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1、第25讲 探索、猜想与归纳知识方法扫描数学问题一般分为常规问题和探索性问题两种，常规问题的条件和结论由题目给出，解答目标明确，解题的模式通常是固定的；对于探索性问题，则需通过观察、分析、类比、联想、猜测，归纳等一系列探索活动，并运用已掌握的数学知识，经过推理或计算，才能得出正确的结论。（1）探索结论型问题这类试题的特点是：给出问题的全部条件后，没有给出确定的结论或者只给出问题的对象的一些特殊关系，需要探索一般的规律推测结论，可以用一些简捷方法，比如：代值验证或构造特例，或数形结合等。解决此类问题的策略有：直接利用已知条件进行推理得到结论；通过观察，归纳得出一般性结论，然后再去证明；对多种结论进
2、行优化（内含分类讨论）等。（2）探索规律性型问题这类试题的特点是：从命题给出的多个具体的关系式，通过观察、归纳、分析、比较，得出一般规律的命题。解决此类问题的策略是：通过研究题设的变化规律，猜想结论，然后证明。经典例题解析http:/ http:/例1（2004年第15届希望杯数学邀请赛初一第2试试题）观察下面的等式:22=4， 2 +2=43=4，+3=44=5，+4=55=6，+5=6小明归纳上面各式得出一个猜想：“两个有理数的积等于这两个有理数的和”，小明的猜想正确吗？为什么？请你观察上面各式的结构特点，归纳出一个猜想，并证明你的猜想。解 （1）小明的猜想显然是不正确的，易举出反例；如1
3、31+3 （2）将第一组等式变形为：，对照后面的四组等式 得出如下猜想：“若n是正整数，则” 证明：左边右边，所以猜想是正确的。 所以猜想是正确的 例2(第六届“五羊杯”初中数学竞赛题)把全体正整数写成如右图中数阵的形式，则486是第 行的第 个数。 分析 数阵的第一行有一个数，第二行有两个数，第三行有三个数第n行有n个数，所以，数阵的前n行共有：1+2+3+n=个数。另外，我们注意到，数阵的奇数行上的数从小到大是从右向左递增的。解 设486是第x行第y个数，依题意得 x=31, 31是奇数，在31行最左边的第一个数是496。 496-486=10，所以y=11，故486是第31行的第11个数
4、。例3（2003年第一届“创新杯”数学竞赛试题）有54张卡片，编号分别为1，2，3，54。李明将其按编号数字由小到大的次序由上到下放成一叠，再将第1张卡片丢掉，把第2张放在最底层；再将第3张卡片丢掉，把第4张放在最底层；。如此进行，那么最后一张卡片的编号是 。 解 先观察卡片张数较少的情况，会发现如下的规律：当卡片的张数是1，2，4，8，2n时，剩下的是最后一张卡片。现在有54张卡片，需要丢掉54-32=22张卡片，这样丢掉的是编号为1，3，5，43的卡片，编号为44的卡片被放在了最底层。这时还有32张卡片，所以剩下的是最后一张即编号为44的卡片。例4（1995年吉林省初中数学竞赛题） 观察以
5、下两列数：5、9、13、17、25、29、334、7、10、13、16、19、22、25它们中间第15对相同的数是 。分析与解：观察这两列数，不难发现，第一列数从第1个数5开始依次增加4，我们可以将这一规律用代数式4n+1表示，第二列数的变化规律也可用代数式3n+1表示。再观察这两列数中相同数所在的位置，可知第一列数中的第3k个数与第二列数中的4j个数相同（其中n, k , j均为正整数），它们中间的第15以相同的数，也就是第一列数的第45个数与第二列数的第60个数。 445+1=360+1=181。例5（1991年北京市“迎春杯”初中数学竞赛决赛试题）有一列数1，3，4，7，11，18从第三
6、个数开始，每个数恰好是它前面相邻两个数的和。 （1）第1991个数被6除余几？ （2）把以上数列按下述方法分组：（1），（3，4），（7，11，18）（第n 组含有n个数）, 问1991组的各数之和数被6除余数是几？解 （1）设an表示数列中的第n 个数，利用 anan-1+an-2(mod6),容易得到下表：ana1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12a13被6除所得余数1341505543145ana14a15a16a17a18a19a20a21a22a23a24a25a26被6除所得余数3251011235213观察上表可知，a1a25(mod6), a2a26(mod6)
7、, 则anan+24(mod6)也就是说，数列中的数被6除所得的余数，每隔24个数重复出现。由于1991=2482+23，因此a1991=a23(mod6).即 数列中第1991个数被6除余数是5。（2）按规定分组后，前1990组共有1+2+3+1990=（个）数，第1991组的各数之和为 S=a+a+2+a+1991据上表可知，数列中任意相邻的24个数之和被6除的余数就等于24个数分别被6除所得余数之和被6除所得的余数，即an+1+an+2+an+24(1+3+4+1+5+0+5+5+4+3+1+4+5+3+2+5+1+0+1+1+2+3+5+2)660(mod6).由1991=2482+2
