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1、第七节 动能和动能定理【知能准备】1物体由于_而具有的能叫做动能，反之，凡是做_的物体都具有动能，质量为m的物体，以速度v运动时的动能是Ek=_。2国际单位制中，动能的单位是_。1970年我国发射的第一颗人造地球卫星，质量为173kg，运动速度为7.2km/s，它的动能是_。3动能是矢量还是标量？_；动能是状态量还是过程量？_；动能可能小于零吗？_；动能具有相对性，参考系的不同，速度就不同，动能就_。一般取_为参考系。4动能是由物体的质量和速度的大小共同决定的，由于速度是矢量，因此，物体的速度变化，动能_。5力在一个过程中对物体所做的功等于_。这个结论叫做_，可用公式表述为W=_，其中Ek1表
2、示_， Ek2表示_，W表示_。如果物体受到几个力的作用，则动能定理中的W表示_ 。 6物体的动能增加，表示物体的动能增量是_值，合外力对物体做的功为_值；反之，物体的动能减少，表示物体的动能增量是_值，合外力对物体做的功为_值。【同步导学】1理解动能定理（1）力（合力）在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。这就是动能定理，其数学表达式为W=Ek2Ek1。通常，动能定理数学表达式中的W有两种表述：一是每个力单独对物体做功的代数和，二是合力对物体所做的功。这样，动能定理亦相应地有两种不同的表述： 外力对物体所做功的代数和等于物体动能的变化。 合外力对物体所做的功等于物体动能
3、的变化。例1 一架喷气式飞机，质量m=5103kg，起飞过程中从静止开始滑跑的路程为s =5.3102m时，达到起飞的速度v =60m/s，在此过程中飞机受到的平均阻力是飞机重量的0.02倍（k=0.02），求飞机受到的牵引力。NGfF解答：取飞机为研究对象，对起飞过程研究。飞机受到重力G、支持力N、牵引力F 和阻力f 作用，如图2-7-1所示2-7-1各力做的功分别为WG=0，WN=0，WF=Fs，Wf=-kmgs.起飞过程的初动能为0，末动能为据动能定理得： 代入数据得：点评：上面的解法中是先求出各个力的功，再求出功的代数和。当几个力同时对物体做功时，也可以先求出物体所受的合力，再求出合力
4、的功。然而，当几个力对物体做功有先后时，那就只能先求出各个力的功，再求出功的代数和。例2 将质量m=2kg的一块石头从离地面H=2m高处由静止开始释放，落入泥潭并陷入泥中h=5cm深处，不计空气阻力，求泥对石头的平均阻力。（g取10m/s2）hH2-7-2 解答 石头在空中只受重力作用；在泥潭中受重力和泥的阻力。对石头在整个运动阶段应用动能定理，有。所以，泥对石头的平均阻力N=820N。 （2）动能的变化是末动能减去初动能，称之为动能的“增量”。动能的变化量为正值，表示物体的动能增加了，对应于合力对物体做正功；动能的变化量为负值，表示物体的动能减小了，对应于合力对物体做负功，或者说物体克服合力
5、做功。例3 一质量为0.3的弹性小球，在光滑的水平面上以6m/s的速度垂直撞到墙上，碰撞后小球沿相反方向运动，反弹后的速度大小与碰撞前速度的大小相同，则碰撞前后小球速度变化量的大小v和碰撞过程中墙对小球做功的大小W为（ ）A .v=0 B. v=12m/s C. W=0 D. W=10.8J解答 由于碰撞前后速度大小相等方向相反，所以v=vt-(-v0)=12m/s,根据动能定理答案：BC若小球撞墙后速度大小变为3m/s，则碰撞前后小球速度变化量v？碰撞过程中墙对小球做功的W？（3）动能定理的计算式为标量式，V为相对地面的速度。（4）动能定理的适用范围动能定理是从牛顿第二定律F=ma和匀变速直
6、线运动公式v22v12=2al推导而得的，虽然它是在受恒力作用、物体做直线运动的特殊条件下得到的，但是，当物体受变力作用或做曲线运动时，我们可把过程分解成许多小段，认为物体在每小段受恒力作用、做直线运动。因此，无论作用在物体上的合力的大小和方向是否改变，物体是沿直线运动还是沿曲线运动，结论仍然成立。也就是说，动能定理适用于直线运动，也适用于曲线运动；适用于恒力做功，也适用于变力做功。力可以是各种性质的力，既可以同时作用，也可以分段作用。只要求出和确定各力做功的多少和正负即可。值得注意的是，在推导动能定理的过程中应用了只能在惯性参考系中成立的牛顿第二定律，因而动能定理也只适用于惯性参考系。例4
7、在h高处，以初速度v0向水平方向抛出一个小球，不计空气阻力，小球着地时速度大小为（ ）A. B. C. D. 解答 小球下落为曲线运动，在小球下落的整个过程中，对小球应用动能定理，有，解得小球着地时速度的大小为 。正确选项为C。注意：应用动能定理只能求出小球着地时速度的大小，而无法求出速度的方向。若要求小球着地时速度的方向，还得应用平抛运动的相关规律。2-7-3FOPQl例5 一质量为m的小球，用长为l的轻绳悬挂于O点。小球在水平拉力F作用下，从平衡位置P点很缓慢地移动到Q点，如图2-7-3所示，则拉力F所做的功为（ ）A. mglcos B. mgl(1cos) C. Flcos D. Fl
