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1、第十一章振动和波第 1 课时简谐运动基础知识归纳1. 机械振动机械振动是物体在某一位置附近的往复运动，这一位置叫做平衡位置.这种往复运动是因为物体受到了相应的力，该力总是试图把离开平衡位置的物体拉向平衡位置，该力叫回复力，是物体做机械振动的条件.2.简谐运动(1)简谐运动是最简单的机械振动形式，物体所受回复力F与物体离开平衡位置的位移成正比，与位移方向相反.判断振动是否是简谐运动的依据是：分析回复力是否满足Fkx，满足这一特征则为简谐运动.(2)回复力是按力的效果命名的，单独的一个力、几个力的合力、某个力的分力都可以担当回复力.所以，首先应对振动的物体进行全面的受力分析，寻找出是什么力担当回复
2、力，而不能凭空添加一个回复力.(3)当物体做简谐运动时，运动的周期是完成一次全振动所用的时间.全振动是指：从物体在某一位置的运动开始，直到物体下一次以相同的速度(或动量)到达该位置的过程.(4)若简谐运动的位移图象如图，那么该振动图象的解析式是：，简谐运动的表达式为：.(5)理想化的弹簧振子模型：一根光滑的水平细杆上套一轻弹簧，弹簧一端固定，另一端连一小球，小球也套在细杆上.将小球拉离平衡位置后放手，小球就做简谐运动.它受到的回复力是弹簧的弹力.(6)受迫振动是物体在周期性外力作用下的振动，此周期性外力叫驱动力.共振是当驱动力频率与物体固有振动频率十分接近时发生的受迫振动，系统的振幅会很大.(
3、7)简谐运动的能量是振动的动能和势能的总和，振动过程中机械能守恒，所以振幅不变.实际振动过程中机械能逐渐减小，简谐运动是一种理想化的振动.重点难点突破一、简谐运动的位移 从平衡位置指向振子所在位置的有向线段.二、相位描述做周期性运动的物体在各个不同时刻所处的不同状态，是描述不同振动的振动步调的物理量.同相：表明两个振动物体的步调相同.反相：表明两个振动物体的步调相反.相位(t)是一个随时间变化的量，它的值相当于一个角度值.相位每增加2，意味着物体完成了一次全振动.相位差(1t2)(2t1)，若12，则有稳定的相位差21，若12，则不具有稳定的相位差.三、对回复力的理解回复力是根据力的作用效果来
4、命名的，它可以是一个力，也可以是多个力的合力，还可以由某个力的分力提供.Fkx是简谐运动的动力学特征式，是判断一个振动是否为简谐运动的依据.四、振幅与路程的关系一个周期内的路程等于振幅的4倍，半个周期内的路程等于振幅的2倍，周期内的路程与振幅之间没有确定的关系.若从特殊位置(如平衡位置、最大位移处)开始计时，周期内的路程等于振幅；若从一般位置开始计时，周期内的路程与振幅之间没有确定的关系.五、简谐运动的对称性和周期性1.空间上的对称性：振子经过关于平衡位置对称的两个位置，速度大小、位移大小、加速度大小、回复力大小、动量大小、动能、势能都相等；关于平衡位置对称的两段位移，振子经过所用的时间相等.
