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1、7.5 曲面及其方程一 曲面方程的概念空间曲面可看做点的轨迹，而点的轨迹可由点的坐标所满足的方程来表达。因此，空间曲面可由方程来表示，反过来也成立。为此，我们给出如下定义：若曲面 与三元方程S(1)Fxyz(,)0有下述关系：1、曲面 上任一点的坐标均满足方程(1)；2、不在曲面 上的点的坐标都不满足方程(1)。S那么，方程(1)称作曲面 的方程，而曲面 称作方程(1)的图形。S下面，我们来建立几个常见的曲面方程。【例 1】 球心在点 ，半径为 的球面方程。),(00zyxMR解：设 是球面上的任一点，那么 ，Mxyz(,)MR0即： ()()yz02022(2)(2)式就是球面上任一点的坐标
2、所满足的方程。反过来，不在球面上的点 ， 到 的距离 ， Mxyz(,)0MR0从而点 的坐标不适合于方程(2)。故方程(2)就是以 为球心， 为半径的球面方程。00,R若球心在原点，即 ，其球面方程为zO(,)(,)xyzR22【例 2】设有点 和 ，求线段 垂直平分面 的方程。A,)13B,14AB解：所求平面 是与 和 等距离的点的几何轨迹，设 是所求平Mxyz(,)面上任意的一点，则 M即： ()()()()()()xyzx123214222化简得 2670xyz这便是平面 的方程。上述两例告诉我们如下事实：作为点的几何轨迹的曲面可以用它的坐标间的方程来表示，反过来，变量之间的方程一般
3、地表示点 的轨迹所形成的曲面。xyz, (,)xyz因此，空间解析几何关于曲面的研究，有以下两个基本问题：第一、已知曲面作为点的几何轨迹，建立该曲面的方程；第二、已知坐标 的方程，研究该方程所表示的曲面形状。xyz,二 旋转曲面先看一个特殊的旋转曲面。【例 3】设有一条过原点，且与 轴夹角为 的直线 ，求直线 绕 轴旋转所zLz产生的曲面的方程。( 绕 轴旋转时，始终 与轴保持定角 )Lz解：设 开始位于 平面， 是 上一点，则LyozMyz10(,)Lzctg1当 转动时，点 转到点 在 的转动过程中，点 的竖坐标满1xM足 且点 到 轴的距离满足Mxy21从而 zctg2或 (3)a2()
4、其中 。t这表明：曲面上任一点 的坐标一定满足方程(3)；反过来，如果 不在曲面M上，那么直线 与 轴的夹角就不等于 ，于是，点 的坐标就不满足方程OMz(3)。因此，方程(3)便是所求的曲面方程。上述曲面称之为圆锥面，动直线 与 轴的交点称之为圆锥面的顶点，定角Lz称为圆锥面的半顶角。一般地，我们给出旋转曲面的定义如下：一条平面曲线绕其平面上的一条定直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面，这条定直线叫做旋转曲面的轴。显然，圆锥面是一种旋转曲面，求 平面上的直线 绕 轴旋yozzyctgz转所成的圆维面，只需将 改成 ，即可得到圆锥面的方程x2zxyctg2用类似的方法，可求出一般旋转曲面的方程。
5、设在 平面上有一条已知曲线 ，它的方程为 ,将 绕oCfyz(,)0C轴旋转一周，得到以 轴为轴的旋转曲面。zz设 是 上任一点的坐标，则 ,当点 旋转到点Myz110(,)Cfyz(,)10M1时，总有x点 到 轴的距离为 y21将 ， 代入方程 得到z1x12fyz(,)10fz(,)0这便是所要求的旋转曲面的方程。同理，曲线 绕 轴旋转所成的旋转曲面方程为Cyfxz(,)2【例 4】将 面上的双曲线oac21分别绕 轴或 轴旋转一周， 求所生成的旋转曲面的方程xz解： y22或 ac1三 柱面先分析一个实例【例 5】方程 表示怎样的曲面?xyR22解： 在 面上表示圆心在原点，半径为 的
6、圆。oR在空间直角坐标中，该方程不含变量 ，即不论 取何值，只要横坐标 和zx纵坐标 适合方程的空间点 均在该曲面上。也就是说，过圆Mxy(,)上的点且平行于 轴的直线都在该曲面上。xy22因此，曲面是由平行于 轴的直线沿 面上的圆 移动而形zoxy22成的。这一曲面称作圆柱面。 面上的圆 称之为准线，那些平行xoyxyR22于 轴且过准线的直线叫做母线。z一般地，我们给出柱面的定义如下：平行于定直线并沿定曲线 移动的直线 形成的轨迹称之为柱面。 定曲线CL称为柱面的准线， 动直线 称为柱面的母线。C【例 6】指出下列曲面是否为柱面， 并画出它们的图形。(1) (2) yz1yx2(3) (4) xab2z0解：(1)、曲面 可看作：以 面上的直线 为准线，以平行yoz1于 轴的直线为母线而形成的柱面(平面)。(2)、曲面 表示母线平行于 轴，以 面上的曲线 为准线yx2zxoyyx2的抛物柱面。(3)、该曲面方程中缺少变量 ，故它表示母线平行于 轴，而准线为 面上zo曲线 所形成的双曲柱面。ab21(4)、该曲面方程中缺少变量 ，故它表示母线平行于 轴，而准线为 面上yyxoz的曲线 所形成的柱面(平面)xz20zyxxz20
