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1、第二章 基本初等函数,襄樊市第五中学 周婉,2.3 幂函数(第一课时,我们先看下面几个具体问题,1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要支付 元,2) 如果正方形的边长为a，那么正方形的面积,3) 如果立方体的边长为a，那么立方体的体积,5) 如果某人t 秒内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度 km/s,4) 如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长,y = x3,y = x,y = x2,思考:这些表达式的共同特征是什么,1）都是函数； （2）均是以自变量为底的幂； （3）指数为常数； （4）自变量前的系数为1; （5）幂前的系数也为1,共同特征,上述问题中涉及
2、的函数，都是形如y=xa的函数,幂 函 数,一.幂函数定义 一般地，函数y=x叫做幂函数，其中x是自变量，是常数,定义说明,2) 中前面的系数为1,3) 幂函数的定义域、值域都不确定,与 的值有关,4) 注意幂函数与指数函数的区别,1) 为任意实数, 不同，则表示不同的幂函数,底数,指数,指数,底数,幂值,幂值,思考：如何判断一个函数是幂函数还是指数函数,看看自变量x是指数还是底数,幂函数,指数函数,幂函数与指数函数的对比,判断下列函数是否为幂函数,1) y=x4,3) y= -x2,5) y=(2x)2,6) y=x3+2,2,思考：你能举出一些幂函数的实例吗,二、幂函数性质的探究,思考：结
3、合前面指数函数与对数函数的方法，我们应如何研究幂函数呢,作具体幂函数的图象观察图象特征总结函数性质,请同学们在同一个坐标系中作出（1）（2）中的三个函数图象,1,R,R,R,y|y0,R,R,x|x0,y|y0,0,0)(1,1,0,0)(1,1,0,0)(1,1,0,0)(1,1,奇函数,奇函数,偶函数,非奇非偶函数,单调递增,0,+)递增 (-,0递减,单调递增,0,+)递增,幂函数的性质,x|x0,x|x0,x|x0,y|y0,y|y0,y|y0,1,1,1,1,1,1,奇函数,非奇非偶函数,偶函数,0,+)递减 (-,0）递减,0,+)递减 (-,0）递增,单调递减,幂函数的性质,X,
4、y,1,1,0,y=x2,y=x3,y=x1/2,X,y,1,1,0,y=x-1,y=x-2,y=x-1/2,a 0,a 0,思考：对任意的指数都具有这样的性质吗,2,1) 所有的幂函数在(0,+)都有定义，并且图象都通过点(1,1,2) 如果，则幂函数图象过原点，并且在区间0,+)上是增函数,3) 如果，则幂函数图象在区间(0,+)上是减函数,4) 当为奇数时，幂函数为奇函数； 当为偶数时，幂函数为偶函数,幂函数的性质,例1 求下列幂函数的定义域，并指出其奇偶性,例题讲解,定义域为,对于任意,都有,是偶函数,解,既不是奇函数也不是偶函数,解,故,在 是增函数,例2.比较下列两数的大小,解：因
5、为,又因1.51.7,则,又因 3.14,所以,解:因为,所以,解：因为,注: 例2是利用幂函数的增减性比较两个数的大小. 当不能直接进行比较时,可在两个数中间插入一 个已知数(如1、0、-1等),间接比较上述两个数的大小,练习,解：因为,所以,例3 证明幂函数 在0,+)上是增函数,证明：任取x1,x2 0,+)，且x1x2，则,除了作差，还有没有其它方法呢,x|x0 偶函数,x|x0偶函数,x|x0,R奇函数,1）y=x0 （2）y= （3）y= （4）y=x0.2,用不等号填空： （1） （2） （3） （4） （5） _ （6） _,求下列幂函数的定义域，并判断其奇偶性,巩固练习,解:设f(x)=xa由题意得,3. 已知幂函数的图象过点 ,试求出此函数的解析式,总结: (1) 理解并掌握形如y=xa的形式就是幂函数的定义 (2) 充分理解并掌握幂函数的性质和特征,课堂小结,谢谢大家
