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1、本word文档可编辑可修改 1、引言布朗运动 的数 学模型就是维纳过程。布朗运动就是指悬浮粒子受到碰撞一直在做着不规则 的运动。我们现在用W(t)来表示运动中一个微小粒子从时刻t 0到时刻 t 0 的位移 的横坐标，并令 W (0) 0。根据 Einstein 的理论，我们可以知道微粒之所以做这种运动，是因为在每一瞬间，粒子都会受到其他粒子对它 的冲撞，而每次冲撞时粒子所受到 的瞬时冲力 的大小和方向都不同，又粒子 的冲撞是永不停息 的，所以粒子一直在做着无规则 的运动。故粒子在时间段 (s,t上 的位移，我们可把它看成是多个小位移 的总和。我们根据中心极限定理，假设位移 W (t) W(s)
2、服从正态分布，那么在不相重叠 的时间段内，粒子碰撞时受到 的冲力 的方向和大小都可认为是互不影响 的，这就说明位移 W(t)具有独立 的增量。此时微粒在某一个时段上位移 的概率分布，我们便能认为其仅仅与这一时间段 的区间长度有关，而与初始时刻没有关系，也就是说W(t)具有平稳增量。2.维纳过程2.1独立增量过程维纳过程是典型 的随机过程，属于所谓 的独立增量过程，在随机过程 的理论和应用中起着很重要 的作用。现在我们就来介绍独立增量过程。定义： X (t), t 0是二阶矩过程，那么我们就称 X (t ) X (s),0 s t为随机过程在区间 (s,t上 的增量。若对任意 的n (n N )
3、和任意 的 0 t t10tn，个增量nX (t ) X (t ), X (t ) X (t ), , X (t ) X (t n 1)1021n是相互独立 的，那么我们就称 X (t), t 0为独立增量过程。我们可以证明出在 X (0) 0 的条件下，独立增量过程 的有限维分布函数族可由增量X (t) X (s), (0 s t) 的分布所确定。如果对 h R和 0 s h t h, X (t h) X (s h)与 X (t) X (s) 的分布是相同 的，我们就称增量具有平稳性。那么这个时候，增量 X (t) X (s) 的分布函数只与时间差t s(0 s t)有关，而与 t和 s无关
4、 (令 hs便可得出 )。值得注意 的是，我们称独立增量过程是齐次 的，此时 的增量具有平稳性。1关注我 实时更新 最新资料 2.2维纳过程 的定义给定二阶矩过程 W (t),t 0 ，若满足(i)具有独立增量；对 t s 0 ,有增量(ii)2W (t) W(s) N(0, (t s),且0；(iii)W (0) 0，则称此过程是维纳过程。由（ ii）我们可得出维纳过程增量 的分布只依赖于时间差，故维纳过程是齐次 的独立增量过程，并且也服从正态过程。事实上对任意n(n 1)个时刻 0 t t 21. t n（记t0 0），把 W(t )写成kkW (t )kW (t ) W (t ),k 1
5、,2, , n,ii 1i 1我们由（ i）（ iii）知，它们都是独立 的正态随机变量 的和，由n维正态变量 的性质可得出 (W (t ),W (t ), ,W (t ) nW(t),t 0是正态过程。所以其分布是维正态变量，即12n依赖于它 的期望函数和自协方差函数。2由（ ii），（ iii）可知， W(t) N(0, t) ,故维纳过程 的期望与方差函数为2t，EW (t) 0 D (t)，w2上式中叫做维纳过程 的参数，我们通过做实验得出数据值可估计出其大小。得自协方差函数为2C (s,t ) R (s,t )min s,t s,t 0WW2.3维纳过程 的特点（i）它是一个 Mar
6、kov (马尔科夫 )过程。故未来推测所需 的数据信息就是该过程 的当前数据值；（ii）维纳过程具有独立增量。即该过程在任意一个时间区间上变化 的概率分布，他 的时间区间上变化 的概率无关；与其在其（iii）在任何有限时间上，维纳过程 的变化服从正态分布，其方差随时间区间长度 的增长而呈线性增加。2 2.4维纳过程 的性质（1）基本性质对 t R ,t时刻是一个随机变量，其概率密度函数是：一维维纳过程在12x / 2tf w (x)et2 t这是因为根据维纳过程 的定义得出当s 0时，能推出 W (t) 的分布：W W W N(0,t)tt0E(W ) 0它 的方差是 t：t它 的数 学期望是
