《高中数学-1.1正弦定理和余弦定理教案(3)-新人教A版必修518页》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学-1.1正弦定理和余弦定理教案(3)-新人教A版必修518页（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、正弦定理、余弦定理（1）教学目的：使学生掌握正弦定理能应用解斜三角形，解决实际问题教学重点：正弦定理教学难点：正弦定理的正确理解和熟练运用授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、引言：在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，可以由已知的边和角求出未知的边和角那么斜三角形怎么办？提出课题：正弦定理、余弦定理 二、讲解新课：正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即= =2R（R为ABC外接圆半径） 1直角三角形中：sinA= ，sinB=， sinC=1 即c=， c= ， c= =2斜三角形中 证明一：（等积法）在任意斜ABC
2、当中SABC= 两边同除以即得：=证明二：（外接圆法）如图所示，同理 =2R，2R证明三：（向量法）过A作单位向量垂直于由+= 两边同乘以单位向量 得 (+)=则+=|cos90+|cos(90-C)=| |cos(90-A) =同理，若过C作垂直于得： = =正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1两角和任意一边，求其它两边和一角；2两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（见图示）已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:若A为锐角时:若A为直角或钝角时:三、讲解范例：例1 已知在解：由得 由得例2 在解：例3 解：，例4 已知ABC，B为B的平分线，求证
3、：ABBCAC分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而B的平分线BD将ABC分成了两个三角形：ABD与CBD，故要证结论成立，可证明它的等价形式：ABADBCDC，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为，再根据相等角正弦值相等，互补角正弦值也相等即可证明结论证明：在ABD内，利用正弦定理得：在BCD内，利用正弦定理得：BD是B的平分线ABDDBC sinABDsinDBCADBBDC180sinADBsin（180BDC）sinBDC评述：此题可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角
4、的正弦值相等这一特殊关系式的应用四、课堂练习：1在ABC中，,则k为( )A2R BR C4R D(R为ABC外接圆半径)2ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，则ABC为( )A直角三角形 B等腰直角三角形C等边三角形 D等腰三角形3在ABC中，sinAsinB是AB的A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件4在ABC中，求证：参考答案：1A，2A3C4五、小结 正弦定理，两种应用六、课后作业：1在ABC中，已知，求证：a2，b2，c2成等差数列证明：由已知得sin（BC）sin（BC）sin（AB）sin（AB）cos2Bcos2Ccos2Acos2B
5、2cos2Bcos2Acos2C2sin2Bsin2Asin2C由正弦定理可得2b2a2c2即a2，b2，c2成等差数列七、板书设计（略）八、课后记： 课 题：正弦定理、余弦定理（2）教学目的：1掌握正弦定理、余弦定理；2使学生能初步运用它们解斜三角形，并会解决斜三角形的计算问题教学重点：正弦定理、余弦定理的运用教学难点：正弦定理、余弦定理的灵活运用授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即= =2R（R为ABC外接圆半径）2正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1两角和任意一边，求
6、其它两边和一角；2两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角（见图示）已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况:若A为锐角时:若A为直角或钝角时:3在RtABC中(若C=90)有： 在斜三角形中一边的平方与其余两边平方和及其夹角还有什么关系呢？二、讲解新课：1余弦定理 ：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍即 问题 对于任意一个三角形来说，是否可以根据一个角和夹此角的两边，求出此角的对边？推导 如图在中，、的长分别为、即同理可证 ，2余弦定理可以解决的问题利用余弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题：（1）已知三边，求三个角；（2）
