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1、2021年全国高考理科数学试题及答案-湖北卷试卷类型A2012年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(理工类) 本试卷共5页,共22题,其中第15、16题为选考题,满分150分。考试用时120分钟。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分 ,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的 1. 方程 2x +6x +13 =0的一个根是A -3+2iB 3+2iC -2 + 3iD 2 + 3i2 命题“?x 0C R Q , 30x Q ”的否定是A ?x 0?C R Q ,30x QB ?x 0C R Q ,30x ?Q C ?x 0?C R Q , 30x QD ?x
2、 0C R Q ,30x ?Q3 已知二次函数y =f(x)的图像如图所示 ,则它与X 轴所围图形的面积为 A.25 B.43 C.32 D.24.已知某几何体的三视图如图所示,则该集合体的体积为 A.83 B.3 C. 103 D.6 5.设a Z ,且0a 13,若512012+a 能被13整除,则a= A.0 B.1 C.11 D.126.设a,b,c,x,y,z 是正数,且a 2+b 2+c 2=10,x 2+y 2+z 2=40,ax+by+cz=20,则a b cx y z+=+A.4 B. 3 C. 2 D,47.定义在(-,0)(0,+)上的函数f (x ),如果对于任意给定的
3、等比数列a n ,f (a n )仍是等比数列,则称f (x )为“保等比数列函数”。现有定义在(-,0)(0,+)上的如下函数:f (x )=x 2;f (x )=2x ;f (x )=ln|x |。则其中是“保等比数列函数”的f (x )的序号为 A. B. C. D.8.如图,在圆心角为直角的扇形OAB 中,分别以OA ,OB 为直径作两个半圆。在扇形OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是 A.B.C.D. 9.函数f (x )=xcosx 2在区间0,4上的零点个数为 A.4 B.5 C.6 D.710.我国古代数学名著九章算术中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,
4、所得开立方除之,即立圆径,“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ,求其直径d 的一个近似公式。人们还用过一些类似的近似公式。根据 =3.14159.判断,下列近似公式中最精确的一个是 二、填空题:本大题共6小题,考试共需作答5小题,每小题5分,共25分。请将答案填在答题卡对应题号的位置上。答错位置,书写不清,模棱两可均不得分。 (一)必考题(11-14题)11.设ABC 的内角A ,B ,C ,所对的边分别是a ,b ,c 。若(a+b-c )(a+b+c )=ab , 则角C=_。12.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,输出的结果s=_. 13.回文数是指从左到右与从右到左读都一样的
5、正整数。如22,,121,3443,94249等。显然2位回文数有9个:11,22,33,99.3位回文数有90个:101,111,121,191,202,999。则 ()4位回文数有_个;()2n 1(n N +)位回文数有_个。14.如图,双曲线),(1x 2222o b a by a =-的两顶点为A 1,A 2,虚轴两端点为2B B ,两焦点为F 1,F 2。若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2,切点分别为A ,B ,C ,D 。则()双曲线的离心率e=_; ()菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值=21S S _。 (二)
6、选考题(请考生在第15、16两题中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑,如果全选,则按第15题作答结果计分。) 15.(选修4-1:几何证明选讲)如图,点D 在O 的弦AB 上移动,AB=4,连接OD ,过点D 作OD 的垂线交O 于点C ,则CD 的最大值为_。 16.(选修4-4:坐标系与参数方程)在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知射线4=与曲线?-=+=2)1(1x t y t (t 为参数)相较于A ,B 来两点,则线段AB 的中点的直角坐标为_。 三、解答题:本大题共6小题,共75分。解答应写出文字
7、说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分12分)已知向量a=)sin sin (cos x x x ,-,b=)cos 32sin cos (x x x ,-,设函数f (x )=a b+)(R x 的图像关于直线x=对称,其中,为常数,且)(1,21 (1) 求函数f (x )的最小正周期;(2) 若y=f (x )的图像经过点)(0,4求函数f (x )在区间?530,上的取值范围。18.(本小题满分12分)已知等差数列a n 前三项的和为-3,前三项的积为8. (1)求等差数列a n 的通项公式;(2)若a 2,a 3,a 1成等比数列,求数列n a 的前n 项的和。19.(本小题
8、满分12分)如图1,ACB=45,BC=3,过动点A 作AD BC ,垂足D 在线段BC 上且异于点B ,连接AB ,沿AD 将ABD 折起,使BDC=90(如图2所示),(1)当BD 的长为多少时,三棱锥A-BCD 的体积最大;(2)当三棱锥A-BCD 的体积最大时,设点E ,M 分别为棱BC ,AC 的中点,试在棱CD 上确定一点N ,使得EN BM ,并求EN 与平面BMN 所成角的大小20(本小题满分12分)历年气象资料表明,该工程施工期间降水量X小于300,700,900的概率分别为0.3,0.7,0.9,求:(I)工期延误天数Y的均值与方差;()在降水量X至少是300的条件下,工期
9、延误不超过6天的概率。21.(本小题满分13分)设A是单位圆x2+y2=1上的任意一点,i是过点A与x轴垂直的直线,D是直线l与x轴的交点,点M 在直线l上,且满足丨DM丨=m丨DA丨(m0,且m1)。当点A在圆上运动时,记点M的轨迹为曲线C。(I)求曲线C的方程,判断曲线C为何种圆锥曲线,并求焦点坐标;()过原点且斜率为k的直线交曲线C于P、Q两点,其中P在第一象限,它在y轴上的射影为点N,直线QN交曲线C于另一点H,是否存在m,使得对任意的k0,都有PQPH?若存在,求m的值;若不存在,请说明理由。22.(本小题满分14分)(I)已知函数f(x)=rx-x r+(1-r)(x0),其中r为有理数,且0(II)试用(I)的结果证明如下命题:设a10,a20,b1,b2为正有理数,若b1+b2=1,则a1b1a2b2a1b1+a2b2;(III)请将(II)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法证明你所推广的命题。注:当为正有理数时,有求道公式(x)r=x-1