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1、第2讲 计算综合（二） 本讲主要是补充计算综合(I)未涉及和涉及不深的问题，但不包括多位数的运算 1n(n+1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)3； 2从1开始连续n个自然数的平方和的计算公a式： 3平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)1 已知a=试比较a、b的大小.【分析与解】其中A=99,B=99+因为A98+，所以有a b2.试求的和？【分析与解】 记则题目所要求的等式可写为：而所以原式的和为1评注：上面补充的两例中体现了递推和整体思想2 试求1+2+3+4+4+100的值?【分析与解】 方法一：利用等差数列求和公式，(首项+末项)项数2=(1+100)1002=
2、5050方法二：倒序相加，1+ 2+ 3+ 4+ 5+ 97+ 98+ 99+ 100 100+ 99+ 98+ 97+ 96+4+ 3+ 2+ 1,上下两个数相加都是101，并且有100组，所以两倍原式的和为101100，那么原式的和为10l100 2=5050方法三：整数裂项(重点)， 原式=(12+22+32+42+1002)2=5050.3 试求l2+23+34+45+56+99100 【分析与解】方法一：整数裂项原式=(123+233+343+453+563+991003)3 =123+23(4-1)+34(5-2)+45(6-3)+56(7-4)+99100(101-98)3 方程
3、二：利用平方差公式12+22+32+42+n2= 原式：12+l+22+2+32+3+42+4+52+5+992+99 =12+22+32+42+52+992+1+2+3+4+5+99 = =328350+4950 =3333005计算下列式子的值： 0.10.3+0.20.4+0.30.5+0.40.6+9.79.9+9.810.0 【分析与解】这个题看上去是一个关于小数的问题，实际上我们可以先把它们变成整数，然后再进行计算即先计算13+24+35+46+9799+98100。再除以100方法一：再看每一个乘法算式中的两个数，都是差2，于是我们容易想到裂项的方法 0.10.3+0.20.4+
4、0.30.5+0.40.6+9.79.9+9.810.0=(13+24+35+46+9799+98100)100=(l2+1)+(23+2)+(34+3)+(45+4)+(9798+97)+(9899+98)100=(12+23+34+45+9798+9899)+(1+2+3+4+97+98)100=(9899100+9899)100=3234+48.51=3282.51方法二：可以使用平方差公式进行计算 0.10.3+O.20.4+0.30.5+0.40.6+9.79.9+9.810.0=(13+24+35+46+9799+98l00)100=(12-1+22-1+32-1+42-1+52-
5、1+992-1)100=(11+22+32+42+52+992-99)100=(99100199-99)100=16.5199-0.99=16.5200-16.5-0.99 =3282.51 评注：首先，我们要清楚数与数之间是相通的，小数的计算与整数的计算是有联系的下面简单介绍一下整数裂项 12+23+34+(n-1)n=123+233+343+(n-1)n3=123+23(4-1)+34(5-2)+(n-1)nn+1-(n-2)=6.计算下列式子的值： 【分析与解】 虽然很容易看出可是再仔细一看，并没有什么效果，因为这不像分数裂项那样能消去很多项我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式12+22+32+n2=n(n+1)(2n+1)，于是我们又有减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢?=7计算下列式子的值：【分析与解】显然直接求解难度很大，我们试着看看是否存在递推的规律.显然12+1=2;所以原式=1980122=396024习题计算1718+1819+1920+2930的值提示：可有两种方法，整数裂项，利用1到n的平方和的公式.答案：(293031-161718)3=291031-16176=7358.5
