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1、专题六高考中的概率与统计问题1质点在数轴上的区间0,2上运动，假定质点出现在该区间各点处的概率相等，那么质点落在区间0,1上的概率为 ()A. B. C. D以上都不对14 13 12答案C解析区间0,2的长度为 2，记“质点落在区间0,1上”为 事件 A.则事件 A 的区间长度为 1，则 P(A) .122. 为了从甲、乙两名运动员中选拔一人参加某次运动会跳水项目，对甲、 乙两名运动员进行培训，现分别从他们在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取 6 次，得到茎叶图如图所示从平均成绩及发挥稳定性的角度考虑，你认为选派_(填甲或乙 )运动员合适答案甲解析根据茎叶图，可得 甲 (78798184
2、9395) 85，x16乙 (758083859295) 85.x16s (78 85)2(7985) 2(8185) 2(84 85) 2(9385) 2(9585) 2 ，2甲16 1333s (75 85)2(8085) 2(8385) 2(85 85) 2(9285) 2(9585) 2 .2乙16 1393因为 甲 乙 ，s 90的概率为_答案8解析以 AB 为直径作圆，当 M 在圆与正方形重合形成的半圆内时，AMB90，所求概率为 P .24 85如图是某学校抽取的 n 个学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 123，第 3 小组的频数为 18，则
3、 n 的值是_答案48解析若第一组的频率记为 x，则第二、三 组频率依次为 2x,3x，第四、第五组频率依次为0.187 5,0.062 5，从而 6x0.187 50.062 51，解得 x ，从而第三组的频率为 ；从而18 38 ，解得 n48.18n 38题型一古典概型与几何概型的概率计算例 1 已知关于 x 的二次函数 f(x)ax 24bx1.(1)设集合 P1,2,3和 Q1,1,2,3,4，分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 a 和b，求函数 yf( x)在区间1 ，) 上是增函数的概率；(2)设点(a，b) 是区域Error!内的一点，求函数 yf(x) 在区间1 ，)
4、 上是增函数的概率思维启迪首先判断两个问题是什么概率模型：容易知道(1)是一个古典概型概率；(2) 是一个几何概型概率，对于(1)将所有情况都列举出来即可，(2)要结合线性规划知识来解决解(1)函数 f(x)ax 24bx1 的图象的对称轴为直线 x ，2ba要使 f(x)ax 24bx 1 在区间 1，) 上为增函数，当且仅当 a0 且 1，即 2ba.2ba若 a1，则 b1；若 a2，则 b1 或 1；若 a3，则 b1 或 1.事件包含基本事件的个数是 1225.所求事件的概率为 .515 13(2)由(1)，知当且仅当 2ba 且 a0 时，函数 f(x)ax 24bx 1 在区间
5、1，) 上为增函数，依条件可知事件的全部结果所构成的区域为Error!，构成所求事件的区域为三角形部分由Error! 得交点坐标为( ， )，163 83所求事件的概率为 P .128831288 13思维升华几何概型与古典概型的本质区别在于试验结果的无限性，几何概型经常涉及的几何度量有长度、面积、体积等，解决几何概型的关键是找准几何测度；古典概型是命题的重点，对于较复杂的基本事件空 间，列 举时要按照一定的 规律进行，做到不重不漏(2012天津)某地区有小学 21 所，中学 14 所，大学 7 所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取 6 所学校对学生进行视力调查(1)求应从小学、中学、大学
6、中分别抽取的学校数目(2)若从抽取的 6 所学校中随机抽取 2 所学校做进一步数据分析，列出所有可能的抽取结果；求抽取的 2 所学校均为小学的概率解(1)由分层抽样定义知，从小学中抽取的学校数目为 6 3；2121 14 7从中学中抽取的学校数目为 6 2；1421 14 7从大学中抽取的学校数目为 6 1.721 14 7故从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为 3,2,1.(2)在抽取的 6 所学校中， 3 所小学分别记为 A1，A2，A3,2 所中学分别记为 A4，A5，大学 记为 A6，则抽取 2 所学校的所有可能结果为 A1，A2，A1，A3，A1，A4，A1，A5，A1，A6，A
7、2，A3，A2，A4，A2，A5，A2，A6，A3，A4，A3，A5，A3，A6，A4，A5，A4，A6，A5，A6，共 15 种从 6 所学校中抽取的 2 所学校均为小学(记为事件 B)的所有可能 结果为A 1，A2，A1，A3，A2，A3，共 3 种，所以 P(B) .315 15题型二概率与统计的综合应用例 2 第12 届全运会将于 2013 年 8 月 31 日在辽宁沈阳举行，组委 会在沈阳某大学招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者，将这30 名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图(单位：cm)，身高在175 cm 以上(包括 175 cm)定义为“高个子” ，身高在 175 cm
