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1、圆周运动的约束与脱轨 中学物理中所涉及到的圆周运动大致可分为两类：一类是物体只受主动力（如万有引力、库仑力）作用下的圆周运动，称为无约束圆周运动如人造地球卫星在地球引力作用下所做的匀速圆周运动；负电荷在库仑力作用下绕固定正电荷所做的匀速圆周运动等另一类是物体除受主动力外，还受约束反力（如悬线的拉力、轨道的弹力等）作用，从而被限制在某个轨道上做圆周运动，称为有约束的圆周运动如：（1）用不可伸长的细线挂一小球，使小球绕悬点在竖直平面内所做的圆周运动；（2）小滑块沿固定的光滑大球表面滑下的运动；（3）用轻质硬杆挂一小球，使小球绕悬点在竖直平面内所做的圆周运动；（4）用不可伸长的细线悬挂一小球，使小球
2、做圆锥摆等其中（1）、（2）中的约束对小球的轨道限制是单向的，限制小球不能从某一侧解除约束而发生脱轨，但允许从另一侧解除约束而发生脱轨，这种约束叫单向约束如（1）中小球只能因细线松弛时向内脱轨，而不可能向外脱轨；（2）中小滑块只能在与大球分离时而发生向外脱轨，不可能向内脱轨（3）中的约束对小球轨道的限制是双向的，小球既不能向外脱轨，又不能向内脱轨，这种约束叫双向约束（1）、（2）、（3）中的约束对运动物体的轨道限制不发生变化，属稳定约束；而（4）中的约束对小球的轨道限制是可变的，属不稳定约束现就无约束圆周运动和各种有约束圆周运动经常要研究的问题及方法作以下分析一、无约束稳定匀速圆周运动的条件及
3、脱轨原因物体做无约束稳定匀速圆周运动的条件是：所受的合外力（即主动力）始终指向轨道圆心，大小不变，与物体所需的向心力（2）正好相等，即2如果物体的速度变大，所需的向心力也变大，当2时，合外力不足以控制物体在原轨道上做圆周运动，故物体要向外脱轨；如果物体速度变小，所需的向心力也变小，当2时，造成控制过强，故物体向内脱轨例如，质量为的人造地球卫星，在离地面高的空中绕地球做匀速圆周运动时（取地球质量为，半径为，万有引力恒量为），由无约束稳定匀速圆周运动的条件可知：卫星所受的合外力即地球引力引（）2与卫星所需的向心力向2（）正好相等，即（）22（），那么如果则有其中式为高空卫星绕地球做稳定匀速圆周运动
4、的速度；式为近地卫星绕地球做匀速圆周运动的速度，又叫第一宇宙速度，或叫地球的环绕速度若绕地球做半径为（）的稳定匀速圆周运动的卫星受到某种扰动，使其速度变大，所需的向心力也变大如果地球引力小于向心力，则卫星将向外脱轨；如果速度变小，所需的向心力也变小，使得地球引力大于向心力，则卫星向内脱轨又如，当卫星发射速度大于第一宇宙速度而小于第二宇宙速度时，卫星形成椭圆轨道卫星从近地点向远地点运动的过程，可视为因速度过大，所需的向心力过大，使得引力不足以控制其做圆周运动而发生的外脱轨过程在此过程中，由于引力对卫星做负功，速度减小，所需的向心力也逐渐减小；到达远地点时，引力大于向心力而控制过强，故从远地点向近
5、地点运动的过程又可视为因引力控制过强而发生的内脱轨过程总之，无约束稳定的匀速圆周运动的条件是：合外力与所需的向心力始终相等卫星脱离圆形轨道的原因是其速度大小发生了变化，卫星无论是脱轨时所做的近心运动或离心运动，还是绕椭圆轨道运行，其速度都不满足式，也不满足式，因为它不符合稳定匀速圆周运动的条件二、有约束圆周运动约束反力的计算及脱轨点的确定这类圆周运动，有的是单向约束，有的是双向约束，有的属稳定约束，也有的属不稳定约束，具体问题通过以下例题加以说明例1如图1，质量为的小球，用长度为的细线挂于点，小球以0速度从最低点起动，绕点在竖直平面内做圆周运动写出细线对小球拉力的表达式；若发生脱轨，试确定脱轨
6、点，并分析脱轨原因及使其不脱轨且形成完整的圆周运动的最小起动速度图1解析：这是一个单向有约束的圆周运动小球所受细线的拉力（约束反力）受小球运动状态及重力的影响，大小、方向都是变化的，且有可能发生内脱轨解题思路是：先写出的表达式，再由0确定脱轨点，并分析其脱轨原因设某时刻小球运动到偏角为的点，速度为，其受力情况如图1所示对小球由牛顿第二定律得：2对小球由机械能守恒定律得：22022（1）、式联立解得细线对小球的拉力的表达式是：2，或0232由式得：在900的范围内，只要0（或由机械能守恒，只要0），一定有0，即小球不会在该范围内脱轨如果0，小球不能越过与圆心等高的点，只能沿原路返回，在点以下来回