8、sin解答 将小球从位置P很缓慢地拉到位置Q的过程中，球在任一位置均可看作处于平衡状态。由平衡条件可得F=mgtan，可见，随着角的增大，F也在增大。而变力的功是不能用W= Flcos求解的，应从功和能关系的角度来求解。小球受重力、水平拉力和绳子拉力的作用，其中绳子拉力对小球不做功，水平拉力对小球做功设为W，小球克服重力做功mgl(1cos)。小球很缓慢移动时可认为动能始终为0，由动能定理可得 Wmgl(1cos)=0， W= mgl(1cos)。正确选项为B。 2应用动能定理（1）动能定理应用的思路动能定理中涉及的物理量有F、l、m、v、W、Ek等，在处理含有上述物理量的力学问题时，可以考虑
9、使用动能定理。由于只需从力在各段位移内的功和这段位移始末两状态动能变化去研究，无需注意其中运动状态变化的细节，又由于功和动能都是标量，无方向性，无论是对直线运动或曲线运动，计算都会特别方便。当题给条件涉及力的位移效应，而不涉及加速度和时间时，用动能定理求解一般比用牛顿第二定律和运动学公式求解简便。用动能定理还能解决一些用牛顿第二定律和运动学公式难以求解的问题，如变力作用过程、曲线运动等问题。（2）应用动能定理解题的一般步骤： 确定研究对象和研究过程。 分析物理过程，分析研究对象在运动过程中的受力情况，画受力示意图，及过程状态草图，明确各力做功情况，即是否做功，是正功还是负功。 找出研究过程中物
10、体的初、末状态的动能（或动能的变化量） 根据动能定理建立方程，代入数据求解，对结果进行分析、说明或讨论。2-7-4例6 如图2-7-4所示，绷紧的传送带在电动机带动下，始终保持v02m/s的速度匀速运行，传送带与水平地面的夹角30，现把一质量ml0kg的工件轻轻地放在传送带底端，由传送带传送至h2m的高处。已知工件与传送带间的动摩擦因数，g取10m/s2。(1)试通过计算分析工件在传送带上做怎样的运动?(2)工件从传送带底端运动至h2m高处的过程中摩擦力对工件做了多少功? 解答 (1)工件刚放上皮带时受滑动摩擦力，工件开始做匀加速直线运动，由牛顿运动定律可得m/s2=2.5m/s2。设工件经过
11、位移x与传送带达到共同速度，由匀变速直线运动规律可得 m=0.8m4m。故工件先以2.5m/s2的加速度做匀加速直线运动，运动0.8m与传送带达到共同速度2m/s后做匀速直线运动。(2)在工件从传送带底端运动至h2m高处的过程中，设摩擦力对工件做功Wf，由动能定理 ,可得 JJ=220J。点评 本题第（2）问也可直接用功的计算式来求：设工件在前0.8m内滑动摩擦力做功为Wf1，此后静摩擦力做功为Wf2，则有Wf1=mgcosx=J=60J,Wf2=mgsin(sx)=J=160J。所以，摩擦力对工件做的功一共是Wf= Wf1+ Wf2=60J+160J=220J。当然，采用动能定理求解要更为简
12、捷些。（3）应用动能定理求变力的功。2-7-5例7 如图2-7-5所示，AB为1/4圆弧轨道，半径为R=0.8m，BC是水平轨道，长S=3m，BC处的摩擦系数为=1/15，今有质量m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C点刚好停止。求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功。 解答：物体在从A滑到C的过程中，有重力、AB段的阻力、BC段的摩擦力共三个力做功，WG=mgR，fBC=umg，由于物体在AB段受的阻力是变力，做的功不能直接求。根据动能定理可知：W外=0，所以mgR-umgS-WAB=0即WAB=mgR-umgS=1100.8-1103/15=6(J)点评：如果我们所研究的问题中有多个力
13、做功，其中只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功比较容易计算，研究对象本身的动能增量也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功。例8 电动机通过一条绳子吊起质量为8kg的物体。绳的拉力不能超过120N，电动机的功率不能超过1200W，要将此物体由静止起，用最快的方式将物体吊高90m（已知物体在被吊高90m以前已开始以最大速度匀速上升），所需时间为多少？（g取10 m/s2） 解答 起吊最快的方式是：开始时以最大拉力起吊，达到最大功率后维持最大功率起吊。在匀加速运动过程中，加速度为m/s2=5 m/s2，末速度 m/s=10m/s，上升时间 s=2s，上升高度 m=10m。在功率恒定的过程中，最后匀速运动的速度为m/s=15m/s，由动能定理有 ，解得上升时间s=5.75s。所以，要将此物体由静止起，用最快的方式将物体吊高90m，所需时间为t=t1+t2=2s+5.75s=7.75s。（4）应用动能定理解多过程问题2-7-6例9一个物体从斜面上高h处由静止滑下并紧接着在水平面上滑行一段距离后停止，测得停止处对开始运动处的水平距离为S，如图2-7-6，不考虑物体滑至斜面底端的碰撞作用，并设斜面与水平面对物体的动摩擦因数相同求动摩擦因数解答 设该斜面倾角为，斜坡长为l，则
