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1、2021考研数学一试题及答案解析2021考研数学一答案及解析 一、选择题：18小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。（1）若函数1(),0,0f x x axb x ?-?=?在0x =连续，则（ ）。 A. 12ab = B. 12ab =-C. 0ab =D. 2ab = 【答案】A 【解析】由连续的定义可得-+ lim ()lim ()(0)x x f x f x f =，而+2000112lim ()lim lim 2x x x f x ax a=，-0lim ()x f x b =，因此可得12b a =
2、，故选择A 。（2）设函数()f x 可导，且()()0f x f x ，则（ ）。 A. (1)(1)f f - B. (1)(1)f f 【解析】令2()()F x f x =，则有()2()()F x f x f x =，故()F x 单调递增，则(1)(1)F F =-，即22(1)(1)f f -，即|(1)|(1)f f -，故选择C 。（3）函数22(,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量(1,2,0)n =r的方向导数为（ ）。A.12B.6C.4D.2 【答案】D【解析】22,2gradf xy x z =，因此代入(1,2,0)可得(1,2,0)|4
3、,1,0gradf =，则有1224,1,0,2|333f u grad u u ?=?=?。 （4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：m/s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）。 A. 010t =B. 01520t C. 025t =D. 025t 【答案】C【解析】从0到0t 时刻，甲乙的位移分别为010()t v t dt ?与020()t v t dt ?，由定积分的几何意义可知，25210()
4、()201010v t v t dt -=-=?，因此可知025t =。（5）设为n 维单位列向量，E 为n 维单位矩阵，则（ ）。A. T E -不可逆B. T E +不可逆C. 2T E +不可逆D. 2T E -不可逆 【答案】A【解析】因为T 的特征值为0（n-1重）和1，所以T E -的特征值为1（n-1重）和0，故T E -不可逆。（6）已知矩阵200210100021,020,020*A B C ?=?，则（ ）。 A.A 与C 相似，B 与C 相似 B. A 与C 相似，B 与C 不相似 C. A 与C 不相似，B 与C 相似 D. A 与C 不相似，B 与C 不相似 【答案】
5、B【解析】A 和B 的特征值为2,2,1，但是A 有三个线性无关的特征向量，而B 只有两个，所依A 可对角化，B 不可，因此选择B 。（7）设A ，B 为随机事件，若0()1,0()1P A P B 的充分必要条件是（ ）。 A. (|)(|)P B A P B A B. (|)(|)P B A P B A D. (|)(|)P B A P B A 得()()()()()1()()P AB P AB P A P AB P B P B P B -=-，即()()()P A B P A P B ，因此选择A 。（8）设12,(2)n X X X n L 来自总体(,1)N 的简单随机样本，记11n
6、i i X X n =，则下列结论中不正确的是（ ）。 A.21()nii X=-服从2分布B. 2112()nni XX =-服从2分布C.1()nii XX =-服从2分布D. 2()n X -服从2分布 【答案】B【解析】(0,1)i X N -，故221()()nii Xn =-，1(0,2)n X X N -，因此(0,1)N ，故22(1)，故B 错误，由2211()1ni i S X X n =-可得，2221(1)()(1)ni i n S X X n =-=-，1(0,)X N n -)(0,1)X N -，因此22()(1)n X -。二、填空题：914小题，每小题4分，共
7、24分，请将答案写在答题纸指定位置上。 （9）已知函数21()1f x x=+，则(3)(0)f =_。 【答案】0【解析】246222001()1()(1)1nn n n n f x x x x x x x =-+-+=-=-+L ，因此 230()(1)2(21)(22)n n n f x n n n x -=-，代入可得(3)(0)0f =。（10）微分方程230y y y +=的通解为y =_。【答案】12()xe c c -+【解析】由230y y y +=，所以2230+=，因此1=-，因此通解为：12()x e c c -+。（11）若曲线积分221L xdy aydy x y
8、-+-?在区域22(,)|1D x y x y =+(,),(,)11x ay P x y Q x y x y x y -=+-+-，因此可得： 22222222,(1)(1)P xy Q axy y x y x x y ?=-=?+-?+-，根据P Qy x?=?，因此可得1a =-。 （12）幂级数111(1)n n n nx -=-在区间(1,1)-内的和函数()S x =_。【答案】21(1)x +【解析】1112111(1)(1)()1(1)n n n nn n x nx x x x -=-=-=+。 （13）设矩阵101112011A ?=?，123,为线性无关的3维向量，则向量组
9、123,A A A 的秩为_。 【答案】2【解析】因为123123(,)(,)A A A A =，而101101101112011011011011000A ?=?，因此()2r A =，所以向量组123,A A A 的秩2。（14）设随机变量X 的分布函数为4()0.5()0.5()2x F x x -=+，其中()x 为标准正态分布函数，则EX=_。【答案】2【解析】222224()222(4)2221()()2xxxxf x F x-?=+?=+因此可得2EX=。三、解答题：1523小题，共94分，请将解答写在答题纸指定位置上。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（15）（本题满分1
10、0分）设函数(,)f u v具有2阶连续偏导数，(,cos)xy f e x=，求2002|,|x xdy d ydx dx=。【答案】01|(1,1)xdyfdx=，2011122|(1,1)(1,1)(1,1)xd yf f fdx=-【解析】因为(,cos)xy f e x=，所以12sinxdyf e f xdx=-，因此01|(1,1)xdyfdx=211121212222(sin)(sin)sin cosx x x xd yf e f x e f e f e f x x f xdx=-+-因此得：2011122|(1,1)(1,1)(1,1)xd yf f fdx=-（16）（本题
11、满分10分）求21lim ln(1)nnkk kn n=+【答案】14【解析】由定积分的定义可知，1201lim ln(1)ln(1)nnkk kx x dxn n=+=+?，然后计算定积分，21112120000111ln(1)ln(1)(1)ln(1)|(1)221x x x dx x d x x x dx x -+=+-=+-?+? 1011(1)24x dx =-=? （17）（本题满分10分）已知函数()y x 由方程333320x y x y +-+-=确定，求()y x 的极值。 【答案】极大值为(1)1y =，极小值为(1)0y -=。【解析】对333320x y x y +-
12、+-=关于x 求导得：2233330x y y y +-+=，令0y =得233x =，因此1x =，当1x =时，1y =，当1x =-时，0y =。对2233330x y y y +-+=关于x 再次求导得：2266()330x y y y y y +=，将0y =代入可得26(33)0x y y +=当1x =时，1y =时，代入可得1y =-，当1x =-时，0y =时，代入可得2y =，因此有函数的极大值为(1)1y =，极小值为(1)0y -=。（18）（本题满分10分）设函数()f x 在区间0,1上具有2阶导数，且(1)0f ，0()lim 0x f x x-（）方程2()()
13、()0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。 【答案】（）证：因为0()lim 0x f x x-（）构造函数()()()F x f x f x =，因此(0)(0)(0)0,()()()0F f f F f f =， 因为0()lim 0x f x x -(1)(0)()010f f f -=-，所以(0)()0f f 使得1()0f =，所以111()()()0F f f =，所以原方程至少有两个不同实根。【解析】略（19）（本题满分10分） 设薄片型物体S时圆锥面z =被柱面22z x =割下的有限部分，其上任一点的弧度为(,)u x y z =C ，（）求C 在xOy 平面上的投影曲线的方程； （）求S 的质量M 。【答案】（）22(1)10x y
