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1、本word文档可编辑可修改 高中数 学选修 2 2知识点第一章 导数及其应用一导数概念f ( x 0x)xf ( x )0，称它为函数 y f (x)在1.导数 的定义：函数 y在 x处 的瞬时变化率是f (x)x0limx0x x处 的导数，记作 f (x )或 y |x x0，即 f (x ) =f (x0x) f ( x )。导数 的物理意义：瞬时速率。x0limx0000PP时，割线PP趋近于稳定 的位置直线nPT，2导数 的几何意义：通过图像可以看出当点我们说直线 PT与曲线相切。割线 PP无限趋近于nf ( x )f ( x )P，当点P时，函数 y f (x)趋近于 的斜率是nk
2、 nn0nx nx 0在 x x处 的导数就是切线0f ( x )f ( x )PT 的斜率 k，即 kn0limf ( x )0x0xnx 03导函数：当 x变化时， f ( x)便是 x 的一个函数，称它为 f (x) 的导函数 . y f (x) 的导函数记作 y ,f ( xx )xf ( x )即 f ( x )limx0二.导数 的计算1）基本初等函数 的导数公式:1若 f (x) c(c为常数 )，则 f (x) 0；2.若 f (x) x ,则 f (x)x 1;sin x ;3.若 f (x) sin x ,5.若 f (x) ax ,则 f (x) cosx4 .若 f (
3、x) cosx ,则 f (x)xx6.若 f (x) e ,则 f (x) ex则 f (x) a ln a11x7.若 f (x) log x ,则 f ( x)a8.若 f ( x) ln x ,则 f ( x )x ln a2）导数 的运算法则1. f (x) g(x) f ( x) g ( x)2. f (x) ? g(x) f ( x) ?g(x) f ( x) ?g (x)f ( x) g ( x )f ( x ) ? g ( x ) f ( x ) ? g ( x ) g ( x ) 23.3）复合函数求导y可以表示成为 x 的函数 ,即y f (u)和 u g(x) , 称则
4、y f (g( x)为一个复合函数yf (g( x) ? g (x)三.导数在研究函数中 的应用1.函数 的单调性与导数 :(1).函数 的单调性与其导数 的正负有如下关系：在某个区间 (a,b)内，如果 f (x) 0，那么函数 y f (x)在这个区间单调递增；如果f ( x) 0，那么函数 y f (x)在这个区间单调递减 .- 1 -关注我 实时更新 最新资料 (2).已知函数 的单调性求参数 的取值范围:“若函数单调递增，则 f (x) 0；若函数单调递减，则 f (x) 0”.注意公式中 的等号不能省略，否则漏解.2.函数 的极值与导数极值反映 的是函数在某一点附近 的大小情况.求
5、函数 y f (x) 的极值 的方法是 :(1)确定函数 的定义域； (2)求导数 f (x) ; (3)求方程f ( x ) =0 的根 ;(4)如果在 x附近 的左侧 f (x) 0,右侧 f (x) 0 ,那么 f (x )是极大值 ;00如果在 x附近 的左侧 f (x) 0 ,右侧 f (x) 0 ,那么 f (x )是极小值 ;003.函数 的最大 (小)值与导数函数极大值与最大值之间 的关系.求函数 y f (x)在 a,b上 的最大值与最小值 的步骤（1）求函数 y f (x)在 (a,b)内 的极值；（2）将函数 y f (x) 的各极值与端点处 的函数值f (a)， f (
6、b)比较，其中最大 的是一个最大值，最小 的是最小值 .4.生活中 的优化问题利用导数 的知识 ,求函数 的最大 (小)值,从而解决实际问题考点： 1、导数在切线方程中 的应用3、导数在极值、最值中 的应用.2.导数在单调性中 的应用.4、导数在恒成立问题中 的应用5.定积分(1)定积分 的定义：分割近似代替求和取极限nbf (x)dx= limf ( ) xiiani=1(2)定积分几何意义：b f (x)dx (f (x) 0)表示 y=f(x)与 x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形 的面积 .ab f (x)dx (f (x) 0)表示 y=f(x)与 x轴，x=a,x=b所围成曲边梯形
