚瓜烂熟了。随着物理学的进展，概念越来越抽象，一天天向数学靠拢。当年，拉格朗日出版了一本力学专著，从第一页到最后一页，没有一张插图，从头到底都是数学公式。书中唱大戏的是一个被称为“作用量”的量。任何第一次接触到作用量的人都会满脸疑惑，这作用量究竟是什么玩意儿：能量吗？否也；质量？否也；力量？否也。那究竟是什么？动能减势能也。依然疑问重重，动能减势能又算是什么玩意儿？答曰，动能减势能即为作用量。总之，你休想用任何具体生动的概念去描画它，作用量者，作用量也。尽管如此，它却是一条再硬不过的死规定：任何物体在空间移动时，必定循着作用量改变最小的路径走。这又是为什么？没有道理可讲，理解
11、得执行，不理解也得执行，在执行中理解，在执行中增加感情。捧起数学书去啃吧，到时候，理解和感情自然会产生。热力学同样又是一门高度抽象的物理学分支。热力学里的那些熵、焓、自由能等等玩意儿，要多抽象有多抽象。难怪一位热力学的教授说，“女孩子学这门课，常常会哭鼻子。”热力学以三大定律为基础，用状态函数全微分、麦克斯韦尔偏微分关系，和可逆过程的路线积分等一连串数学，让未来的工程师们头晕目眩，却建立起一座宏伟的大厦，严谨程度不亚于欧几里得几何学。难怪，当初波尔兹曼企图把分子统计理论引进热力学时，遭到当时热力学权威的顽固抵制。在他们眼里，波尔兹曼是在往美丽宏伟的热力学宫殿里乱撒灰尘，这还了得！而电动力学里的
12、电磁波，电场和磁场纵横交错波动，而且，在没有载体的真空里照样能兴风作浪。王安石曾解释汉字的“波”为“水之皮”。显然，他眼里反过来的意思就是，水乃波之肉也。按此方式思考，电磁波成了不附肉之皮了。个中之玄机，除了用数学公式，很难把握得了。量子力学里，粒子既有微粒性又有波动性，更是日常生活难以想象的，也只有数学函数能说得清楚。所以，今天的许多基础物理概念，常必须依靠数学来加以诠释。或许，世界正如毕达哥拉斯所想象的那样，是由数构成的。但是，也别以为，物理学家的一切苦恼，数学家都能帮忙解决，事实远非如此。与物理学关系最密切的数学分支是微分方程，几乎所有的物理学分支都与微分方程结下不解之缘。同一个微分方程
13、可以解答许多物理问题，也可以有无数多个解。有人会有疑问了，那么多的解，该选哪个好？其实，这倒不用担心的，一旦把这个方程的初始条件和边界条件拿准了，这个方程的解也就定了下来。然而，当今的数学家们往往只有在在十分理想的条件下，才能提供微分方程的严格解。对于边界简单的状况，如：圆形、矩形等等，有时还能对付得过去。而实际情况往往要复杂得多，比如，建筑师会想出各种各样的建筑外形来，越是怪异，他就越能出名。例如，澳大利亚的悉尼歌剧院的屋顶，真是要多就多美，可是，要想求得屋顶各处的受力情况，即使再等上一百年也未必能得到严格解。正如俗话说的，“文官动动嘴，武官跑断腿。”出名的是建筑师，累死的是结构师。这种情况
14、下，要是没有大型计算机，结构师即使活活累死还是没辙。实际山，计算机用的是一种求近似解的方法：将无穷小的微分用有限小的差分，如：0.1，0.001或0.0001等来替代，然后一步步算过去。至于有限小差分到底选多小，就看你的计算耐心和每次计算的误差了。今天，有了大型计算机，虽然都是近似值，但对于许多实际问题，精度完全是能做到的。建筑师尽管出难题，计算机和软件都是现成的，方案一输进去，一会儿答案就会出来。许多其它科学和工程问题也同样依靠这样的方法来解决。小结数学不能取代科学实验对于数学在自然科学中的重要作用，某些人认为完全可以用数学手段代替繁琐的不可能完全精确的科学实验。文章最后对这个观点做一下反驳：自然科学的发展最主要的还是依靠反映给我们的客观事实而并非写在纸上的数学公式，这会导致自然科学的形式主义，这种只是“纸上谈兵”的做法在自然科学的发展中是绝不可取的；一切数学结论是否真正的应用在自然科学并非仅取决于数学结论自身的合理性，最终必须通过实践的检验才能定论。
