《2010-2019学年高考新课标全国I卷数学(文)真题分类汇编专题17坐标系与参数方程(解析版)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2010-2019学年高考新课标全国I卷数学(文)真题分类汇编专题17坐标系与参数方程(解析版)（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题 17 坐标系与参数方程 坐标系与参数方程大题：10 年 10 考，而且是作为2 个选做题之一出现的，主要考查两个方面：一是极坐标 方程与普通方程的转化，二是极坐标方程与参数方程的简单应用，难度较小 1 （2019 年）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为 2 2 2 1 1 4 1 t x t t y t （t 为参数）以坐标原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2 cos +3 sin +11 0 （1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）求 C 上的点到l 距离的最小值 【解析】（1）由 2 2 2 1 1 4 1 t x t t y
2、t （t 为参数），得 2 2 2 1 1 2 21 t x t yt t ， 两式平方相加，得 2 2 1 4 y x（x 1） ， C 的直角坐标方程为 2 2 1 4 y x（ x 1） ， 由 2cos+3sin +110，得23110 xy， 即直线 l 的直角坐标方程为得23110 xy （2）法一、设C 上的点 P（cos ， 2sin ） （） ， 则 P 到直线23110 xy的距离为： d 2cos2 3sin11 7 4sin11 7 当 sin（+） 1 时， d 有最小值为7 法二、设与直线23110 xy平行的直线方程为230 xym， 联立 2 2 230 1 4
3、 xym y x ，得 16x2+4mx+m2120 由 16m2 64（m212） 0，得 m 4 当m 4 时 ， 直 线2340 xy与 曲 线C 的 切 点 到 直 线23110 xy的 距 离 最 小 ， 为 2 2 114 7 23 2 （2018 年）在直角坐标系xOy 中，曲线C1的方程为yk|x|+2以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建 立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为 2+2 cos 30 （1）求 C2的直角坐标方程； （2）若 C1与 C2有且仅有三个公共点，求 C1的方程 【解析】（1）曲线 C2的极坐标方程为 2+2 cos 30 转换为直角坐标方程为：x2+y
4、2+2x3 0， 转换为标准式为： （x+1） 2+y24 （2）由于曲线C1的方程为 y k|x|+2，则：该射线关于y轴对称，且恒过定点（0，2） 由于该射线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点 所以必有一直线相切，一直线相交 则圆心到直线ykx+2 的距离等于半径2 故 2 2 2 1 k k ，或 2 2 2 1 k k ， 解得： k 4 3 或 0， 当 k0 时，不符合条件，故舍去， 同理解得： k 4 3 或 0， 经检验，直线 4 2 3 yx与曲线 C2没有公共点 故 C1的方程为 4 2 3 yx 3 （2017 年）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为 3cos
5、 sin x y （为参数），直线l 的参数方程为 4 1 xat yt （t 为参数） （1）若 a 1，求 C 与 l 的交点坐标； （2）若 C 上的点到l 距离的最大值为17，求 a 【解析】（1）曲线 C 的参数方程为 3cos sin x y （为参数），化为标准方程是 2 9 x +y2 1； a 1 时，直线l 的参数方程化为一般方程是：x+4y30； 联立方程 2 2 1 9 430 x y xy ， 解得 3 0 x y 或 21 25 24 25 x y ， 所以椭圆C 和直线 l 的交点为（ 3，0）和（ 21 25 ， 24 25 ） （2）l 的参数方程 4 1 x
6、at yt （t 为参数）化为一般方程是x+4ya4 0， 椭圆 C 上的任一点P 可以表示成P（3cos ，sin ） ， 0， 2 ） ， 所以点 P 到直线 l 的距离 d 3cos4sin4 17 a 5sin4 17 a ，满足 tan 3 4 ，且 d 的最 大值为17 当 a40 时，即 a 4 时， |5sin（+ ） a 4| |5a4|5+a+4|17， 解得 a8 和 26，a8 符合题意 当 a40 时，即 a 4 时， |5sin（+ ） a 4| |5 a4|5 a4|17， 解得 a 16 和 18， a 16 符合题意 4 （2016 年）在直角坐标系xOy 中
7、，曲线C1的参数方程为 cos 1sin xat yat （t 为参数， a0） 在以坐标原 点为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2： 4cos （1）说明 C1是哪种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程； （2）直线 C3的极坐标方程为 0，其中 0满足 tan 02，若曲线C1与 C2的公共点都在C3上，求 a 【解析】（1）由 cos 1sin xat yat ，得 cos 1sin xat yat ，两式平方相加得，x2+（y 1） 2a2 C1为以（ 0， 1）为圆心，以 a 为半径的圆 化为一般式：x2+y22y+1a20 由 x2+y2 2，ysin ，得 22si
8、n +1 a20； （2）C2： 4cos ，两边同时乘得 24cos ， x2+y24x， 即（ x2） 2+y24 由 C3： 0，其中 0满足 tan 02，得 y2x， 曲线 C1与 C2的公共点都在 C3上， y2x 为圆 C1与 C2的公共弦所在直线方程， 得： 4x2y+1a2 0，即为 C3 ， 1a20， a1（ a0） 5 （2015 年）在直角坐标系xOy 中，直线 C1：x 2，圆 C2： （x1）2+（y2）21，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （1）求 C1， C2的极坐标方程； （2）若直线C3的极坐标方程为 4 （ R） ，设 C2与 C3
