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1、1.对a,bR,记maxa,b,函数f(x)max|x1|,|x2|(xR)的最小值是(A)0 (B) (C) (D)3解:当x1时,|x1|x1,|x2|2x,因为(x1)(2x)3x1;当1x时,|x1|x1,|x2|2x,因为(x1)(2x)2x10,x12x;当xx2;故据此求得最小值为。选C2.已知是上的减函数,那么的取值范围是(A) (B) (C)(D)解:依题意,有0a1且3a10,解得0a,又当x7a1,当x1时,logax11 |x1x2|故选A4、关于的方程,给出下列四个命题:存在实数,使得方程恰有2个不同的实根;存在实数,使得方程恰有4个不同的实根;存在实数,使得方程恰有
2、5个不同的实根;存在实数,使得方程恰有8个不同的实根;其中假命题的个数是A0 B1 C2 D3解:关于x的方程可化为(1)或(1x1)(2) 当k2时,方程(1)的解为,方程(2)无解,原方程恰有2个不同的实根 当k时,方程(1)有两个不同的实根,方程(2)有两个不同的实根,即原方程恰有4个不同的实根 当k0时,方程(1)的解为1,1,方程(2)的解为x0,原方程恰有5个不同的实根 当k时,方程(1)的解为,方程(2)的解为,即原方程恰有8个不同的实根选A5、设f(x)3ax,f(0)0,f(1)0,求证:()a0且21;()方程f(x)0在(0,1)内有两个实根. (I)证明:因为,所以.由
3、条件,消去,得;由条件,消去,得,.故.(II)抛物线的顶点坐标为,在的两边乘以,得.又因为而所以方程在区间与内分别有一实根。故方程在内有两个实根.6.设二次函数,方程的两个根满足. 当时,证明.分析:在已知方程两根的情况下,根据函数与方程根的关系,可以写出函数的表达式,从而得到函数的表达式. 证明:由题意可知., , 当时,.又, ,综上可知,所给问题获证. 7. 已知二次函数,设方程的两个实数根为和. (1)如果,设函数的对称轴为,求证:;(2)如果,求的取值范围.分析:条件实际上给出了的两个实数根所在的区间,因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化. 解:设,则的二根为和.(1)由及,可得
4、 ,即,即 两式相加得,所以,;(2)由, 可得 .又,所以同号. ,等价于或,即 或解之得 或.8已知f(x)32|x|,g(x)x22x,F(x)则F(x)的最值是()A最大值为3,最小值1B最大值为72,无最小值C最大值为3,无最小值D既无最大值,又无最小值解:B作出F(x)的图象,如图实线部分,知有最大值而无最小值,且最大值不是3,故选B.8.已知函数f(x)(a0)在区间0,1上是减函数,则实数a的取值范围是_解:(0,2a0.由2ax0得,x,f(x)在(,上是减函数,由条件1,0a2.9.设函数f(x)|xa|,g(x)ax.(1)当a2时,解关于x的不等式f(x)0)解:(1)
5、|x2|2x,则或x2或x.(2)F(x)|xa|ax,0xa,F(x)(a1)xa.(a1)0,函数F(x)在(0,a上是单调减函数,当xa时,函数F(x)取得最小值为a2.10.已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数,周期T=5,函数y=f(x)(1x1)是奇函数,又知y=f(x)在0,1上是一次函数,在1,4上是二次函数,且在x=2时,函数取得最小值,最小值为5.(1)证明:f(1)+f(4)=0;(2)试求y=f(x),x1,4的解析式;(3)试求y=f(x)在4,9上的解析式.解:(1)证明:y=f(x)是以5为周期的周期函数,f(4)=f(45)=f(1),又y=f(x)(1x
6、1)是奇函数,f(1)=f(1)=f(4),f(1)+f(4)=0.(2)当x1,4时,由题意,可设f(x)=a(x2)25(a0),由f(1)+f(4)=0得a(12)25+a(42)25=0,解得a=2,f(x)=2(x2)25(1x4). (3)y=f(x)(1x1)是奇函数f(0)=f(0),f(0)=0,又y=f(x) (0x1)是一次函数可设f(x)=kx(0x1),f(1)=2(12)25=3,又f(1)=k1=kk=3当0x1时,f(x)=3x,当1x0时,f(x)=3x当4x6时,1x51f(x)=f(x5)=3(x5)=3x+15当6x9时,1x54f(x)=f(x5)=2
7、(x5)225=2(x7)25f(x)=.11.设是定义在R上的函数,它的图象关于直线x=1对称,且当时,则有( )A BC D解:B函数f(x)的图象关于直线x=1对称,可得f(x)=f(2x),所以f()=f(),f()=f(),而当x1时,f(x)=3x为增函数,恒成立,求实数的取值范围解:(1) f(-x)f(x), ,即,a1 (2)由(1)可知f(x)(x1) 记u(x)1,由定义可证明u(x)在(1,)上为减函数, f(x)在(1,)上为增函数(3) 设g(x)则g(x)在3,4上为增函数 g(x)m对x3,4恒成立,mg(3)=16.函数是( )A 是奇函数又是减函数 B 是奇
8、函数但不是减函数 C 是减函数但不是奇函数 D 不是奇函数也不是减函数解: A 为奇函数,而为减函数 17.已知函数求函数的定义域;判断函数的奇偶性,并予以证明;求使0成立的的集合。解:由题意得:所以所求定义域为令H则H(故为奇函数,当综上:18.函数对任意都有并且当时。求证:函数是R上的增函数。解:设任取 所以函数是R上的增函数19.(1)若,则,从小到大依次为 (2)若,且,都是正数,则,从小到大依次为 (3)设,且(,),则与的大小关系是( ) (A) (B) (C) (D)解:(1)由得,故 (2)令,则, ,;同理可得:,(3)取,知选B20. 已知,且当时,的最小值为4,求参数a的值。解:将代入S中,得则S是x的二次函数,其定义域为,对称轴方程为,顶点坐标为,图象开口向上。若,即则当时,此时,或若,即则当时,此时,或(因舍去)综上讨论,参变数a的取值为,或,或