7、已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角三、讲解范例：例1在ABC中，已知a7，b10，c6，求A、B和C解： 0725， A44 08071， C36, B180(AC)100(sinC 05954, C 36或144(舍)例2在ABC中，已知a2730，b3696，C8228，解这个三角形解：由 ，得 c4297 07767， A392, B180(AC)5830(sinA 06299， A=39或141(舍)例 3 ABC三个顶点坐标为(6，5)、(2，8)、(4，1)，求A解法一： |AB| |BC| |AC| = A84解法二： (8，3)，(2，4) cosA=, A84例4 设
8、=(x1, y1) =(x2, y2) 与的夹角为q （0qp），求证：x1x2+ y1y2=|cosq证明：如图，设, 起点在原点，终点为A，B则A=(x1, y1) B=(x2, y2) =- 在ABC中，由余弦定理|-|2=|2+|2-2| cosq|-|2=|2=|(x2-x1, y2-y1)|2=(x2-x1)2+( y2-y1)2|2=x12+y12 ，|2= x22+y22(x2-x1)2+( y2-y1)2= x12+y12+ x22+y22-2| cosqx1x2+ y1y2=|cosq 即有= x1x2+ y1y2=|cosq四、课堂练习：1在ABC中，bCosA=acos
9、B，则三角形为( )A直角三角形 B锐角三角形C等腰三角形D等边三角形2在ABC中，若a2b2+c2，则ABC为；若a2=b2+c2，则ABC为 ；若a2b2+c2且b2a2+c2且c2a2+b2，则ABC为 3在ABC中，sinA=2cosBsinC，则三角形为 4在ABC中，BC=3，AB=2，且，A= 参考答案： 1C 2钝角三角形，直角三角形，锐角三角形3等腰三角形 4120五、小结 余弦定理及其应用六、课后作业：1在ABC中，证明下列各式：（1）（a2b2c2）tanA（a2b2c2）tanB0(2) 证明：(1)左边（a2b2c2）故原命题得证 故原命题得证2在ABC中，已知sin
10、BsinCcos2，试判断此三角形的类型解：sinBsinCcos2, sinBsinC2sinBsinC1cos180（BC）将cos（BC）cosBcosCsinBsinC代入上式得cosBcosCsinBsinC1, cos（BC）1又0B，C，BCBC0 BC故此三角形是等腰三角形3在ABC中，bcosAacosB试判断三角形的形状解法一：利用余弦定理将角化为边bcosAacosB,bb2c2a2a2c2b2,a2b2,ab，故此三角形是等腰三角形解法二：利用正弦定理将边转化为角bcosAacosB又b2sinB，a2sinA，2sinBcosA2sinAcosBsinAcosBcos
11、AsinB0sin（AB）00A，B，AB，AB0 即AB故此三角形是等腰三角形七、板书设计（略）八、课后记： 课 题：正弦定理、余弦定理（3）教学目的：1进一步熟悉正、余弦定理内容；2能够应用正、余弦定理进行边角关系的相互转化；3能够利用正、余弦定理判断三角形的形状；4能够利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式教学重点：利用正、余弦定理进行边角互换时的转化方向教学难点:三角恒等式证明中结论与条件之间的内在联系的寻求授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪教学方法：启发引导式1启发学生在证明三角形问题或者三角恒等式时，要注意正弦定理、余弦定理的适用题型与所证结论的联系，并注
12、意特殊正、余弦关系的应用，比如互补角的正弦值相等，互补角的余弦值互为相反数等；2引导学生总结三角恒等式的证明或者三角形形状的判断，重在发挥正、余弦定理的边角互换作用教学过程：一、复习引入：正弦定理：余弦定理： ，二、讲授新课：1正余弦定理的边角互换功能对于正、余弦定理，同学们已经开始熟悉，在解三角形的问题中常会用到它其实，在涉及到三角形的其他问题中，也常会用到它们两个定理的特殊功能是边角互换，即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决例1已知a、b为ABC的边，A、B分别是a、b的对角，且，求的值解：(这是角的关系)， (这是边的关系)于是，由合比定理得例2已知ABC中，三边a、b、c所对的角分别是A、B、C，且a、b、c成等差数列求证：sinAsinC2sinB证明：a、b、c成等差数列，ac2b(这是边的关系)又将、代入，得整理得sinAsinC2sinB(这是角的关系)2正、余弦定理的巧用某些三角习题的化简和求解，若能巧用正、余弦定理，则可避免许多繁杂的运算，从而使问题较轻松地获得解决，现举例说明如下：例3求sin220cos280sin20cos80的值解：原式sin220sin2102sin20sin10cos1502010150180，20、10、150可看作一个三角形的三个内角设这三个内角所对的
