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1、第五章 参数假设检验 构造假设 什么是“假设检验” 处理 “ 可信度 ”的基本概念 判断样本统计量值与总体 (参数 )假设值之间是否存在可以观察到的差值，以及这种差值在统计上是否明显 . 可以观察到的差值 由于随机原因 或者 存在实质性的差别 5.1 假设检验的概念 假设检验可分为：参数假设检验和非参数假设检验。 1、参数假设检验： 已知总体分布，猜出总体的某个参数（假设 H0），用一组样本来检验这个假设是否正确（是接受还是拒绝 H0 ）。 2、非参数假设检验： 猜出总体分布（假设 H0），用一组样本来检验这个假设是否正确（是接受还是拒绝 H0 ）。 在检验中，我们通常设法保证“弃真”（以真为
2、假）的错误的概率 很小，也就是概率 P拒绝 H0 | H0为真 很小。这是我们在假设检验时，分析问题的主线。 原假设 (H0) 对被研究的总体参数做试探性的假设 备择假设 (HA) 原假设 (H0)的对立面 H0 和 HA 是两个对抗性陈述 - 被观察的样本数据只能支持其中一个陈述 . 构造假设 000:.:AHvsH 双尾 000:.:AHvsH 左侧尾部 000:.:AHvsH 右侧尾部 构造假设 举例： 一个电灯泡生产商想生产平均寿命为 1,000小时的灯泡，如果灯泡寿命太短，他就会失去客户；如果灯泡寿命太长，生产成本则会上升。为此，他从灯泡中抽取了一个样本来观察其平均寿命是否可以达到
3、1,000小时。请构造 H0 和 HA。 H0 : = 1,000 HA : 1,000 vs. 构造假设 一名销售经理要求其销售人员将每天的交通费用控制在 100元之内，为此，他从日常交通费用中抽取了一个样本来检查是否将有关费用控制在规定的范围内。请构造原假设和备择假设。 举例 : H0 : 100 HA : 100 vs. 统计意义上的“对”与“不对”，就有可能犯错误。 当我们认为参数的某个假设 H0 正确时（接受假设 H0时） , 有可能假设 H0 本身是错误的，而我们把它当作正确的，称犯了第二类错误（“存伪”的错误），我们应当保证犯这种错误的概率很小，也就是概率 =P接受 H0 | H
4、0为假 很小。 反之，当我们拒绝假设 H0 时，也可能犯“以真为假”的错误（“弃真”的错误） ,称为犯第一类错误。当然，我们也希望所犯的“以真为假”错误的概率很小，也就是 =P拒绝 H0 | H0为真 很小。 两类错误 实际情况 H0 为 真 H0 为 假 结论 接受 H0 第 II 类 错误 拒绝 H0第 I 类 错误 =第 I类错误的概率 = Pr拒绝 H0 | H0 为真 显著水平 =第 II类错误的概率 = Pr接受 H0 | H0 为假 与 之间的关系 与 之间具有反向关系 当进行假设检验时，必须预先确定 与 哪个更重要 为了防止错误拒绝 H0 尽量减少拒绝 H0 的机率 降低 ，提
5、高 为了防止错误接受 H0 尽量减少接受 H0 的机率 提高 ，降低 举例 : 测试一座桥梁是否可以安全地承受 至少 50吨的运输量 a)你是想犯第 I 类错误还是第 II类错误？ b)你是采用较低的显著水平还是较高的显著水平？ H0 : 50 而 HA : 显著水平 () 接受 H0 p值 100 n = 36, = 3, 而且 = 101, 利用 Z分布 X 5.0363 X1. 2. 3. 检验统计量 25.0 1 0 01 0 10 XXZ与总体均值有关的决策 临界区域 99 %的面积 = 0.01 CV = 2.325 Z TS = 2.0 4. 5. 6. 右侧尾部检验 , = 0
6、.01 临界值 = 2.325 325.201.0 ZZ 检验统计量落在临界区域之外 接受 H0 数据显示：当显著水平 = 0.01时，每包药品的剂量不大 例：已知生产线上生产出来的零件直径服从正态分布，已知方差为 0.09(毫米 2) , 现有假设 H0 ： =10(毫米 ). 这个假设可以是生产标准的要求 . 现有一组样本观测值 : 10.01, 10.02, 10.02, 9.99 (在实际问题样本容量大些更好 ). 请判断这批零件的平均直径 =10(毫米 )是否正确 . 解 : 首先设 : 原假设 H0 ： =10(毫米 ) 备择假设 H1 ： 10(毫米 ) 其次 : 构造一个 统计
7、量 , 要满足 : a. 其分布和参数已知 ; b . 在已知条件下 , 能算出这个 统计量 . 构造 统计量为 : )1,0( NnXZ设原假设 H0成立 , 如果原假设 H0是正确的 , 我们希望拒绝H0(犯错误 )的概率很小 , 也就是 P( |Z| k ) = 很小 . 称为显著性水平 . /2 /2 -k k 算得该 z =0.067, （ 取 =0.05 ）小于 k= z 0.025=1.96, 所以不应当拒绝假设 H0 ： =10(毫米 ). 与总体均值有关的决策 未知 大样本 无论 X服从什么分布，当样本容量 n 30时，可以用样本标准差 s来估计未知标准差 nssXX XX
