追及问题种类及其分析

追及问题种类及其分析湖北 应城一中 何飞 432400两个物体在同一条直线上运动，两物体间的距离发生变化时，可能会出现最大距离、最小距离或者是相遇的情况，我们把这类问题称为追及相遇问题相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体间的距离时即相遇，可见相遇问题即是追及问题一、追及问题分析：追和被追的两物体的速度相等（同向运动）是能追上、追不上、两者相距有极值的临界条件速度大者减速（如：匀减速直线运动）追速度小者（如：匀速直线运动）：①.两者速度相等，追者位移仍小于被追者位移，则永远追不上，此时二者间有最小距离；②.若速度相等时，有相同位移，则刚好追上，也是二者相遇时避免碰撞的临界条件；③.若位移相同时，追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还能有一次追上追者，二者速度相等时，二者间距离有一个较大值速度小者加速（如：初速为零的匀加速直线运动）追速度大者（如：匀速直线运动）：①.当两者速度相等时，二者间有最大距离；②.当两者位移相等时，即后者追上前者二、追及问题分类：1.匀加速追匀速①.图像：如图 1 所示②.分析：能追及且只能相遇一次，相遇时刻 ，如2t图中，两阴影部分面积相等时即相遇。

以后匀加速的速度越来越快，匀速的追不上匀加速的了，故只能相遇一次③.交点意义：速度相等（ 时刻） ，此时两物体相距最远，1t以后距离逐渐的减小，直到追及为止2.匀减速追匀速：①.图像：如图 2 所示②.分析：当 时， .若 ，则恰好能追及，这也是避免相撞的临界条件，v减 匀 a0s此时只能相遇一次； .若 ，则不能追及；若 （即当 时，b00s10s） ，此时能相遇两次（ 为开始追及时两物体的距离） v减 匀 s③.交点意义：速度相等时若还未追及则距离最远（用此可以来判断相遇几次） 3.匀速追匀加速：①.图像：如图 3 所示②.分析：在 时， .若 ，则恰好能追及，这也是避免相撞的临界条件，v加 匀 a0s此时只能相遇一次； .若 ，则不能追及；若 （即b00s当 时， ） ，此时能相遇两次（ 为开始追及时两10sv加 匀 0物体的距离） ③.交点意义：速度相等时若未追及则为最近距离4.匀速追匀减速：①.图像：如图 4 所示②.分析：能追及且只能相遇一次（即在 时刻，两阴影部分面积相等） 1t③.交点意义：速度相等时（即 时刻） ，两物体相距最远0t5.匀加速追匀减速：①.图像： 如图 5 所示。

②.分析：能追及且只能相遇一次（即在 时刻，两阴影部1t分面积相等） ③.交点意义：速度相等时（即 时刻） ，两物体相距最0t远6.匀减速追匀加速：①.图像：如图 6 所示②.分析：在 时， .若 ，则恰好能追及，这也是避免相撞的临界条件，v减 加 a0s此时只能相遇一次； .若 ，则不能追及；若 （即当 时，b00s10s） ，此时能相遇两次（ 为开始追及时两物体的距离） v加 减 s③.交点意义：速度相等时若未追及则为最近距离三、追及问题方法：在处理追及相遇问题的时候，往往用到的下列方法：1.物理分析法；2.相对运动法；3.极值法；4.图像法例：火车以速度 匀速行驶，司机发现前方同轨道上相距 处有另一火车沿同方向1v s以速度 做匀速运动，已知 ，司机立即以加速度 紧急刹车，为使两车不相撞，加2v2a速度 大小应满足什么条件？a解析：方法一（物理过程分析法）：后车刹车后虽然做匀减速运动，但在速度减小到和 相等之前，两车的距离仍将逐渐2v减小；当后车速度减小到小于前车速度，两车距离将逐渐增大，可见，当两车速度相等时，两车距离最近，若后车减速的角速度过小，则会出现后车速度减为和前车速度相等之前即追上前车，发生撞车事故；若后车加速度过大，则会出现后车速度减为和前车速度相等时仍为追上前车，这根本不可能发生撞车事故；若后车加速度大小为某值时，恰能使两车在速度相等时后车追上前车，这正是两车恰不相撞的临界状态，此时对应的加速度即为两车不相撞的最小加速度。

综合上述分析可知，两车恰不相撞时应满足下列两方程： 210vtavts2联立上式可解得：210()vas所以：当 时，两车即不会相撞21()方法二（数学极值法）：要使两车不相撞，其位移关系应为： 21vtavts即： 21()0对于位移 和时间 ，上面不等式都成立的条件为：st21()va由此得：21vs所以：当 时，两车即不会相撞21()a方法三（相对运动法）：以前车为参考系，刹车后后车相对于前车做初速为 、加速度为 的匀减速021va直线运动，当后车相对前车的速度为零时，若相对位移 ，则不会相撞由 得：s20vs得：21()vssa21()vas所以：当 时，两车即不会相撞21()s方法四（图像法）：作出前后两车的 图像，如下图 7 所示，由此图可直观看出：要使两车不相撞，只vt要满足图中阴影部分的那个三角形的所谓面积 小于或等于 即可在阴影部分的三角形ss中，由 图线的物理意义知：vt，an12121()()tansv得： 所以：121()vs所以：当 时，两车即不会相撞21()vas。