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1、对称思想在几何中的应用研究郑莹莹（淮北师范大学数学科学学院，淮北，235000）摘要对称思想是一种重要的数学思想，存在于数学的很多领域。对称思想是研究数学问题常用的思想方法，对称是一种美，数学中的对称美主要表现在几何图形的对称、式子的 对称、解题方法的对称等方面。本文讨论对称思想在平面几何、解析几何、立体几何、射影几何中的应用并举例说明分析。关键词对称思想几何应用the Research of Symmetrical Idea in the GemmetryZheng Ying Ying（School of Mathematical Science，Huaibei Normal Univers
2、ity，Huaibei，235000）AbstractSymmetrical idea is an important mathematical thought,which exists in manyareas of mathematics,of which we should give enough attention.Symmetrical idea is thinking method which is the study math problems commonly used.Symmetry is a beauty,the symmetrical beauty of mathema
3、tics is mainly manifested in the symmet-rical geometric figure,the symmetrical formula,the symmetrical method of solving problem,ect.This paper discusses symmetrical ideas in plane geometry,and analytic geometry,three-dimensional geometry,projective geometry,and illustrates the appli-cation.Key Word
4、s:Symmetry idea Geometrical application目录引言一对称思想的意义二对称思想在初等数学中的应用（一）对称思想在平面几何中的应用（二）对称思想在平面解析几何中的应用（三）对称思想在立体几何中的应用三对称思想在高等数学中的应用（一）对称思想在射影几何中的应用（二）对称思想在空间解析几何中的应用参考文献后记引言从数学发展的历程和数学本身的特征看， 数学表现出对称性、统一性等科学美学特征。数学美的思想方法对数学、数学教育的发展起到过积极作用，在今后的科学研究、数学教育中还会起到一定的启迪作用。数学中的 对称思想蕴涵着丰富的美学思想和思维方法，充分挖掘教材中的 对称思
5、想，具有重要的理论意义和现实意义，特别具有审美教育的价值。一对称思想的意义对称似乎是世间万事万物的一种表现形式或现象，而且它成为各种学科，如数学、物理、化学、生物、医学、建筑、美学、绘画等的基本理论和表现形式之一。哥白尼 说：“ 在这种有条不紊的安排之下，宇宙中存在着奇妙的 对称” 对称是广 义的，字母的对称，结构的对称，图形的对称，解法的对称 ，无论是哪种对称都是美好的。数学对称包括狭义的对称、常 义的对称和泛对称。狭义的对称又包括代数 对称和几何对称。对称思想是数学思想中的一个重要组成部分，它普遍表 现 在初等数学与高等数学的各个分支。笛卡儿 创建的解析几何学可以说是对称思想在数学领域成功
6、的运用。在 这种坐标 几何学中，代数方程与几何 图形之间建立了一种对称，使代数与几何化为一体，达到完美的统一。在高等数学里，对称的例子也经常遇到。矩阵和行列式被人们称为“美丽的花园”，即使不懂数学的人，也能感到其排列的整齐和处处对称，从而 领略它 们的形式之美。从更广泛的意义上讲，数学中的 对称思想不仅在几何中得到体 现，在数学的知 识体系中同样有着广泛的体现。从运算角度看：加与减、乘与除、乘幂与开方、指数与对数、微分与 积 分、矩 阵与逆矩阵等，这些互逆运算都可以看作一种“对称” 关系。从函数角度看，函数与反函数也可视为一种“ 对称”,还有变换与反变换、映像与逆映像等也属对称。从命 题的角度
7、看，正定理与逆定理、否定理、逆否定理等也存在着“ 对称”关系。“ 对偶 ”关系也可视为“ 对称”的一种形式。集合 论中的棣莫弗公式就是关于差集的对偶原理。在逻辑 代数(布尔代数)运算中也相应 的有对偶原理。在射影几何中，点和直 线之间建立了对偶关系，进而得出对偶原理：在平面几何的任一定理中，如果把点换 成直线，直 线换成点，并把诸种关系换成相应的对偶关系，所得到的新命题依然成立。二对称思想在初等几何中的应用一一一 对称思想在平面几何中的应用平面几何中的对称主要指轴对称和中心对称两种，他 们揭示了 图形自身的一种特殊结构或图形与图形之间特殊的形状、大小和位置关系，当我们从运 动变化的角度来审视这