8、近似服从以下参数的正态分布 )1 ,0( NsXZX检验统计量 与总体均值有关的决策 一家大型电子商店的信贷经理说，该商店赊购帐户上的平均余额为 575元。一名审计人员随机抽取了 33名顾客作为一个样本，结果发现赊购帐户上的平均余额为 518.5元、标准差为 181元。如果信贷经理的陈述得不到数据支持，审计人员将检查所有的赊购帐户。请问当 = 0.05时，审计人员应当采取什么行动？ 举例 : H0 : = $575 而 HA : $575 n = 33, = 518.5, s = 181, 而且 利用 Z分布 X51.31331 8 1 Xs1. 2. 与总体均值有关的决策 /2 = 0.02
9、5 Z 95%的面积 /2 = 0.025 CV = 1.96 CV = 1.96 TS = 1.79 3. 检验统计量 79.15.31 5755.5180 XsXZ 4. 双尾检验 , = 0.05 临界 值 = 1.96 96.10 25.02 ZZ 5. 6. 检验统计量落在临界区域之外 接受 H0 当 = 0.05时，数据看来支持信贷经理的陈述 审计人员无需审查所有的赊购帐户 。 与总体均值有关的决策 未知 小样本 X的分布是正态分布或接近正态分布 当样本容量 n 0 （这是作为备择假设出现） 例：已知生产线上生产出来的零件抗剪强度服从服从正态分布，以往的数据表明抗剪强度的均值 0
10、=10(毫米 ). 现在改用一种新材料来生产该零件，得到一组零件的抗剪强度的样本观测值 : 10.01, 10.02, 10.02, 9.99. 请问：改用新材料后，零件的平均抗剪强度是否提高？ /2 /2 解 : 首先作原假设 H0 ： = 0 =10(毫米 ) 备择假设 H1 ： 10(毫米 ) 其次 : 构造一个 统计量 , 也要满足 : a. 其分布和参数已知 ; b . 在已知条件下 , 能算出这个 统计量 . 构造 统计量为 : )1( ntnSXT 由 P( T t0.05 ) = , 取 =0.05. 算得 t0.05 =2.3534由样本点算得 t =14.14. 有 t t
11、0.025. 所以接受备择假设 . 零件的抗剪强度得到提高了 . 5、 关于正态总体的 方差 2的检验 关于正态总体的假设检验，分为如下两种情况： （ 1）未知均值 ，假设 H0 ： 2 = 02 ，通过样本观测值 x1， x2， ， xn ， 检验 H0 是否成立； （ 2） 未知均值 ，假设 H0 ： 2 02 （反之亦然），通过样本观测值 x1， x2， ， xn ， 检验 H0 是否成立。 第一种情况： 未知均值 ，检验假设 H0 ： 2 = 02 是否成立； 例：已知生产线上生产出来的零件直径服从正态分布，长期以来直径的根方差 = 0.3, 现材质改进 , 抽出 20个样本 , (这
12、里只给出 20个样本的 方差 s2 = 0.16). 请判断该生产线的方差是否改变 ? 解 : 首先作原假设 H0 ：总体方差 2 = 02 =0.09 备择假设 H1 ：总体方差 2 02 =0.09 其次 : 构造一个 统计量 , 也要满足 : a. 其分布和参数已知 ; b . 在已知条件下 , 能算出这个 统计量 . 构造 统计量为 : )1()1( 22022 nSn 在原假设下 , 由 P(2 2/2 ) = /2 或 P(2 21-/2 ) = /2 取 = 0.05, 算得 20.025 (19) = 32.9, 20.975 (19) = 8.91, 2 =33.7778.
13、有 2 20.025 (19) = 32.9. 所以拒绝原假设 , 接受备择假设 .生产线的方差有改变 . (犯错误的概率只有 0.05) 第二种情况： 未值均值 ，检验假设 ： 2 02 是否成立； 例：已知生产线上生产出来的零件直径服从正态分布，长期以来直径的根方差 = 0.3, 现材质改进 , 抽出 9个样本 , (这里只给出 20个样本的 方差 s2 = 0.352). 请判断该生产线的方差是否会小于 0.09 ? 解 : 作原假设 H0 ：总体方差 2 02 =0.09 备择假设 H1 ：总体方差 2 0.25 (回答者依据知识选择答案 , 聘用 ) 这是单侧检验问题 , 任意一个应聘者回答 10个问题 ,相当于从总体 B(1, p) 分布中抽出 10个样本 X1, X2, X10, 进而得到均值函数 X. 但我们不知道统计量 X的分布形式 , 所以不 能直接用 X 做统计检验 . 但知道统计量 Y= X1+X2+ X10的分布 , 即 Y服从 二项分布 B (n, p), n=10, 并该统计量中含有要检验的参数 p, 因此 , 我们可以用统计量 Y 来做参数的检验问题 . 这里 , Y的含义就是 (某应聘者 )答对题目的个
