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1、数值分析第五次程序作业 PB09001057 孙琪【问题】分别编写用复化Simpson积分公式和复化梯形积分公式计算积分的通用程序；用如上程序计算积分： If=04sinxdx 取节点xi ， i=0,N, N为2k, k=0,1,12，并分析误差；简单分析你得到的数据。【复化Simpson积分公式】Simpson法则：abfxdxb-a6fa+4fa+b2+fb使用偶数个子区间上的复合Simpson法则：设n是偶数，xi=a+ih , h=b-an ,(0in)则有abfxdx=x0x2fxdx+x2x4fxdx+xn-2xnfxdx=i=1n2x2i-2x2ifxdx将Simpson法则应
2、用于每一个区间，得到复合Simpson法则：abfxdxh3fx0+2i=2n2fx2i-2+4i=1n2fx2i-1+fxn公式的误差项为：-1180b-ah4f4()其中(a,b)【复化梯形积分公式】梯形法则：对两个节点相应的积分法则称为梯形法则：abfxdxb-a2fa+fb如果划分区间a,b为：a=x0x1xn=b那么在每个区间上可应用梯形法则，此时节点未必是等距的，由此得到复合梯形法则：abfxdx=i=1nxi-1xifxdx12i=1nxi-xi-1fxi-1+fxi对等间距h=(b-a)/n及节点xi=a+ih，复合梯形法则具有形式：abfxdxh2fa+2i=1n-1fa+i
3、h+fb误差项为：-112b-ah2f() 【算法分析】复合Simpson法则和复合梯形法则的算法上述描述中都已介绍了，在此不多做叙述。【实验】通过Mathematica编写程序得到如下结果：1. 利用 复化Simpson积分公式得：可以看出，当节点数选取越来越多时，误差项越来越小，这从复合的Simpson公式很好看出来，因为在每一段小区间内，都是用Simpson法则去逼近，而每一段的误差都是由函数在该区间内4阶导数值和区间长度的4次方乘积决定的，当每一段小区间越来越小时，相应的每一段小区间内的逼近就会越来越好，从而整体的逼近效果就会越来越好。2. 利用 复化梯形积分公式得：可以看出，当节点数
4、选取越来越多时，误差项越来越小，这从复合的梯形公式很好看出来，因为在每一段小区间内，都是用梯形法则去逼近，而每一段的误差都是由函数在该区间内2阶导数值和区间长度的2次方乘积决定的，当每一段小区间越来越小时，相应的每一段小区间内的逼近就会越来越好，从而整体的逼近效果就会越来越好。【分析】通过对上述两种法则的效果来看，复合Simpson法则的误差要比复合梯形法则收敛到0更快，说明复合Simpson法则逼近到原来的解更快，这主要是因为在每一段小区间内，复合Simpson法则利用得是Simpson法则，复合梯形法则利用得是梯形法则，前者的误差项要比后者的误差项小很多，因此造成了逼近速度的不一样。【程序】Mathematica程序为：复合Simpson法则：复合梯形法则：