7、零：2222Var(W ) E(W ) E (W ) E(W ) 0 E(W ) ttttttt2 t s t s t s 0，那么在维纳过程 的独立增量 的定义中，令，211W W W N(0,s) W W W W N(0,t s)都是相互独立 的随机变量，并和stststs2211且cov(W ,W ) E(W E(W ) (W E(W ) sstsstt故在两不同时刻 0 s,t,W与W 的协方差和相关系数是：?tscov(W ,W ) min( s,t)min( s,t)max(s,t )stcov(W ,W ) min(s,t),corr (W ,Wt)sststws wt3.维纳过
8、程 的应用3.1股票价格 的行为模式?我们经常应用 的假设是股价服从扩散过程，且大部分情况下都是几何布朗运动。在此条件下，任一时期 的复合收益率是服从正态分布 的。由于正态分布满足加法 的封闭性，所以不管股票 的套利组合是什么样 的，它都依然服从正态分布。?如果我们假设风险行为减到零，那么股票收益率 的分布同样也是服从正态分布 的。(i)经典 的假设理论我们先来介绍随机游走模型，其表达式为：S St 1t（1）t3 2 N(0, )表示均值为 0，方差为t其中： S St t 1时刻 的股票价格，表示时刻和，tt 12 的独立正态分布。股票价格模型我们一般情况下用维纳过程来表达，而随机游走模型
9、所解释 的股价波动走势，从本质上来说，其实就是一个漂移率为0 的扩散过程。如果我们令S是股价关于时间 的函数，那么得随机游走模型：dS(t)dZ(t)（2）上式中Z(t)表示标准维纳过程。然而，事实上它仅解释了股价 的波动率，仅仅是我们理想情形下 的模型。漂移率为0也就是说，在未来任何一个时刻，股价 的均值等于其当前值。如果我们设时间区间长度为 1年，在前一年 的股价条件不发生变化 的情形下，那么该年度 的股价就等于前一年度 的股价均值，在此种情况下，持股人就很难做到持股时间大于1年，这显然与现实生活中 的情况不相符。况且我们有充分理由认为，由于上市公司在不断 的经营扩大，所赚取，故漂 的利润
10、也在不断 的增长，所以从长远来看，移率是不可能为零 的。公司 的股价应该呈现出逐渐增长 的走势那么我们通过一个一般化 的维纳过程就能来解释股票 的价格行为（当然该一般化 的维纳过程 的期望漂移率和方差率是定值），然而由于持股人想要来自股票 的期望百分比收益不依赖于股票价格，因此假设期望漂移率为一个常数也是不合乎常理 的。现在我们假设期望漂移率为股票价格 的比例，并且其为一个定值，也就是说股价 的期望漂移率为一个自然数，在几何条件下，它 的解释就是股票 的期望收益率。在此假设下，经过S ，恒等于t时间0后，S 的增长均值为S t，即 E( S)S t，其中 E( )表示期望算子。当方差率为时，则
11、微分形式 的模型：dSSdt可得 S S e t0，式中 的S0表示股票 的最初价格，由此可看出，当方差率为0时，股价 的利率为，以连续复利 的方式增长。然而现实生活中，股价 的方差率一般是不可能为零 的，因此合乎常理 的假设应该是股2票 的百分比收益率 的方差不发生变化。若我们令股价比例变化 的方差率为t，那么事实上股价真正变化 的方差为t，经过222S t，所以得后，股价比例变化 的方差为到股价波动走势 的模型：dSSdtSdZ（3）上式中 Z表示标准维纳过程。我们用随机分析 的理论来说，这就是SIT O过程。其中，称作漂移系数，S称作扩散系数。方程 (3)能够在一定程度上描述股票价格行为
12、。我们常把称为股价波动率，把 称为股价 的预期收益率。下面我们先来介绍一下随机分析理论中 的IT O 引理：4 设 F (S,t)是关于 S两次连续可导，关于t一次可导 的函数， S为满足随机微分方程(3) 的扩散过程，故可得到随机变量函数 的 IT O微分形式12dF(S,t) F dt F dSF dtSS（ 4）（5）tS211S2如果我们定义 F (S,t ) ln S，由 F 0 , FSt, FSS则有S12d ln S () dZ2上式说明ln S服从一般化 的维纳过程，当变量S表示股价时，我们可看出股价服从对数正态分布。现在我们将式 (5)写成增量形式，则有股票收益过程为St122R lnt() Zt(6)St 112并且令RttZ N(0,1)为独立 的维纳过程，表示股票 的期收益率，t，22在此条件下R N（，）是独立 的。若 S表示股票