8、 以下(不包括 175 cm)定义为“非高个子” (1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中共抽取 5 人，再从这 5 人中选2 人，求至少有一人是“高个子”的概率；(2)若从身高 180 cm 以上(包括 180 cm)的志愿者中选出男、女各一人，求这 2 人身高相差 5 cm 以上的概率思维启迪求“至少有”的概率往往利用“正难则反”的方法简单解(1)根据茎叶图知， “高个子”有 12 人， “非高个子”有 18 人，用分层抽样的方法，每个人被抽中的概率是 ，530 16所以抽取的 5 人中， “高个子” 有 12 2 人， “非高个子 ”有 18 3 人16 16“高个子”用
9、A，B 表示， “非高个子”用 a，b，c 表示，则从这 5 人中选 2 人的情况有(A，B)，(A，a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共 10 种，至少有一名“高个子”被选中的情况有(A，B)，(A， a)，(A，b)，(A，c)，(B，a)，(B，b)，(B，c)，共 7 种因此，至少有一人是“高个子 ”的概率是 P .710(2)由茎叶图知，有 5 名男志愿者身高在 180 cm 以上(包括 180 cm)，身高分别为 181 cm,182 cm,184 cm,187 cm,191 cm；有 2 名女志愿者身高为 180
10、 cm 以上( 包括 180 cm)，身高分别为 180 cm,181 cm.抽出的 2 人用身高表示， 则有(181,180) ，(181,181)，(182,180)，(182,181)，(184,180)，(184,181)，(187,180)，(187,181)，(191,180)，(191,181)，共 10 种情况，身高相差 5 cm 以上的有(187,180)， (187,181)，(191,180)，(191,181)，共 4 种情况，故这 2 人身高相差 5 cm 以上的概率为 .410 25思维升华概率统计解答题的主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键
11、，因此在复习该部分 时，要在 这些图表上下功夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的 计数方法、各 类概率的 计算方法某中学生物兴趣小组在学校生物园地种植了一批名贵树苗，为了解树苗生长情况，从这批树苗中随机测量了 50 棵树苗的高度(单位：厘米) 把这些高度列成了如下的频数分布表：组别 40,50) 50,60) 60,70) 70,80) 80,90) 90,100)频数 2 3 14 15 12 4(1)在这批树苗中任取一棵，其高度在 85 厘米以上的概率大约是多少？(2)这批树苗的平均高度大约是多少？( 计算时可以用组中值代替各组数据的平均值)(3)为了进一步获得研究
12、资料，现从40,50)组中移出一棵树苗，从90,100组中移出两颗树苗进行试验研究，则40,50)组中的树苗 A 和90,100组中的树苗 C 同时被移出的概率是多少？解(1)由已知，得高度在 85 厘米以上的树苗大约有 6410 棵，则所求的概率大约为 0.2.1050 15(2)树苗的平均高度 x452 553 6514 7515 8512 95450 73.8(厘米)3 69050(3)依题意，记40,50)组中的树苗分别为 A、B，90,100组中的树苗分别为 C、D、E、F，则所有的基本事件为 ACD、ACE、ACF、ADE、ADF、AEF、BCD、BCE、BCF、BDE、BDF、B
13、EF，共 12 个，满足 A、C 同时被移出的基本事件为 ACD、ACE、ACF，共 3 个，所以树苗 A 和树苗 C 同时被移出的概率 P 0.25.312题型三概率与统计案例的综合应用例 3 为了解春季昼夜温差大小与某种子发芽多少之间的关系，现在从 4 月份的 30 天中随机挑选了 5 天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天 100 颗种子浸泡后的发芽数，得到如下表格：日期 4 月 1 日 4 月 7 日 4 月 15 日 4 月 21 日 4 月 30 日温差x/10 11 13 12 8发芽数y/颗 23 25 30 26 16(1)从这 5 天中任选 2 天，记发芽的种子数分别为
14、 m，n，求事件“m，n 均不小于 25”的概率；(2)从这 5 天中任选 2 天，若选取的是 4 月 1 日与 4 月 30 日的两组数据，请根据这 5 天中的另 3 天的数据，求出 y 关于 x 的线性回归方程 x ；y b a (3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问(2)中所得的线性回归方程是否可靠？思维启迪列举基本事件时，要按照一定的 顺序，才能不重不漏；根据公式求出线性回归方程后可计算| y |判断是否可靠y 解(1)所有的基本事件为(23,25)，(23,30)，(23,26)，(23,16)，(25,3
15、0)，(25,26)，(25,16)，(30,26)，(30,16)，(26,16)，共 10 个设“m，n 均不小于 25”为事件 A，则事件 A 包含的基本事件为(25,30)，(25,26)，(30,26)，共 3 个所以 P(A) .310(2)由数据得，另 3 天的平均数 12， 27,3 972，x y xy3 2432， iyi977， 434，x3i 1x3i 1x2i所以 ， 27 123，b 977 972434 432 52 a 52所以 y 关于 x 的线性回归方程为 x3.y 52(3)依题意得，当 x10 时， 22，|2223|7.879.502015 105230202525有 99.5%的把握认为喜欢看 “快乐大本营”与性别有关(3)从喜欢看的 10 位男生中选出喜欢看韩剧、喜欢看新闻、喜欢看动画片的各 1 名，其一切可能的结果组