8、3, 得 a+S0(mod6)因为=2482543+13, 所以aa135(mod6)即a被6除所得的余数是5，故S被6除所得的余数应该是1。例6（2000年河北省初中数学竞赛试题）将连续的自然数1至1001按如图的方式排列成一个长方形阵列，用一个正方形框出16个数，要使这个正方形框出的16个数之和分别等于：（1）1998，（2）1991，（3）2000，（4）2080，这是否可能？若不可能，试说明理由；若可能，请写出该方框里16个数中的最小数与最大数。解：设方框最左上角的数字为k (k为自然数)，则方程中数字方阵可表示为：kk+1k+2k+3k+7k+8k+9k+10k+14k+15k+16
9、k+17k+21k+22k+23k+24 设其和为S，于是：S=16k+1+2+3+7+8+9+10+14+15+16+17+21+22+23+24,即S=16k+192.(1)当S=1988时，16k+192=1988, 无整数解，所以其和不可能为1988；(2)当S=1991时，16k+192=1991, 无整数解，其和亦不可能为1991；(3)当S=2000时，16k+192=2000，解之得k=113, 此时，方框中最小的数为113，最大的数为137。(4)当S=2080时，16k+192=2080，解之得k=118，虽然k的解为自然数，但此时118处的纵向第6列，不可能将满足阵列要求
10、的16个数框的正方形框中，故此时其和也不可能为2080。例7(第八届全国中小学生数学公开赛初一试题)在一个平面内，画1条直线，能把平面分成1 + 1=2部分；画2条直线，最多能把平面分成1 + 1+2=4部分；画3条直线，最多能把平面分成1 + 1+2+3=7部分；画4条直线，最多能把平面分成1 + 1+2+3+4=11部分；照此规律计算下去，画2003条直线，最多能把平面分成_部分.解 1条直线最多将平面分成2个部分；第2条直线和第1条直线最多有一个交点，该点将第1条直线分成2段，其中每一段将原来所在平面部分分为2个部分，所以2条直线最多将平面分成2+2=4个部分. 第3条直线和前两条直线最
11、多有2个交点，这两个交点将前两条直线分成3段，其中每一段将原来所在平面部分分为2个部分，所以3条直线最多将平面分成2+2+3=7个部分.第n条直线和前n-1条直线最多有n-1个交点，这n-1个交点将前n-1条直线分成n段，其中每一段将原来所在平面部分分为2个部分，所以n条直线最多将平面分成2+2+3+n=1+个部分.当n=2003时，最多能把平面分成1+=部分. 评注：先找出一般规律，再将特殊数值代入，是解决此类问题的一般方法。例8（2001年河北省初中数学竞赛试题）将长度为2n（n为自然数，且n4）的一根铅丝折成各边长度均为整数的三角形，记(a,b,c)为三边长分别为a,b,c，且满足abc
12、的一个三角形。(1)就n=4,5,6的情况，分别写出所有满足题意的(a,b,c)；(2)有人根据(1)中的结论，便猜想：当铅丝的长度为2n（n为自然数且n4）时，对应(a,b,c)的个数一定是n-3，事实上，这是一个不正确的猜想。请你写出n=12时所有(a,b,c)，并回答(a,b,c)的个数；(3)试将时所有满足题意的(a,b,c)按照至少两种不同的标准分类。解 (1) 当n=4时，铅丝的长度为8，则满足题意的(a,b,c)只有一组：(2,3,3); 当n=5时，铅丝的长度为10，则满足题意的(a,b,c)有两组：(2,4,4);(3,3,4)当n=6时，铅丝的长度为12，则满足题意的(a,
13、b,c)有三组：(2,5,5)，(3,4,5)，(4,4,4).(2) 当n=12时，铅丝的长度为24，由题意得 ， 由此得8c11, 即 c=8,9,10,11.故满足题意的(a,b,c)共有12组：A(2,11,11), B(3,10,11), C(4,9,11), D(5,8,11), E(6,7,11), F(4,10,10),G(5,9,10), H(6,8,10), I(7,7,10), J(6,9,9), K(7,8,9)，L(8,8,8).(3)根据不同的标准分类，决定不同的分类，现举例如下：情形1 按最大边c的值分类，共有四类： c=11,有A，B，C，D，E五个； c=10
14、,有F，G，H，I四个； c=9,有J，K两个； c=8，只有L一个。情形2 根据是否等边，等腰三角形分类，共有三类： 等边三角形，只有L一个； 等腰但不等边三角形，有A，F，I，J四个； 不等边三角形，有B，C，D，E，G，H，K七个。情形3 根据最大角与直角关系分类，共有三类： 锐角三角形：有A，F，G，I，J，K，L七个； 直角三角形：只有H 一个； 钝角三角形：有B，C，D，E四个。原版赛题传真同步训练一选择题1（1999年重庆市初二数学竞赛初赛试题）的末两位数字是（ ）（A） 49 （B） 81 （C） 01 （D） 69 1. A因为的末两位数字与的末两位数字相同，下面研究49n的末两位数字的情况：491的末两位数字是49； 492的末两位数字是01； 493的末两位数字是49； 494的末两位数字是01；可见，49n的末两位数学是以2的周期循环出现