7、摆动那么有可能脱轨的点一定在18090的区间由式，当0，即02230，可以确定脱轨点为：（202）3（02323）由式，1（02323）0得，小球在18090区间内脱轨的原因是0，即起动时速度过小显然使小球不脱轨形成完整圆周运动的条件是0，其最小值是0小球若以这个最小速度在点起动，由机械能守恒知，达最高点的速度为由式得，此时细线拉力0，此时仅以重力作向心力，由2也可得到0例2如图2，质量为的小滑块，从半径为的球的顶点以速度0开始沿光滑球面下滑，写出球对小滑块的支持力的表达式，并确定小滑块与球的分离点图2解析：这也是一个单向约束的圆周运动把小滑块沿球面下滑看作是圆周运动，把小滑块与球分离看作是向
8、外脱轨，该脱轨点的确定与例1大致相同设小滑块沿球面滑到点时速度为，偏角为，受力情况如图2所示对小滑块由牛顿第二定律得：2对小滑块由机械能守恒定律得22022（1）、式联立解得球对小滑块的支持力N的表达式为2或3202由式知，在90180的范围内，0，即小滑块不会沿球面滑到与球心等高的点以下，那么分离点一定在090的范围内由式，当0即32020可以确定分离点为：（202）323023由式可知，起动速度0越大，越小，分离越早若使小滑块在球顶点就分离，由230230得，0若00，即无初速度释放小滑块，让其沿光滑球面下滑，由式2302323可知，小球一定在沿球面下滑的竖直高度为233处分离例3如图3，
9、用长为的轻质硬杆挂一质量为的小球于点，使小球以0初速度从最低点起动若使小球能通过最高点形成完整的圆周运动，求起动速度0的取值范围，写出杆对小球作用力的表达式，并分析在什么情况下杆对小球施以推力，什么情况下杆对小球施以拉力图3解析：这是一个双向约束的圆周运动，小球是不可能脱轨的，但杆对小球的作用力的大小、方向均不断变化，有时是拉力，有时是推力，拉力和推力的分界点相当于例1、例2中的脱轨点设小球到达最高点的速度为，由机械能守恒得：222022由于是双向约束，小球不会脱轨，若使小球能通过最高点形成完整的圆周运动，则有0，即在最低点小球的起动速度0的取值范围是0，其最小值是02设某时刻该小球运动到点，
10、此时速度为，偏角为，受力情况如图3所示对小球由牛顿第二定律得：2对小球由机械能守恒定律得：22022（1）、式联立解得杆对小球的作用力的表达式是：2，或0223式中0为杆对小球的拉力；0为杆对小球的推力在0即23023的点以下，0即为拉力，以上0即为推力，故拉力与推力的区分点是：23023（02323）由式知，在900的范围内，无论多大，总有0，即区分点不会在与悬点O等高的点以下，而是在点以上的区域由式可知，起动速度0越大，越大，即区分点越靠近最高点例4如图4所示，圆锥摆的小球质量为，摆长为，现使小球以角速度做圆锥摆，试写出摆线的拉力、圆锥半顶角、圆轨道半径关于的关系式，说明这些关系式的意义，
11、并分析约束的变化图4解析：这是一个不稳定约束的圆周运动，约束对小球的轨道限制因角速度而异，小球既有可能内脱轨，又有可能外脱轨，其情况跟人造地球卫星的运动相似当小球以角速度做圆锥摆时，其受力情况如图4所示，图中是小球重力和摆线拉力的合力对小球由牛顿第二定律得：22，那么，2那么摆线拉力、圆锥半顶角、轨道半径关于角速度的关系式分别是：22（2）或以上关系式从数学意义上讲，它们的定义域显然是，这个定义域对应的物理意义是：将摆球拉开角，若让其做圆锥摆，角速度必须是，且否则，即使拉开的角再小，也不能做圆锥摆，这就跟发射人造地球卫星一样，发射速度必须大于或等于第一宇宙速度，否则卫星就会落回地面以上关系式的
12、意义在于表达了在定义域内做圆锥摆时，、关于的对应关系越大，、也越大，当时，对应的，90，；而越小，对应的、也越小，当时，对应的，0，即趋于静止状态图5如果做稳定圆锥摆的小球，受到某种扰动，使其角速度发生变化，约束将发生怎样的变化呢？这跟卫星脱轨很相似假如变大，所需的向心力向变大，使得合外力向，不足以控制小球在原轨道做圆周运动，从而发生脱轨在向外离心运动过程中，增大，小球上升，重力对其做负功，速度变小，而半径R变大；由向2知，所需的向心力又将变小，达最高点时，使得向，又要向内脱轨，做近心运动如此循环，将形成如图5中所示的向上翘起的椭圆锥摆如果变小，则将要形成如图5中所示的向下倾斜的椭圆锥摆在这角速度变化而引起约束变化形成椭圆锥摆的过程中，小球不是做稳定的匀速圆周运动，向，故摆线的拉力、圆锥半顶角、轨道半径R，均不满足前面的关系式来自: 中基网教学科研
