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1、圆与直线一、典型例题例1、已知定点P（6，4）与定直线l1：y=4x，过P点的直线l与l1交于第一象限Q点，与x轴正半轴交于点M，求使OQM面积最小的直线l方程。分析：直线l是过点P的旋转直线，因此是选其斜率k作为参数，还是选择点Q（还是M）作为参数是本题关键。通过比较可以发现，选k作为参数，运算量稍大，因此选用点参数。设Q（x0，4x0），M（m，0） Q，P，M共线 kPQ=kPM 解之得： x00，m0 x0-10 令x0-1=t，则t0 40当且仅当t=1，x0=11时，等号成立此时Q（11，44），直线l：x+y-10=0评注：本题通过引入参数，建立了关于目标函数SOQM的函数关系式
2、，再由基本不等式再此目标函数的最值。要学会选择适当参数，在解析几何中，斜率k，截距b，角度，点的坐标都是常用参数，特别是点参数。例2、已知ABC中，A（2，-1），B（4，3），C（3，-2），求： （1）BC边上的高所在直线方程；（2）AB边中垂线方程；（3）A平分线所在直线方程。分析： （1） kBC=5 BC边上的高AD所在直线斜率k= AD所在直线方程y+1=(x-2) 即x+5y+3=0 （2） AB中点为（3，1），kAB=2 AB中垂线方程为x+2y-5=0 （3）设A平分线为AE，斜率为k，则直线AC到AE的角等于AE到AB的角。 kAC=-1，kAB=2 k2+6k-1=0
3、k=-3-（舍），k=-3+ AE所在直线方程为(-3)x-y-2+5=0评注：在求角A平分线时，必须结合图形对斜率k进行取舍。一般地涉及到角平分线这类问题时，都要对两解进行取舍。也可用轨迹思想求AE所在直线方程，设P(x，y)为直线AE上任一点，则P到AB、AC距离相等，得，化简即可。还可注意到，AB与AC关于AE对称。例3、（1）求经过点A（5，2），B（3，2），圆心在直线2x-y-3=0上圆方程； （2）设圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上，且与直线x-y+1=0相交的弦长为，求圆方程。分析：研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解方程思想，又要重视几何性质
4、及定义的运用，以降低运算量。总之，要数形结合，拓宽解题思路。（1） 法一：从数的角度若选用标准式：设圆心P（x，y），则由|PA|=|PB|得：(x0-5)2+(y0-2)2=(x0-3)2+(y0-2)2又2x0-y0-3=0两方程联立得：，|PA|= 圆标准方程为(x-4)2+(y-5)2=10若选用一般式：设圆方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，则圆心（） 解之得：法二：从形的角度AB为圆的弦，由平几知识知，圆心P应在AB中垂线x=4上，则由得圆心P（4，5） 半径r=|PA|=显然，充分利用平几知识明显降低了计算量（2） 设A关于直线x+2y=0的对称点为A由已知AA为圆的弦 AA对称
5、轴x+2y=0过圆心设圆心P（-2a，a），半径为R则R=|PA|=(-2a-2)2+(a-3)2又弦长， 4(a+1)2+(a-3)2=2+ a=-7或a=-3当a=-7时，R=；当a=-3时，R= 所求圆方程为(x-6)2+(y+3)2=52或(x-14)2+(y+7)2=244例4、已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆，（1）求实数m取值范围；（2）求圆半径r取值范围；（3）求圆心轨迹方程。分析： （1）m满足-2(m+3)2+2(1-4m2)2-4(16m4+9)0，即7m2-6m-10 （3） 半径r= 时， 0r （3）设圆心P（x，y