8、个概念 时，它又是一种特殊的几何 变换保距式全等变换，从而成为一种重要的数学思想方法和解题手段， 认真领会数学的思想和方法，最佳途径莫过于通过对具体数学问题的认识与解决来进行，以下我们通过几个典型的例 题来说明对称思想在平面几何中 应用.例一：已知：如图1, ， ， 是角平分线 延长线上一点.ABCPAD求证： .分析：课本中证明线段不等关系的主要根据就是三角形三边关系定理及其推论，但问题中所涉及的线段常常并不在同一个三角形之中，显然必须转 移和重新集中，关 键是如何转 移，角是轴对称图形，它的平分线所在直线就是对称轴，由此想到在本题中沿 翻转线段 到 上，既构造了 ，又使得 置于同一个DBC
9、,PBC三角形之中.图1证明：在 上截取 ，连结 ， ，ABECPABCE由 平分 ，易得 ，D在 中， ， .PP例二：已知：如图2，在 中， 于 ， ， 为 上任一点.DDA求证： .分析：与例一类似，还是要把线 段转移和重新集中，由 容易想到轴对称，所以，取点 关于 的对称BD点 ，从而转移 、 ，把四条线段化入如图的 和 中得以证明.EF图2证明：在 上截取 ，连结 、 , 、 交与点 ，DCEBPAECF又 ，A,在 和 中，PFF即 .例三：已知：如图3， 中， ， 于 ，点 在 内.DPABD求证： .图3分析：课本中证明角的不等关系的主要依据就是三角形内角和定理及推论，如何构造
10、这两个角的直接或间接内外角关系的关键，这就要分割目前的 邻角关系， 转移重构位置关系，题设中的等腰三角形是轴对称图形，如图，作出点 的对称点P可达到这一目的：22DEB .APFCAEGAPC例四：已知：如图4，在 中， ， 是 的中点。 、 分别在 、 上，且 09MBEFBCA.M09求证： .22图4分析：有结论知， 、 、 应该是一个直角三角形的三条边，关键是如何把它们放入一个直角三角形之中，AFBE题设中， 是 的中点，在平面几何中最常用的就是以中点为中心，进行中心对称旋转，如图4，将 以MAMF为中心对称变换至 处，可得三 边分别等于 、 、 的 .DAFBERtD证明：延长 至
11、,使 ，连结 、 .又 ， ，09E在 和 中， ，MAFB， C0 9 DEAC022AFB例五：已知 是正方形， 是 上的一点， ， 是 平分线，交 与DEBCAFBEC.求证：证明：过 作 与 ,FHAE平分B与 关于 对称，B于是 ， 为等腰三角形，CFCH而 与 关于 对称FHBA故FC例六：半径为 的圆内接正方形的各边为直径，向形外各作半圆，求 这四个半圆与外接圆所围成的四个月牙形面积 的和。4解： 根据圆和正方形的对称性知道：月牙形 的面积的 倍，便是四个月牙形面积的和.AmBn4月牙形的面积为: 2211.4BnSRR月 牙=()OoS月 牙 扇半 圆O圆 的 半 径 为 ，
12、正 方 形 边 长 ， 2114S半 圆 214OABABRSR扇 ， 21.mnS月 牙综上我们的例题，我们知道了 对称思想在平面几何中的应 用。具体来 说，平面几何中有些图形，具有对称性。如等腰三角形、等边三角形沿着它们底 边上的高可以把由高分成的两部分 对折而重合，我 们说它们具有轴对称的性质平行四 边形可以绕它的对角线的交点旋转后与原图形重合，我 们说平行四 边形具有中心对称的性质。矩形、菱形、正方形及圆等又具有轴对称的性质，又具有中心对称的性 质。 对称性，在图案的设计中有着不言而喻的作用。这可以说是对称性的一个应用。特别的，有些几何题，借用它的对称性质，使它的解答简捷、明快，而得到
13、特殊的思维效果。（二）对称思想在平面解析几何中的应用解析几何是通过一种代数的方法来研究点与点、点与线、 线 与线的关系，比如通过两点的坐标来求两点间的距离，圆 上一点与直线距离等等，解析几何是以 强大的代数运算为基 础，突出了代数的数学化和运算化。中学阶段平面解析几何的大致结构包括：直线、圆、椭圆、双曲 线、抛物线。它 们的解析式，它们的具体性质，它们相互之间的关系也就是我们中学所要学习的内容。1点关于点的对称点的求法设点 关于点 的对称点为 ，由中点坐标公式 、 ，解(,)Pab(,)Mxy(,)Pab2axby得 、 ，因此有点 关于点 的对称点坐标为AC2xy(,).y2点关于直线的对称
14、点的求法（1）点 关于 轴、 轴、原点、直线 、直线 、直 线 、直线 的对称点分别为(,)mn、 、 、 、 、 、ab(,)ab(,)a(2,)b.a（2）点 关于直线 的对称点 的坐标为 ；0xycAycx点 关于直线 的对称点 的坐标为A ,.3曲线关于点的对称曲线的求法曲线 关于点 的对称曲线 的方程为： 特别地，:(,)Cf(,)PabC(2,)0.faby关于原点对称曲线方程为(,)0fxy.4曲线关于直线的对称曲线的求法曲线 关于直线 的对称曲线为 曲线,f 0xyc(,);fycx关于直线 的对称曲线为()xy,0.1例一：已知点 关于原点的对称点为P1(2,3).求点 关于 轴的对称点 关于 轴的对称点 关于直线 的对称点y,Pyx4.P解：因为点 关于原点的对称点为 所以 点的坐标为 ,故点 关于 轴、 轴、直 线(23)xy的对称点分别为 、 、yx(,)()4().例二：求点 关于直线 的对 称点的坐标。(2,)A:2