5、2.时间上的周期性：若t2t1nT(n1,2,3)，则t1、t2两时刻振子在同一位置.若t2t1nT (n0,1，2)，则t1、t2两时刻，描述振子运动的物理量(x、a、v)均大小相等，方向相反.若t2t1nT (n0,1,2)或t2t1nT (n0,1,2)，则若t1时刻振子到达最大位移处，那么t2时刻振子到达平衡位置，反之亦然.六、简谐运动的图象反映同一质点偏离平衡位置的位移随时间变化的规律.1.从简谐运动图象可直接读出在不同时刻的位移值，从而知道位移x随时间t的变化情况.2.可以确定振幅，如图所示.3.可以确定振动的周期和频率，如图所示.4.可以用作曲线上某点切线的办法确定各时刻质点的速
6、度的大小和方向.5.由于简谐运动的加速度与位移大小成正比，方向相反，故可以根据图象上各时刻的位移变化情况确定质点加速度的变化情况.典例精析1.利用动力学特征式Fkx证明振动是简谐运动【例1】试证明竖直方向的弹簧振子的振动是简谐运动.【证明】如图所示，设振子的平衡位置为O，竖直向下为正方向，此时弹簧的形变为x0，根据胡克定律及平衡条件有mgkx00当振子向下偏离平衡位置为x时，回复力(即合外力)为F回mg(xx0)将式代入式得F回，可见，重物竖直振动时的受力情况符合简谐运动的条件.【拓展1】如图所示，在光滑水平面上，用两根劲度系数分别为k1、k2的轻质弹簧系住一个质量为m的小球.开始时，两弹簧均
7、处于原长，后使小球向左偏离x后放手，可以看到小球将在水平面上做往复振动.试问小球是否做简谐运动？【解析】以小球为研究对象，竖直方向受力平衡，水平方向受到两根弹簧的弹力作用.设小球位于平衡位置O左方某处时，偏离平衡位置的位移为x，则左方弹簧受压，对小球的弹力方向向右，大小为F1x右方弹簧被拉伸，小球所受的弹力方向向右，大小为F2kx小球所受的回复力等于两个弹力的合力，其方向向右，大小为FF1F2()x令k，上式可写成Fkx由于小球所受的回复力方向与物体位移x的方向相反，故考虑方向后上式可表示为Fkx.所以，小球将在两根弹簧的作用下，沿水平方向做简谐运动.2.简谐运动图象的识别和简谐运动规律的应用
8、【例2】如图所示是某弹簧振子的振动图象，试由图象判断下列说法中正确的是()A.振幅为3 m，周期为8 sB.4 s末振子速度为负，加速度为零C.14 s末振子加速度为正，速度最大D.4 s末和8 s末时振子的速度相同【解析】由图象可知振幅A3 cm，周期T8 s，故选项A错误.4 s末图线恰与横轴相交，位移为零，则加速度为零.过这一点作图线的切线，切线与横轴的夹角大于90(或根据下一时刻位移为负)，所以振子的速度为负，故选项B正确.根据振动图象的周期性，可推知14 s末质点处于负的最大位移处(也可以把图线按原来的形状向后延伸至14 s末)，因此质点的加速度为正的最大，但速度为零，故选项C错误.
9、4 s末和8 s末质点处在相邻的两个平衡位置，则速度方向显然相反(或根据切线斜率判断)，所以选项D错误.【答案】B【思维提升】根据简谐运动图象分析简谐运动情况，关键是要知道图象直接地表示了哪些物理量，间接地表示了哪些物理量，分析间接表示的物理量的物理依据是什么.【拓展2】有一弹簧振子在水平方向上的BC之间做简谐运动，已知BC间的距离为20 cm，振子在2 s内完成了10次全振动.若从某时刻振子经过平衡位置时开始计时(t0)，经过周期振子有正向的最大加速度.(1)求振子的振幅和周期；(2)在图中作出该振子的位移时间图象；(3)写出振子的振动表达式.【解析】由题意可知BC间距离等于振幅的2倍，完成
10、一次全振动的时间即为周期，这是解题的突破口.(1)振子的振幅A10 cm振子的周期T0.2 s(2)如图所示.(3)，xAsin t0.1sin 10t m3.利用简谐运动的对称性与牛顿定律结合解题【例3】如图，轻弹簧的一端固定在地面上，另一端与木板B相连，木板A放在木板B上，两木板质量均为m，现加竖直向下的力F作用于A，A与B均静止.问：(1)将力F瞬间撤除后，两木板共同运动到最高点时，B对A的弹力多大？(2)要使两板不会分开，F应该满足什么条件？【解析】(1)把没有外力F作用时物体所处的位置为平衡位置，则物体被外力压下去后，根据对称性，当两木板到达最高点时，其回复力和最低点的回复力大小相等