6、），则消去m得：y=4(x-3)2-1又 所求轨迹方程为(x-3)2=(y+1)（）例5、如图，过圆O：x2+y2=4与y轴正半轴交点A作此圆的切线l，M为l上任一点，过M作圆O的另一条切线，切点为Q，求MAQ垂心P的轨迹方程。分析：从寻找点P满足的几何条件着手，着眼于平几知识的运用。连OQ，则由OQMQ，APMQ得OQAP同理，OAPQ又OA=OQ OAPQ为菱形 |PA|=|OA|=2设P(x，y)，Q(x0，y0)，则又x02+y02=4 x2+(y-2)2=4（x0）评注：一般说来，当涉及到圆的切线时，总考虑过焦点的弦与切线的垂直关系；涉及到圆的弦时，常取弦的中点，考虑圆心、弦的中点、
7、弦的端点组成的直角三角形。同步练习（一） 选择题1、 若直线(m2-1)x-y+1-2m=0不过第一象限，则实数m取值范围是A、-1m B、m1 C、m1 D、m12、 已知直线2x+y-2=0和mx-y+1=0的夹角为，则m值为A、 或-3 B、-3或 C、-3或3 D、或33、 点P在直线x+y-4=0上，O为原点，则|OP|的最小值是A、 2 B、 C、 D、4、 过点A（1，4），且横纵截距的绝对值相等的直线共有A、 1条 B、2条 C、3条 D、4条5、 圆x2+y2-4x+2y+C=0与y轴交于A、B两点，圆心为P，若APB=900，则C的值是A、 -3 B、3 C、 D、8 6、
8、若圆(x-3)2+(y+5)2=r2上有且只有两个点到直线4x-3y-2=0距离等于1，则半径r取值范围是A、 （4，6） B、4，6） C、（4，6 D、4，6 7、将直线x+y-1=0绕点（1，0）顺时针旋转后，再向上平移一个单位，此时恰与圆x2+(y-1)2=R2相切，则正数R等于A、 B、 C、1 D、8、 方程x2+y2+2ax-2ay=0所表示的圆A、关于x轴对称 B、关于y轴对称C、关于直线x-y=0对称 D、关于直线x+y=0对称（二） 填空题 9、直线ax+by+c=0与直线dx+ey+c=0的交点为（3，-2），则过点（a，b），（d，e）的直线方程是_。10、 已知(x，
9、y)|(m+3)x+y=3m-4(x，y)|7x+(5-m)y-8=0=，则直线(m+3)x+y=3m+4与坐标轴围成的三角形面积是_。11、 已知x，y满足，则x-y的最大值为_，最小值为_。12、 过点A（2，1），且在坐标轴截距相等的直线方程是_。13、 已知圆：(x-1)2+y2=1，作弦OA，则OA中点的轨迹方程是_。（三） 解答题14、 已知y=2x是ABC中C平分线所在直线方程，A（-4，2），B（3，1），求点C坐标，并判断ABC形状。15、 已知n条直线：x-y+ci=0（i=1，2，n），其中C1=，C1C2C32，b2，（1）求证：(a-2)(b-2)=2；（2）求线段A
10、B中点的轨迹方程；（3）求AOB面积的最小值。17、 已知两圆x2+y2=4和x2+(y-8)2=4，（1）若两圆分别在直线y=x+b两侧，求b取值范围；（2）求过点A（0，5）且和两圆都没有公共点的直线的斜率k的范围。18、当0a1，y1) （3） 17、（1）画图 3b5 （2）k（） 18、一、选择题1、设，则M与N、与的大小关系为 ( ) A. B. C. D.解：设点、点、点，则M、N分别表示直线AB、AC 的斜率，BC的方程为，点A在直线的下方，即MN； 同理，得。 答案选B。 仔细体会题中4个代数式的特点和“数形结合”的好处2、已知两圆相交于点，两圆圆心都在直线上，则的值等于 (
11、 ) A-1 B2 C3 D0解：由题设得：点关于直线对称,； 线段的中点在直线上，答案选C。3、三边均为整数且最大边的长为11的三角形的个数为 ( ) A.15 B.30 C.36 D.以上都不对解：设三角形的另外两边长为x,y,则 ；注意“=”号，等于11的边可以多于一条。点应在如右图所示区域内：当x=1时，y=11；当x=2时，y=10,11；当x=3时，y=9,10,11；当x=4时，y=8,9,10,11；当x=5时，y=7,8,9,10,11。以上共有15个，x,y对调又有15个。再加(6，6），(7，7），(8，8），(9，9），(10，10）、(11， 11），共36个，答案选C。4、设，则直线与圆的位置关系为 （ ）A.相切 B.相交 C.相切或相离 D.相交或相切解：圆心到直线的距离为，圆半径。，直线与圆的位置关系是相切或相离，答案
