《（完整版）数列前n项和的求法总结》由会员分享，可在线阅读，更多相关《（完整版）数列前n项和的求法总结（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、本word文档可编辑可修改 数列前 n项和 的求法总结核心提示：求数列 的前 n项和要借助于通项公式，即先有通项公式，再在分析数列通项公式 的基础上，或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和。当遇到具体问题时，要注意观察数列 的特点和规律，找到适合 的方法解题。一公式法?(?+?)?(?+?)? =?= ?+?（1）等差数列前 n项和：? = ?；（2）等比数列前 n项和： ?= ?时，?时，?（?-?）=?-? = ?+ ?+ ?+ ? + ?= ?(?+ ?)（3 ）其他公式：? = ? + ? + ? + ? + ? = ?(?+ ?)(?+ ?)? = ? + ? + ? + ? +
2、 ? = ?(?+ ?)?例题 1：求数列 ?，?，?， (?+ ) ， 的前 n项和 Sn?解：点拨：这道题只要经过简单整理，就可以很明显 的看出：这个数列可以分解成两个数列，一个等差数列，一个等比数列，再分别运用公式求和，最后把两个数列 的和再求和。练习：1 二.倒序相加法如果一个数列 a ，与首末项等距 的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着n写 的两个和式相加，就得到一个常数列 的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在 学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识 的得出过程是知识 的源头，也是研究同一类知识 的工具，例如：等差数列前 n项和公式 的推导，用 的就是“倒序相加法”
3、。例题 1：设等差数列 a ，公差为 d，求证： a 的前 n项和 S=n(a +a )/2n n n 1 n解：S=a +a +a +.+an123n倒序得： S=a +a +a + +annn-1n-21n+得： 2S=(a1+a )+(a +a )+(a +a )+ +(a +a)n 2 n-1 3 n-2 n 11 n 2 n-1 3 n-2 n 1+a =a +a =a +a = =a +a2S=n(a +a) S =n(a +a)/2n 2 n n 1 n点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用 的原因是借助 a +a =a+a =a +a = =a +a11n2n-13n-2n
4、即与首末项等距 的两项之和等于首末两项之和 的这一等差数列 的重要性质来实现 的。练习：（1）2 三.裂项相消法裂项相消法是将数列 的一项拆成两项或多项，使得前后项相抵消，留下有限项，从而求出数列 的前 n项和。例题 3：求数列(n*) 的和解：点拨：此题先通过求数列 的通项找到可以裂项 的规律，再把数列 的每一项拆开之后，中间部分 的项相互抵消，再把剩下 的项整理成最后 的结果即可。四.错位相减法错位相减法是一种常用 的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘 的形式。即若在数列ann中，an成等差数列， bn成等比数列，在和式 的两边同乘以公比，再与原式错位相减整理后即可以求出前 n项和
5、。3 n例题 4：求数列 na (n*) 的和23n解：设 S = a + 2a + 3a + + nan若 a = 1则： Sn= 1 + 2 + 3 + + n =23nn+1若 a 1则：aSn= a + 2a + + (n -1)a + na23nn+1-得： (1-a)Sn= a + a + a + + a - na 则：练习：（ 1）（2）4 ?（3）求： ?= ?+ ?+ ?+ ? + (?- ?)?-?.?= ?+ ?+ ?+ ? + (?- ?)?-?解： ?，两边同乘以 x，得?= ?+ ?+ ?+ ? + (?- ?)? -得，（ ?- ?）?= ?+ ?(?+ ? +
6、? + ? + ?) - ?- ?)(再用公式法里面 的公式即可。五.迭加法迭加法主要应用于数列 a 满足 a =a+f(n)，其中 f(n)是等差数列或等比数列 的条件下，n n+1 n可把这个式子变成 a -a =f(n)，代入各项，得到一系列式子，把所有 的式子加到一起，经过n+1 n整理，可求出 a，从而求出 Snn。例题 5：已知数列 6,9,14,21,30, 其中相邻两项之差成等差数列，求它 的前- a = 3, a - a = 5, a - a = 7 , , a - a = 2n-1n项和。解213243nn-1把各项相加得： a - a = 3 + 5 + 7 + + (2
7、n - 1) =n12= n - 1 + a2= n + 5n1222n= 1 + 2 + + n + 5n =+ 5n222点拨：本题应用迭加法求出通项公式，并且求前 n项和时应用到了 1 + 2 + + n =因此问题就容易解决了。六.分组求和法所谓分组求和法就是对一类既不是等差数列，也不是等比数列 的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见 的数列，然后分别求和，再将其合并。2222n-12*)例题 6：求 S = 1 - 2 + 3 - 4 + + ( -1) n (n解：当 n是偶数时： S = (1 - 2 ) + (3 - 4 ) + + (n - 1) - n 2
8、222225 = - (1 + 2 + + n) = -222222 + n2当 n是奇数时： S = (1 - 2 ) + (3 - 4 ) + + (n - 2) - (n - 1)2= - 1 + 2 + + (n - 1) + n= -?综上所述： ?= (-?) ?+?(?+ ?)?点拨：分组求和法 的实质是：将不能直接求和 的数列分解成若干个可以求和 的数列 ,分别求和。练习：（1）（2）6 作业：（2016.07.20）1.已知等差数列 ?，其前 n项和为 ?，且?= 9，?= 35.45（1）求数列 ?得通项公式；?（2）若? = 2 ? + n，求数列? 的前 n项和为 ?.（错位相减法）?2?-1，nN?2.设数列 ?满足?+ 3? + 3 ? + ? + 3 ? = 3.?123?（1）求数列 ?得通项公式；?（2）若? = ，求数列 ? 的前项和为 ?.n?3.设数列 ?是等差数列，?1 = ?= 1，? + ?= 21，1 3 5是各项都为正数 的等比数列，且? + ? = 13.53（1）求数列 ?，?得通项公式；?（2）数列 的前 n项和为 ?.?7