11、，也为F.此时共同的加速度由牛顿第二定律求得aF/2mA物体受到重力与支持力N，再应用牛顿第二定律有mgNma所以NmgmamgF/2(2)要使两板不分离，则N0，由上式得F2mg【思维提升】此题利用了简谐运动的对称性来解题，关于平衡位置对称的两点，回复力大小和加速度大小相等.【拓展3】如图所示，一升降机在箱底有若干个弹簧，设在某次事故中，升降机吊索在空中断裂，忽略摩擦力，则升降机在从弹簧下端触地后直到最低点的一段运动过程中( CD )A.升降机的速度不断减小B.升降机的加速度不断变大C.先是弹力做的负功小于重力做的正功，然后是弹力做的负功大于重力做的正功D.到最低点时，升降机加速度的值一定大
12、于重力加速度的值【解析】本题实质上是一个竖直弹簧振子的物理模型问题.当升降机吊索断裂后升降机先做自由落体运动.当底部弹簧刚触地后，由于重力mg大于弹力FN，所以升降机仍向下做加速运动，随着弹簧压缩形变越大，向上的弹力也随之增大，所以向下的合力及加速度不断变小，直至mgFN时，a0，速度达到最大值vm，这段运动是速度增大、加速度变小的运动.根据动能定理WEk，即WGEk0，所以WG，重力做的正功大于弹力做的负功，当升降机从a0的平衡位置继续向下运动时，由于弹力大于重力，所以加速度方向向上，且不断变大，而速度v不断变小直至为0，这段过程中，WGWFNEk0，所以WG，重力做的正功小于弹力做的负功.
13、由此可知，选项A、B错，而C正确.把升降机视为一个竖直弹簧振子，如图所示.弹簧刚触地时升降机的位置在A点，升降机向下运动到的最低点位置为B点，速度最大的平衡位置为O点.在A点时有向下的速度，A点为最大位移处到平衡位置中的一点，即A点并非最大位移点.而B点速度为零，就是振子平衡位置下方的最大位移点，故.既然A点的加速度aAg方向向下，根据弹簧振子的对称性，那么最大位移B点的最大加速度aBamaAg，方向向上，选项D正确. 易错门诊4.简谐运动的周期性导致的多解问题【例4】弹簧振子以O点为平衡位置做简谐运动，从经过O点开始计时，振子第一次到达某点P时用了0.3 s，又经过0.2 s第二次经过P点，
14、则振子第三次经过P点还要经过的时间是.【错解】因为当振子从平衡位置到第一次经过P点时用了0.3 s，到达最大位移后再回到该点用了0.1 s，利用对称性知道，振子从该点到平衡位置所用的时间为0.1 s，从而周期为4(0.30.1)1.6 s.当振子第三次回到该点时，还要经历时间为1.4 s.【错因】上述错误在于只考虑一种可能情况.【正解】实际上有两种可能.依据对称性不难得出第三次(第二种可能)经过P点的时间为 s.【思维提升】本题容易出的错误是漏掉了另一个可能的解，注意对称性与周期性在解题实践中的应用.第 2 课时单摆基础知识归纳1.单摆在一条不可伸长、不计质量的细线下端系一质点所形成的装置.单
15、摆是实际摆的理想化物理模型.2.单摆做简谐运动的回复力单摆做简谐运动的回复力是由重力mg沿圆弧切线的分力Fmgsin 提供(不是摆球所受的合外力)，为细线与竖直方向的夹角，叫偏角.当很小时，圆弧可以近似地看成直线，分力F可以近似地看做沿这条直线作用，这时可以证明Fxkx.可见很小时，单摆的振动是简谐运动.3.单摆的周期公式(1)单摆的等时性：在振幅很小时，单摆的周期与单摆的振幅无关，单摆的这种性质叫单摆的等时性，是伽利略首先发现的.(2)单摆的周期公式，由此式可知T，T与振幅及摆球质量无关.4.单摆的应用(1)计时器：利用单摆的等时性制成计时仪器，如摆钟等，由单摆的周期公式知道调节单摆摆长即可调节钟表快慢.(2)测定重力加速度：由变形得g，只要测出单摆的摆长和振动周期，就可以求出当地的重力加速度.5.单摆的能量摆长为l，摆球质量为m，