9、的交点为 M，N，求 C2MN 的面积 【解析】（1）由于 xcos，y sin ， C1： x 2 的极坐标方程为 cos 2， 故 C2： （x1） 2+（y2）21 的极坐标方程为： （cos 1） 2+（ sin 2）21， 化简可得 2（ 2cos+4sin ）+4 0 （2）把直线C3的极坐标方程 4 （ R）代入圆C2： （ x1） 2+（y2）21， 可得 2（ 2cos+4sin ）+40， 求得 12 2，2 2， |MN| | 12|2，由于圆C2的半径为1， C2MC2N， C2MN 的面积为 22 1 CC 2 1 1 1 2 1 2 6 （2014 年）已知曲线C：
10、 22 49 xy 1，直线 l： 2 22 xt yt （t 为参数） （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； （2）过曲线 C 上任意一点P 作与 l 夹角为 30 的直线，交l 于点 A，求 |PA|的最大值与最小值 【解析】（1）对于曲线C： 22 49 xy 1，可令 x2cos 、y3sin ， 故曲线 C 的参数方程为 2cos 3sin x y （ 为参数） 对于直线l： 2 22 xt yt ， 由得： tx2，代入并整理得：2x+y60； （2）设曲线 C 上任意一点P（2cos ，3sin ） P 到直线 l 的距离为 5 4cos3sin6 5 d 则 2
11、5 5sin6 sin 305 d o ，其中 为锐角 当 sin（+） 1 时， |PA|取得最大值，最大值为 22 5 5 当 sin（+） 1 时， |PA|取得最小值，最小值为 2 5 5 7 （2013 年）已知曲线C1的参数方程为 45cos 55sin xt yt （ t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为 极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为 2sin （1）把 C1的参数方程化为极坐标方程； （2）求 C1与 C2交点的极坐标（ 0，02 ） 【解析】（1）将 45cos 55sin xt yt ，消去参数t，化为普通方程（x4）2+（y5） 225， 即 C1
12、：x2+y28x10y+160， 将 cos sin x y 代入 x2+y28x10y+160， 得 2 8cos 10sin +160 C1的极坐标方程为 28cos 10sin +160 （2）曲线C2的极坐标方程为 2sin 曲线 C2的直角坐标方程为 x2+y22y0， 联立 22 22 810160 20 xyxy xyy ， 解得 1 1 x y 或 0 2 x y ， C1与 C2交点的极坐标为（ 2， 4 ）和（ 2， 2 ） 8 （2012 年）已知曲线C1的参数方程是 2cos 3sin x y （为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极 轴建立坐标系，曲线C2的坐
13、标系方程是 2，正方形ABCD 的顶点都在C2上，且 A，B，C，D 依逆时针 次序排列，点A 的极坐标为（2， 3 ） （1）求点 A，B，C，D 的直角坐标； （2）设 P 为 C1上任意一点，求 |PA| 2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围 【解析】（1）点 A，B，C，D 的极坐标为（ 2， 3 ） ， （2， 5 6 ） ， （2， 4 3 ） ， （2， 11 6 ） ， 点 A，B，C，D 的直角坐标为（1，3） ， （3，1） ， （1，3） ， （3，1） （2）设 P（x0，y0） ，则 0 0 2cos 3sin x y （为参数）， t|PA|2+|PB|
14、2+|PC|2+|PD|24x2+4y2+1632+20sin 2 ， sin2 0，1， t 32，52 9 （2011 年）在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为 2cos 22sin x y （为参数） M 是 C1上的动点， P 点满足2 u uu ruu uu r ，P 点的轨迹为曲线C2 （1）求 C2的方程； （2）在以O 为极点， x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 3 与 C1的异于极点的交点为 A，与 C2 的异于极点的交点为B，求 |AB| 【解析】（1）设 P（x，y） ，则由条件知M（ 2 x ， 2 y ） 由于 M 点在 C1上， 所以 2cos 2 2
15、2sin 2 x y ，即 4cos 44sin x y ， 从而 C2的参数方程为 4cos 44sin x y （为参数） （2）曲线 C1的极坐标方程为 4sin ，曲线 C2的极坐标方程为 8sin 射线 3 与 C1的交点 A 的极径为 14sin 3 ， 射线 3 与 C2的交点 B 的极径为 28sin 3 所以 |AB| 2 1|2 3 10 （2010 年）已知直线C1： 1cos sin xt yt （t 为参数），C2： cos sin x y （为参数） （1）当 3 时，求 C1与 C2的交点坐标； （2）过坐标原点O 做 C1的垂线，垂足为 A，P 为 OA 中点，
16、当变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指 出它是什么曲线 【解析】（1）当 3 时， C1的普通方程为 31yx， C2的普通方程为x2+y2 1 联立方程组 22 31 1 yx xy ， 解得 C1与 C2的交点为（ 1，0） ， （ 1 2 ， 3 2 ） （2）C1的普通方程为 xsin ycos sin 0 则 OA 的方程为xcos+ ysin 0， 联立可得xsin2 ，y cos sin ； A 点坐标为（ sin2 ， cos sin ） ， 故当 变化时， P 点轨迹的参数方程为 21 sin 2 1 sincos 2 x y （为参数）， P 点轨迹的普通方程为 2 2 11 416 xy 故 P 点轨迹是圆心为（ 1 4 ，0） ，半径为 1 4 的圆