7、 的面积 的相反数 .a(3)定积分 的基本性质：bb kf (x)dx=k f (x)dxaabbbf (x)dx f (x) f (x)dx= f (x)dx1212aaabcb f (x)dx= f (x)dx+ f (x)dxaac- 2 - (4)求定积分 的方法：定义法：分割近似代替求和取极限利用定积分几何意义af (x) F(b)-F(a),其中 F（x）=f( x)微积分基本公式b第二章推理与证明1、归纳推理把从个别事实中推演出一般性结论 的推理,称为归纳推理 (简称归纳 ).简言之 ,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般 的推理。归纳推理 的一般步骤：?通过观察个别情况发现某
8、些相同 的性质；?从已知 的相同性质中推出一个明确表述 的一般命题（猜想）；?证明（视题目要求，可有可无）.2、类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象 的某些已知特征，理称为类比推理（简称类比）推出另一类对象也具有这些特征 的推简言之，类比推理是由特殊到特殊 的推理类比推理 的一般步骤：.?找出两类对象之间可以确切表述 的相似特征；?用一类对象 的已知特征去推测另一类对象 的特征，从而得出一个猜想；?检验猜想。3、合情推理归纳推理和类比推理都是根据已有 的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想 的推理 .归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说，合情推理是
9、指“合乎情理” 的推理.4、演绎推理从一般性 的原理出发，推出某个特殊情况下 的结论，这种推理称为演绎推理简言之，演绎推理是由一般到特殊 的推理.演绎推理 的一般模式“三段论”，包括大前提 -已知 的一般原理；小前提 -所研究 的特殊情况；结论 -据一般原理，对特殊情况做出 的判断5、直接证明与间接证明综合法：利用已知条件和某些数 学定义、公理、定理等，经过一系列 的推理论证，最后推导出所要证明 的结论成立 .要点：顺推证法；由因导果 .分析法：从要证明 的结论出发，逐步寻找使它成立 的充分条件，直至最后，把要证明 的结论归结为判定一个明显成立 的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.要点
10、：逆推证法；执果索因 .反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确 的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立 . 的证明方法 .它是一种间接 的证明方法 .反证法法证明一个命题 的一般步骤：(1)（反设）假设命题 的结论不成立；(2)（推理）根据假设进行推理 ,直到导出矛盾为止；(3)（归谬）断言假设不成立；(4)（结论）肯定原命题 的结论成立.- 3 - 6、数 学归纳法数 学归纳法是证明关于正整数 n 的命题 的一种方法 .用数 学归纳法证明命题 的步骤;*取第一个值 n (n N )时命题成立；0 0*n（1）（归纳奠基）证明当（2）（归纳递推）假设 n k(k n
11、, k N )时命题成立，推证当n k 1时命题也成立.0只要完成了这两个步骤，就可以断定命题对从n0n都成立.开始 的所有正整数第三章数系 的扩充与复数 的引入一:复数 的概念(1)复数 :形如 a bi(a R, b R) 的数叫做复数，a b和分别叫它 的实部和虚部 .(2)分类 :复数 a bi(a R, b R)中,当 b 0 ,就是实数 ;b 0,叫做虚数 ;当 a 0,b 0时,叫做纯虚数 .(3)复数相等 :如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.(4)共轭复数 :当两个复数实部相等 ,虚部互为相反数时 ,这两个复数互为共轭复数 .(5)复平面 :建立直角坐标系来表示复数 的平面叫做复平面,x轴叫做实轴， y轴除去原点 的部分叫做虚轴。(6)两个实数可以比较大小，但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。2相关公式z= a bi(a R,b R)a bi c dia b,且 c da bi 0 a b 02a b2 z a bi若z a bi则 z a bi z，z指两复数实部相同，虚部互为相反数（互为共轭复数） .3复数运算复数加减法： a bic dia cb d i；a bi c diac bdbc ad i
